Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- семинары_102_группа_осень_2018 [28.11.2018 23:35]
timashev
+++ семинары_102_группа_осень_2018 [08.04.2025 16:43] (текущий)
@@ Строка 4: / Строка 4: @@
 Занятия проходят **по понедельникам** на **3**-й паре (13:15-14:50) в ауд. **404** и **по пятницам** на каждой //нечётной// неделе на **2**-й паре (13:15-14:50) в ауд. **405**.
-<fc #FF0000>Семинар с **пятницы 7 декабря** переносится на **пятницу 14 декабря**.</fc>
 Нумерация задач даётся по «//Сборнику задач по алгебре//» под ред. А.И.Кострикина, 3-е изд., Москва, Физматлит, 2001. Дополнительные задачи помечены знаком ★.
@@ Строка 187: / Строка 185: @@
   * 26.1бв, 26.2бв, 26.3бв, 26.4, 26.7ав, 26.11★, 25.2вг, 25.3б;
   * найти НОД многочленов x^n-1 и x^m-1.
+----
+=== 7 декабря 2018 ===
+Избавление от кратных множителей в разложении многочлена на неприводимые множители. Разложение многочленов на неприводимые множители над полями **C** и **R**. Неприводимых многочленов над любым полем бесконечно много. Существование неприводимых многочленов сколь угодно большой степени над конечным полем. "Решето Эратосфена" для нахождения всех неприводимых многочленов степени ≤n над конечным полем. Нахождение всех неприводимых многочленов степени ≤4 над полем **Z**_2 и степени ≤3 над полем **Z**_3.
+== Домашнее задание: ==
+  * 25.8б, 27.1в, 27.3а, 27.4а, 27.5;
+  * доказать, что пересечение множеств комплексных корней степеней n и m из 1 есть множество корней степени НОД(m,n) из 1, а произведение этих множеств есть множество корней степени НОК(m,n) из 1;
+  * найти все неприводимые многочлены степени 5 над полем **Z**_2;
+  * найти количество неприводимых многочленов степени 4 со старшим коэффициентом 1 над полем **Z**_3;
+  * доказать, что существуют неприводимые многочлены любой степени
+      - над полем **Q**,
+      -★ над полем **Z**_p.
+----
+=== 10 декабря 2018 ===
+Рациональные корни многочлена с целыми или рациональными коэффициентами. Разложимость многочлена с целыми коэффициентами на множители меньшей степени в **Q**[x] равносильна разложимости на множители меньшей степени в **Z**[x]. Редукция многочленов с целыми коэффициентами по простому модулю, её свойства. Редукционный признак неприводимости. Разложение многочленов на неприводимые множители над **Q** с помощью редукций.
+Рациональные дроби: представление в виде суммы многочлена и правильной дроби, разложение правильной дроби в сумму простейших дробей методом неопределённых коэффициентов, случай поля **C**.
+== Домашнее задание: ==
+  * 28.1в, 28.2бв, 28.9вде, 29.1бе, 29.3;
+  * разложить на неприводимые множители над полем **Q**:
+    - 3x^5-2x^4+5x^3-4x^2-5x-1,
+    - 2x^4-3x^3+5x^2+8x-5,
+    - 3x^4-x^3+5x^2+8x-7;
+  *★ доказать, что многочлен x^4-10x^2+1 неприводим над **Q**, но его редукция по любому простому модулю p приводима над **Z**_p.
+----
+=== 14 декабря 2018 ===
+Разложение рациональной дроби на простейшие над полем **R**. Симметрические многочлены, примеры: степенные суммы s_k и элементарные симметрические многочлены σ_k. Основная теорема о симметрических многочленах, метод неопределённых коэффициентов для нахождения выражения произвольного симметрического многочлена через элементарные. Выражение степенных сумм s_1, s_2, s_3, s_4 через элементарные симметрические многочлены. Решение симметрических систем алгебраических уравнений.
+== Домашнее задание: ==
+  * 29.2аги, 31.9авер, 31.15, 31.21б, 31.2, 31.5, 31.25.
+----
+=== 17 декабря 2018 ===
+== Контрольная работа ==
+  - Возведение в степень (//1 вариант//) и извлечение корней (//2 вариант//) в поле **C**.
+  - Нахождение НОД двух многочленов и его линейного выражения через эти многочлены.
+  - Разложение многочлена на неприводимые множители над полем **R** (//1 вариант//); разложение многочлена по степеням линейного двучлена, определение кратности корня и вычисление значений высших производных (//2 вариант//).
+  - Разложение многочлена на неприводимые множители над полем **Q**.
+  - Разложение рациональной дроби в сумму многочлена и простейших дробей над полем **C** (//1 вариант//) и **R** (//2 вариант//).
+  - Выражение симметрического многочлена через элементарные симметрические многочлены.