| Предыдущая версия справа и слева
Предыдущая версия
Следующая версия
|
Предыдущая версия
|
семинары_104_группа [09.10.2015 01:30]
timashev |
семинары_104_группа [08.04.2025 16:43] (текущий)
|
| * 14.1где, 12.4; | * 14.1где, 12.4; |
| * вычислить определитель: | * вычислить определитель: |
| * {{:staff:timashev:3-diag-2.jpg|}} | * {{:staff:timashev:3-diag.jpg|}} |
| | * 17.1бв, 17.4ав, 17.12, 17.13, 17.25. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 12 октября 2015 === |
| | |
| | Свойства алгебраических операций над матрицами. Нулевая и единичная матрицы, их свойства. Матричные единицы, их умножение. Некоммутативность умножения матриц. Описание квадратных матриц, коммутирующих со всеми квадратными матрицами того же размера. Делители нуля и нильпотентные матрицы, нильпотентность нильтреугольных матриц. Элементарные матрицы, их основное свойство. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 17.17, 19.14, 19.15, 19.26, 19.3аг, 19.4, 17.26★; |
| | *★ доказать, что квадратная матрица A является делителем нуля тогда и только тогда, когда det(A)=0. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 15 октября 2015 === |
| | |
| | Обратная матрица: единственность, критерий существования. Если матрица A нильпотентна, то матрицы E+A и E-A обратимы. Присоединённая матрица, её основное свойство, формула для обратной матрицы. Матричные уравнения AX=B, метод их решения. Метод нахождения обратной матрицы решением матричного уравнения AX=E. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 19.21, 18.17★, 18.8гк, 18.3взи, 18.9кл. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 19 октября 2015 === |
| | |
| | Арифметическое векторное пространство **R**^n. Линейные комбинации векторов, линейная зависимость, задача: выяснить линейную зависимость или независимость систем векторов {u+v,u+w,v+w} и {u-v,u-w,v-w}, где u,v,w∈**R**^n — линейно независимые векторы. Свойства линейно зависимых и независимых систем векторов, основная лемма о линейной зависимости. Базис и ранг системы векторов, координаты вектора в базисе. Стандартный базис пространства **R**^n, координаты в нём. Алгоритм нахождения базиса. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | *★ доказать, что для любой матрицы A существует такая матрица B, что ABA=A и BAB=B (//квазиобратная матрица//); |
| | * 6.4, 6.14, 6.11, 6.13, 6.12вги, 7.19★; |
| | *★ доказать, что подсистема векторов B⊂S является базисом системы векторов S тогда и только тогда, когда B — миинимальная по включению подсистема, линейно порождающая систему S. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 26 октября 2015 === |
| | |
| | Подпространства в **R**^n, размерность подпространства. Способы задания подпространств: линейная оболочка системы векторов, пространство решений ОСЛУ. Фундаментальная система решений ОСЛУ (ФСР). Алгоритм нахождения ФСР. Различные определения ранга матрицы, свойства ранга: неизменность при элементарных преобразованиях строк и столбцов и при транспонировании матрицы. Вычисление ранга матрицы путем приведения к ступенчатому виду и методом окаймления миноров. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 8.4вг, 8.25★, 7.1дл, 7.2аж, 7.6, 7.10. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 2 ноября 2015 === |
| | |
| | Ранг произведения матриц, случай невырожденности одного из сомножителей. Задача: если AB и BA — единичные матрицы, то A и B — квадратные матрицы. Вычисление ранга блочной матрицы. Ранг присоединённой матрицы. Определитель произведения матриц. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 7.11, 15.2бв, 16.4, 16.19. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 9 ноября 2015 === |
| | |
| | == Контрольная работа == |
| | - Решение СЛУ в зависимости от параметра. |
| | - Нахождение ФСР и размерности пространства решений ОСЛУ (//1 вариант//); нахождение базиса системы векторов и выражение через него остальных векторов системы (//2 вариант//). |
| | - Нахождение обратной матрицы (//1 вариант//); решение матричного уравнения (//2 вариант//). |
| | - Вычисление определителя размера 4×4. |
| | - Вычисление определителя размера n×n. |
| | - Решение уравнения в подстановках (//1 вариант//); вычисление трёхдиагонального определителя (//2 вариант//). |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 12 ноября 2015 === |
| | |
| | Поле комплексных чисел **C**. Алгебраическая форма записи комплексных чисел, модуль комплексного числа и сопряжённое число, вычисления над комплексными числами в алгебраической форме. Геометрическая интерпретация комплексных чисел, решение алгебраических задач геометрическими методами (пример: уравнение |(z+1-i)/(z-1+i)|=1) и геометрических задач методами алгебры комплексных чисел (пример: доказательство теоремы о том, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон). Аргумент комплексного числа, тригонометрическая форма записи комплексных чисел, вычисления над комплексными числами в тригонометрической форме, формула Муавра. Выражение тригонометрических функций кратных углов через функции исходного угла и степеней тригонометрических функций через функции кратных углов в первой степени с помощью комплексных чисел. Автоморфизмы полей и их расширений, группы Галуа, пример: группа Gal(**C**/**R**), её структура. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 20.1еж, 21.2бж, 21.9аг, 21.10, 21.12, 21.13г; |
| | * доказать с помощью комплексных чисел //теорему Птолемея//: произведение диагоналей четырёхугольника, вписанного в окружность, равно сумме произведений его противоположных сторон; |
