Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- семинары_104_группа [20.10.2015 19:09]
timashev
+++ семинары_104_группа [08.04.2025 16:43] (текущий)
@@ Строка 121: / Строка 121: @@
   * 6.4, 6.14, 6.11, 6.13, 6.12вги, 7.19★;
   *★ доказать, что подсистема векторов B⊂S является базисом системы векторов S тогда и только тогда, когда B — миинимальная по включению подсистема, линейно порождающая систему S.
+----
+=== 26 октября 2015 ===
+Подпространства в **R**^n, размерность подпространства. Способы задания подпространств: линейная оболочка системы векторов, пространство решений ОСЛУ. Фундаментальная система решений ОСЛУ (ФСР). Алгоритм нахождения ФСР. Различные определения ранга матрицы, свойства ранга: неизменность при элементарных преобразованиях строк и столбцов и при транспонировании матрицы. Вычисление ранга матрицы путем приведения к ступенчатому виду и методом окаймления миноров.
+== Домашнее задание: ==
+  * 8.4вг, 8.25★, 7.1дл, 7.2аж, 7.6, 7.10.
+----
+=== 2 ноября 2015 ===
+Ранг произведения матриц, случай невырожденности одного из сомножителей. Задача: если AB и BA — единичные матрицы, то A и B — квадратные матрицы. Вычисление ранга блочной матрицы. Ранг присоединённой матрицы. Определитель произведения матриц.
+== Домашнее задание: ==
+  * 7.11, 15.2бв, 16.4, 16.19.
+----
+=== 9 ноября 2015 ===
+== Контрольная работа ==
+  - Решение СЛУ в зависимости от параметра.
+  - Нахождение ФСР и размерности пространства решений ОСЛУ (//1 вариант//); нахождение базиса системы векторов и выражение через него остальных векторов системы (//2 вариант//).
+  - Нахождение обратной матрицы (//1 вариант//); решение матричного уравнения (//2 вариант//).
+  - Вычисление определителя размера 4×4.
+  - Вычисление определителя размера n×n.
+  - Решение уравнения в подстановках (//1 вариант//); вычисление трёхдиагонального определителя (//2 вариант//).
+----
+=== 12 ноября 2015 ===
+Поле комплексных чисел **C**. Алгебраическая форма записи комплексных чисел, модуль комплексного числа и сопряжённое число, вычисления над комплексными числами в алгебраической форме. Геометрическая интерпретация комплексных чисел, решение алгебраических задач геометрическими методами (пример: уравнение |(z+1-i)/(z-1+i)|=1) и геометрических задач методами алгебры комплексных чисел (пример: доказательство теоремы о том, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон). Аргумент комплексного числа, тригонометрическая форма записи комплексных чисел, вычисления над комплексными числами в тригонометрической форме, формула Муавра. Выражение тригонометрических функций кратных углов через функции исходного угла и степеней тригонометрических функций через функции кратных углов в первой степени с помощью комплексных чисел. Автоморфизмы полей и их расширений, группы Галуа, пример: группа Gal(**C**/**R**), её структура.
+== Домашнее задание: ==
+  * 20.1еж, 21.2бж, 21.9аг, 21.10, 21.12, 21.13г;
+  * доказать с помощью комплексных чисел //теорему Птолемея//: произведение диагоналей четырёхугольника, вписанного в окружность, равно сумме произведений его противоположных сторон;
+  * найти группу Gal(**R**).
+----
+=== 16 ноября 2015 ===
+Извлечение корней из комплексных чисел. Задача: вычислить cos(2π/5) в радикалах с помощью комплексных корней 5-й степени из 1. Группа **U**_n комплексных корней степени n из 1, сумма и произведение всех корней степени n из 1, первообразные корни из 1.
+== Домашнее задание: ==
+  * 22.7ипр, 22.8бв, 22.9б, 22.17аб, 22.22★;
+  * доказать эквивалентность трёх определений первообразного корня ε степени n из 1:
+    - ε^n=1, но ε^m≠1 при 0<m<n;
+    - для любого δ∈**U**_n существует такое m∈**N**, что δ=ε^m;
+    - ε=exp(2πk**i**/n), причём числа k и n взаимно просты.
+----
+=== 23 ноября 2015 ===
+Вычисление сумм с помощью комплексных чисел. Многочлены от одной переменной над полем K. Степень многочлена, её свойства, отсутствие делителей нуля в кольце многочленов K[x]. Деление многочленов с остатком. Деление с остатком на линейный двучлен, теорема Безу, схема Горнера. Разложение многочлена по степеням линейного двучлена. Производная многочлена, её свойства. Высшие производные, формула Тейлора.
