Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- семинары_104_группа_осень_2016 [01.12.2016 02:40]
yasinsky
+++ семинары_104_группа_осень_2016 [08.04.2025 16:43] (текущий)
@@ Строка 6: / Строка 6: @@
 Домашние задания выдаются в Листках. Дополнительные листки не следует понимать как "задачи со звездочкой". Их назначение --- показать применения алгебры в самых разнообразных ситуациях.
-{{:Vedomost.pdf| Успеваемость}} (на 27.11.2016)
 ----
@@ Строка 180: / Строка 178: @@
 {{:yasinsky_d13.pdf| Дополнительно}}: короткое доказательство квадратичного закона взаимности Гаусса.
+----
+== 2 декабря ==
+Характеристика поля char(**k**), ее простота (при char(**k**)>0) ; пример бесконечного поля конечной характеристики. Каждое конечное поле характеристики p содержит p<sup>n</sup> элементов.
+Неприводимость многочленов над **Q** и **Z**: лемма Гаусса, признак Эйзенштейна. Многочлены деления круга Φ<sub>n</sub>(x), доказательство неприводимости над **Q** для n=p; над **Q** существуют неприводимые многочлены сколь угодно большой степени.
+Редукционный признак неприводимости: если f=a<sub>n</sub>x<sup>n</sup>+...∈**Z**[x], p не делит a<sub>n</sub> и [f]<sub>p</sub> неприводим в **F**<sub>p</sub>[x], то f неприводим в **Q**[x]. "Решето Эратосфена" для отыскания неприводимых многочленов малых степеней над конечными полями.
+{{:l14.pdf| Листок 14}}
+**Дополнительно** можно почитать о применении алгебры, в том числе колец вычетов, в криптографии (RSA, система Диффи-Хелмана и пр.):
+  * С. Б. Гашков, [[http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/d62c5790-a780-11dc-945c-d34917fee0be/22_gashkov_sovremennaja_algebra.pdf| Современная элементарная алгебра]], Глава 2, пар. 2.9
+  * Более продвинутое чтение: Ю. Г. Прохоров, [[http://www.mi.ras.ru/~prokhoro/teach/crypt.pdf|Эллиптические кривые и криптография]], Глава 1
+----
+== 7 декабря ==
+Кольцо многочленов от нескольких переменных, его факториальность; пример нефакториального кольца.
+Лексикографический порядок. Симметрические многочлены. Степеннные суммы Ньютона. Формулы Виета. Основная теорема о симметрических многочленах, примеры.
+{{:yasinsky_l15.pdf| Листок 15}}
+----
+== 9 декабря ==
+Еще раз о выражении симметрического многочлена через элементарные, случай неоднородного многочлена. Разбор задач из Листка 15.
+Результант и дискриминант. Теория исключений и решение простейших систем алгебраических уравнений, понятие о теореме Безу (о пересечении плоских алгебраических кривых). Дискриминант кубического трехчлена, его связь с корнями.
+{{:yasinsky_l16.pdf| Листок 16}}
+----
+== 16 декабря ==
+**Контрольная №2**. Темы контрольной:
+  - Алгоритм Евклида для многочленов (в том числе над конечным полем).
+  - Корни многочленов, их кратность.
+  - Разложение рациональной дроби в сумму простейших.
+  - Неприводимые многочлены над **Z**, **Q** и **F**<sub>p</sub> (для малых p)
+  - Выражение симметрических многочленов через элементарные.
+Предполагается, что вы также умеете работать с комплексными числами и вычетами по простому модулю.
+{{:yasinsky_k2v1.pdf| Вариант 1}}
+{{:yasinsky_k2v2.pdf| Вариант 2}}