| | * найти группу Gal(**R**). |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 16 ноября 2015 === |
| | |
| | Извлечение корней из комплексных чисел. Задача: вычислить cos(2π/5) в радикалах с помощью комплексных корней 5-й степени из 1. Группа **U**_n комплексных корней степени n из 1, сумма и произведение всех корней степени n из 1, первообразные корни из 1. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 22.7ипр, 22.8бв, 22.9б, 22.17аб, 22.22★; |
| | * доказать эквивалентность трёх определений первообразного корня ε степени n из 1: |
| | - ε^n=1, но ε^m≠1 при 0<m<n; |
| | - для любого δ∈**U**_n существует такое m∈**N**, что δ=ε^m; |
| | - ε=exp(2πk**i**/n), причём числа k и n взаимно просты. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 23 ноября 2015 === |
| | |
| | Вычисление сумм с помощью комплексных чисел. Многочлены от одной переменной над полем K. Степень многочлена, её свойства, отсутствие делителей нуля в кольце многочленов K[x]. Деление многочленов с остатком. Деление с остатком на линейный двучлен, теорема Безу, схема Горнера. Разложение многочлена по степеням линейного двучлена. Производная многочлена, её свойства. Высшие производные, формула Тейлора. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 23.1вг, 23.2бв, 26.1бв, 26.2бв. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 26 ноября 2015 === |
| | |
| | Кратность корня многочлена, связь со значениями производных. Неприводимые многочлены, разложение многочлена на неприводимые множители, выяснение вопросов о делимости многочленов в терминах этого разложения. Наименьшее общее кратное (НОК) и наибольший общий делитель (НОД) многочленов, нахождение НОК и НОД по разложению на неприводимые множители. Алгоритм Евклида. Линейное выражение НОД через исходные многочлены: (f,g)=uf+vg, его единственность при ограничениях на степени u и v, и его нахождение методом неопределённых коэффициентов. Избавление от кратных множителей в разложении многочлена на неприводимые множители. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 26.3бв, 26.4, 26.7, 26.11★, 25.2вг, 25.3б, 25.8б; |
| | * найти НОД многочленов x^n-1 и x^m-1. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 30 ноября 2015 === |
| | |
| | Разложение многочленов на неприводимые множители над полями **C** и **R**. Неприводимых многочленов над любым полем бесконечно много. Существование неприводимых многочленов сколь угодно большой степени над конечным полем. "Решето Эратосфена" для нахождения всех неприводимых многочленов степени ≤n над конечным полем. Нахождение всех неприводимых многочленов степени ≤4 над полем **Z**_2. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 27.1ад, 27.6, 27.7, 27.2бгде, 27.12, 27.14★, 28.23; |
| | * найти все неприводимые многочлены степени 5 над полем **Z**_2; |
| | * найти все неприводимые многочлены степени ≤3 со старшим коэффициентом 1 над полем **Z**_3. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 7 декабря 2015 === |
| | |
| | Над полем **Q** существуют неприводимые многочлены любой степени. Нахождение всех рациональных корней многочлена с целыми или рациональными коэффициентами. Редукция многочленов с целыми коэффициентами по простому модулю, её применение к изучению вопроса о разложимости на множители с целыми коэффициентами, редукционный признак неприводимости. Примитивные многочлены, лемма Гаусса. Эквивалентность неразложимости на множители меньшей степени над **Q** и над **Z**. Признак Эйзенштейна. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 28.1в, 28.2бв, 28.3, 28.9; |
| | * разложить на неприводимые множители над полем **Q**: |
| | - 3x^5-2x^4+5x^3-4x^2-5x-1, |
| | - 2x^4-3x^3+5x^2+8x-5, |
| | - 3x^4-x^3+5x^2+8x-7; |
| | *★ доказать, что многочлен x^4-10x^2+1 неприводим над **Q**, но его редукция по любому простому модулю p приводима над **Z**_p. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 10 декабря 2015 === |
| | |
| | Поле K(x) рациональных дробей над полем K. Несократимое представление рациональной дроби, её разложение в сумму многочлена и правильной дроби. Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей методом неопределённых коэффициентов, примеры для K=**C** и **R**. Многочлены от нескольких переменных, симметрические многочлены, примеры: степенные суммы s_k и элементарные симметрические многочлены σ_k. Теорема Виета. Основная теорема о симметрических многочленах, метод неопределённых коэффициентов для нахождения выражения произвольного симметрического многочлена через элементарные. Выражение степенных сумм s_1,...,s_4 через элементарные симметрические многочлены. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 29.1бе, 29.2аги, 31.9авер, 31.15, 31.21а, 31.2, 31.5, 31.25а. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 14 декабря 2015 === |
| | |
| | == Контрольная работа == |
| | - Возведение в степень (//1 вариант//) и извлечение корней (//2 вариант//) в поле **C**. |
| | - Нахождение НОД двух многочленов и его линейного выражения через эти многочлены. |
| | - Разложение многочлена на неприводимые множители над полем **R** (//1 вариант//); разложение многочлена по степеням линейного двучлена, определение кратности корня и вычисление значений высших производных (//2 вариант//). |
| | - Разложение многочлена на неприводимые множители над полем **Q**. |
| | - Разложение рациональной дроби в сумму многочлена и простейших дробей над полем **C** (//1 вариант//) и **R** (//2 вариант//). |
| | - Выражение симметрического многочлена через элементарные симметрические многочлены. |