+== Домашнее задание: ==
+  * 23.1вг, 23.2бв, 26.1бв, 26.2бв.
+----
+=== 26 ноября 2015 ===
+Кратность корня многочлена, связь со значениями производных. Неприводимые многочлены, разложение многочлена на неприводимые множители, выяснение вопросов о делимости многочленов в терминах этого разложения. Наименьшее общее кратное (НОК) и наибольший общий делитель (НОД) многочленов, нахождение НОК и НОД по разложению на неприводимые множители. Алгоритм Евклида. Линейное выражение НОД через исходные многочлены: (f,g)=uf+vg, его единственность при ограничениях на степени u и v, и его нахождение методом неопределённых коэффициентов. Избавление от кратных множителей в разложении многочлена на неприводимые множители.
+== Домашнее задание: ==
+  * 26.3бв, 26.4, 26.7, 26.11★, 25.2вг, 25.3б, 25.8б;
+  * найти НОД многочленов x^n-1 и x^m-1.
+----
+=== 30 ноября 2015 ===
+Разложение многочленов на неприводимые множители над полями **C** и **R**. Неприводимых многочленов над любым полем бесконечно много. Существование неприводимых многочленов сколь угодно большой степени над конечным полем. "Решето Эратосфена" для нахождения всех неприводимых многочленов степени ≤n над конечным полем. Нахождение всех неприводимых многочленов степени ≤4 над полем **Z**_2.
+== Домашнее задание: ==
+  * 27.1ад, 27.6, 27.7, 27.2бгде, 27.12, 27.14★, 28.23;
+  * найти все неприводимые многочлены степени 5 над полем **Z**_2;
+  * найти все неприводимые многочлены степени ≤3 со старшим коэффициентом 1 над полем **Z**_3.
+----
+=== 7 декабря 2015 ===
+Над полем **Q** существуют неприводимые многочлены любой степени. Нахождение всех рациональных корней многочлена с целыми или рациональными коэффициентами. Редукция многочленов с целыми коэффициентами по простому модулю, её применение к изучению вопроса о разложимости на множители с целыми коэффициентами, редукционный признак неприводимости. Примитивные многочлены, лемма Гаусса. Эквивалентность неразложимости на множители меньшей степени над **Q** и над **Z**. Признак Эйзенштейна.
+== Домашнее задание: ==
+  * 28.1в, 28.2бв, 28.3, 28.9;
+  * разложить на неприводимые множители над полем **Q**:
+    - 3x^5-2x^4+5x^3-4x^2-5x-1,
+    - 2x^4-3x^3+5x^2+8x-5,
+    - 3x^4-x^3+5x^2+8x-7;
+  *★ доказать, что многочлен x^4-10x^2+1 неприводим над **Q**, но его редукция по любому простому модулю p приводима над **Z**_p.
+----
+=== 10 декабря 2015 ===
+Поле K(x) рациональных дробей над полем K. Несократимое представление рациональной дроби, её разложение в сумму многочлена и правильной дроби. Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей методом неопределённых коэффициентов, примеры для K=**C** и **R**. Многочлены от нескольких переменных, симметрические многочлены, примеры: степенные суммы s_k и элементарные симметрические многочлены σ_k. Теорема Виета. Основная теорема о симметрических многочленах, метод неопределённых коэффициентов для нахождения выражения произвольного симметрического многочлена через элементарные. Выражение степенных сумм s_1,...,s_4 через элементарные симметрические многочлены.
+== Домашнее задание: ==
+  * 29.1бе, 29.2аги, 31.9авер, 31.15, 31.21а, 31.2, 31.5, 31.25а.
+----
+=== 14 декабря 2015 ===
+== Контрольная работа ==
+  - Возведение в степень (//1 вариант//) и извлечение корней (//2 вариант//) в поле **C**.
+  - Нахождение НОД двух многочленов и его линейного выражения через эти многочлены.
+  - Разложение многочлена на неприводимые множители над полем **R** (//1 вариант//); разложение многочлена по степеням линейного двучлена, определение кратности корня и вычисление значений высших производных (//2 вариант//).
+  - Разложение многочлена на неприводимые множители над полем **Q**.
+  - Разложение рациональной дроби в сумму многочлена и простейших дробей над полем **C** (//1 вариант//) и **R** (//2 вариант//).
+  - Выражение симметрического многочлена через элементарные симметрические многочлены.