Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- семинары_105_группа_осень_2026 [11.09.2026 15:30]
timashev
+++ семинары_105_группа_осень_2026 [16.10.2026 17:14] (текущий)
timashev
@@ Строка 26: / Строка 26: @@
 == Домашнее задание: ==
   * 8.1вге, 8.2вгж, 16.1а.
+----
+=== 14 сентября 2026 ===
+Связь решений совместной СЛУ и ассоциированной однородной системы линейных уравнений (ОСЛУ). Критерий определённости совместной СЛУ и квадратной СЛУ: ассоциированная ОСЛУ должна быть определена. