Преподаватель: Д.А.Тимашёв

Занятия проходят по понедельникам на 2-й паре (10:35-12:20) в ауд. 463 и на каждой нечётной неделе по четвергам на 4-й паре (15:00-16:35) в ауд. 454.

Нумерация задач даётся по «Сборнику задач по алгебре» под ред. А.И.Кострикина, 3-е изд., Москва, Физматлит, 2001. Дополнительные задачи помечены знаком ★.

Системы линейных уравнений (СЛУ) и их матрицы. Элементарные преобразования. Метод Гаусса решения СЛУ: приведение к ступенчатому и улучшенному ступенчатому виду, совместные и несовместные системы, главные и свободные неизвестные, общее решение системы, определённые и неопределённые системы, преимущество улучшенного ступенчатого вида. Однородные системы линейных уравнений (ОСЛУ), связь решений совместной СЛУ и ассоциированной ОСЛУ. Квадратные СЛУ, критерий определённости: ассоциированная ОСЛУ должна быть определена. Полиномиальная интерполяция.

• 8.1вг, 8.2вд, 8.8;
• ★ показать, что при приведении матрицы к ступенчатому виду можно обойтись элементарными преобразованиями 1-го типа;
• закончить доказательство теоремы о полиномиальной интерполяции;
• найти явную формулу для интерполяционного многочлена.

Метод Крамера решения квадратных систем линейных уравнений малых размеров (2×2 и 3×3). Определители 2-го и 3-го порядка.

• 8.6вд, 8.2е, 9.1гд, 9.2ж, 16.1а;
• решить методом Крамера систему линейных уравнений:
• 

Перестановки и подстановки. Умножение подстановок, его свойства, симметрическая группа. Циклические подстановки, их орбиты, транспозиции. Разложение подстановки на независимые циклы, применение к возведению подстановок в степень. Решение уравнений в подстановках.

• 3.1вг, 3.2аге, 3.3ав, 3.13;
• решить уравнения в подстановках:
• 
• (задача о квартирном обмене) Несколько семей хотят обменяться квартирами. За один день каждая семья может принять участие не более чем в одном обмене квартирами с какой-нибудь другой семьей. Доказать, что любой сложный обмен можно осуществить не более чем за два дня.

Инверсии в перестановках и подстановках, их чётность и знак. Свойства знака подстановок: изменение при умножении на транспозицию, выражение через число транспозиций в разложении подстановки, мультипликативность, знак обратной подстановки, знак цикла. Задача про «пятнашки»: можно ли, последовательно передвигая фишки на соседнее свободное место, поменять местами фишки 14 и 15, оставив остальные фишки на месте?

• 3.6бж, 3.22, 3.11;
• ★ любую ли чётную перестановку фишек в игре «пятнашки» можно получить, последовательно передвигая фишки на соседнее свободное место?
• можно ли, вращая слои куба Рубика на шарнирах, добиться того, чтобы один из боковых кубиков в нём перевернулся, а остальные остались на своих местах, не изменив положения?

Определители квадратных матриц: развёрнутая формула, определитель треугольной матрицы. Свойства определителей: полилинейность и кососимметричность, обращение в 0 при наличии нулевой строки/столбца, совпадающих или пропорциональных строк/столбцов, поведение при элементарных преобразованиях, при транспонировании. Метод вычисления определителя приведением к треугольному виду. Правило Крамера.

• 10.4б, 16.2, 11.1гд, 11.4.

Вычисление определителей приведением к треугольному виду. Определитель с углом нулей, определитель блочно-треугольной матрицы. Определитель Вандермонда.

• 13.1жз, 13.2ежз, 14.1зкмн.

Дополнительные миноры и алгебраические дополнения к элементам квадратной матрицы. Разложение определителя по строке и по столбцу.

• 12.2, 12.3ези, 14.1ао.

Вычисление трёхдиагональных определителей путём решения линейных однородных рекуррентных уравнений 2-го порядка. Алгебраические операции над матрицами.

• 14.1где, 12.4;
• вычислить определитель:
• 
• 17.1бв, 17.4ав, 17.12, 17.13, 17.25.

Свойства алгебраических операций над матрицами. Нулевая и единичная матрицы, их свойства. Матричные единицы, их умножение. Некоммутативность умножения матриц. Описание квадратных матриц, коммутирующих со всеми квадратными матрицами того же размера. Делители нуля и нильпотентные матрицы, нильпотентность нильтреугольных матриц. Элементарные матрицы, их основное свойство.

• 17.17, 19.14, 19.15, 19.26, 19.3аг, 19.4, 17.26★;
• ★ доказать, что квадратная матрица A является делителем нуля тогда и только тогда, когда det(A)=0.

Обратная матрица: единственность, критерий существования. Если матрица A нильпотентна, то матрицы E+A и E-A обратимы. Присоединённая матрица, её основное свойство, формула для обратной матрицы. Матричные уравнения AX=B, метод их решения. Метод нахождения обратной матрицы решением матричного уравнения AX=E.

• 19.21, 18.17★, 18.8гк, 18.3взи, 18.9кл.

Арифметическое векторное пространство R^n. Линейные комбинации векторов, линейная зависимость, задача: выяснить линейную зависимость или независимость систем векторов {u+v,u+w,v+w} и {u-v,u-w,v-w}, где u,v,w∈R^n — линейно независимые векторы. Свойства линейно зависимых и независимых систем векторов, основная лемма о линейной зависимости. Базис и ранг системы векторов, координаты вектора в базисе. Стандартный базис пространства R^n, координаты в нём. Алгоритм нахождения базиса.

• ★ доказать, что для любой матрицы A существует такая матрица B, что ABA=A и BAB=B (квазиобратная матрица);
• 6.4, 6.14, 6.11, 6.13, 6.12вги, 7.19★;
• ★ доказать, что подсистема векторов B⊂S является базисом системы векторов S тогда и только тогда, когда B — миинимальная по включению подсистема, линейно порождающая систему S.

Подпространства в R^n, размерность подпространства. Способы задания подпространств: линейная оболочка системы векторов, пространство решений ОСЛУ. Фундаментальная система решений ОСЛУ (ФСР). Алгоритм нахождения ФСР. Различные определения ранга матрицы, свойства ранга: неизменность при элементарных преобразованиях строк и столбцов и при транспонировании матрицы. Вычисление ранга матрицы путем приведения к ступенчатому виду и методом окаймления миноров.

• 8.4вг, 8.25★, 7.1дл, 7.2аж, 7.6, 7.10.