Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- семинары_104_группа [24.11.2015 13:59]
timashev
+++ семинары_104_группа [08.04.2025 16:43] (текущий)
@@ Строка 180: / Строка 180: @@
 === 23 ноября 2015 ===
-Вычисление сумм с помощью комплексных чисел. __Многочлены__ от одной переменной над полем K. __Степень__ многочлена, её свойства, отсутствие делителей нуля в кольце многочленов K[x]. Деление многочленов с остатком. Деление с остатком на линейный двучлен, теорема Безу, __схема Горнера__. Разложение многочлена по степеням линейного двучлена. Производная многочлена, её свойства. Высшие производные, формула Тейлора.
+Вычисление сумм с помощью комплексных чисел. Многочлены от одной переменной над полем K. Степень многочлена, её свойства, отсутствие делителей нуля в кольце многочленов K[x]. Деление многочленов с остатком. Деление с остатком на линейный двучлен, теорема Безу, схема Горнера. Разложение многочлена по степеням линейного двучлена. Производная многочлена, её свойства. Высшие производные, формула Тейлора.
 == Домашнее задание: ==
   * 23.1вг, 23.2бв, 26.1бв, 26.2бв.
+----
+=== 26 ноября 2015 ===
+Кратность корня многочлена, связь со значениями производных. Неприводимые многочлены, разложение многочлена на неприводимые множители, выяснение вопросов о делимости многочленов в терминах этого разложения. Наименьшее общее кратное (НОК) и наибольший общий делитель (НОД) многочленов, нахождение НОК и НОД по разложению на неприводимые множители. Алгоритм Евклида. Линейное выражение НОД через исходные многочлены: (f,g)=uf+vg, его единственность при ограничениях на степени u и v, и его нахождение методом неопределённых коэффициентов. Избавление от кратных множителей в разложении многочлена на неприводимые множители.
+== Домашнее задание: ==
+  * 26.3бв, 26.4, 26.7, 26.11★, 25.2вг, 25.3б, 25.8б;
+  * найти НОД многочленов x^n-1 и x^m-1.
+----
+=== 30 ноября 2015 ===
+Разложение многочленов на неприводимые множители над полями **C** и **R**. Неприводимых многочленов над любым полем бесконечно много. Существование неприводимых многочленов сколь угодно большой степени над конечным полем. "Решето Эратосфена" для нахождения всех неприводимых многочленов степени ≤n над конечным полем. Нахождение всех неприводимых многочленов степени ≤4 над полем **Z**_2.
+== Домашнее задание: ==
+  * 27.1ад, 27.6, 27.7, 27.2бгде, 27.12, 27.14★, 28.23;
+  * найти все неприводимые многочлены степени 5 над полем **Z**_2;
+  * найти все неприводимые многочлены степени ≤3 со старшим коэффициентом 1 над полем **Z**_3.
+----
+=== 7 декабря 2015 ===
+Над полем **Q** существуют неприводимые многочлены любой степени. Нахождение всех рациональных корней многочлена с целыми или рациональными коэффициентами. Редукция многочленов с целыми коэффициентами по простому модулю, её применение к изучению вопроса о разложимости на множители с целыми коэффициентами, редукционный признак неприводимости. Примитивные многочлены, лемма Гаусса. Эквивалентность неразложимости на множители меньшей степени над **Q** и над **Z**. Признак Эйзенштейна.
+== Домашнее задание: ==
+  * 28.1в, 28.2бв, 28.3, 28.9;
+  * разложить на неприводимые множители над полем **Q**:
+    - 3x^5-2x^4+5x^3-4x^2-5x-1,
+    - 2x^4-3x^3+5x^2+8x-5,
+    - 3x^4-x^3+5x^2+8x-7;
+  *★ доказать, что многочлен x^4-10x^2+1 неприводим над **Q**, но его редукция по любому простому модулю p приводима над **Z**_p.
+----
+=== 10 декабря 2015 ===
+Поле K(x) рациональных дробей над полем K. Несократимое представление рациональной дроби, её разложение в сумму многочлена и правильной дроби. Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей методом неопределённых коэффициентов, примеры для K=**C** и **R**. Многочлены от нескольких переменных, симметрические многочлены, примеры: степенные суммы s_k и элементарные симметрические многочлены σ_k. Теорема Виета. Основная теорема о симметрических многочленах, метод неопределённых коэффициентов для нахождения выражения произвольного симметрического многочлена через элементарные. Выражение степенных сумм s_1,...,s_4 через элементарные симметрические многочлены.
+== Домашнее задание: ==
+  * 29.1бе, 29.2аги, 31.9авер, 31.15, 31.21а, 31.2, 31.5, 31.25а.
+----
+=== 14 декабря 2015 ===
+== Контрольная работа ==
+  - Возведение в степень (//1 вариант//) и извлечение корней (//2 вариант//) в поле **C**.
+  - Нахождение НОД двух многочленов и его линейного выражения через эти многочлены.
+  - Разложение многочлена на неприводимые множители над полем **R** (//1 вариант//); разложение многочлена по степеням линейного двучлена, определение кратности корня и вычисление значений высших производных (//2 вариант//).
+  - Разложение многочлена на неприводимые множители над полем **Q**.
+  - Разложение рациональной дроби в сумму многочлена и простейших дробей над полем **C** (//1 вариант//) и **R** (//2 вариант//).
+  - Выражение симметрического многочлена через элементарные симметрические многочлены.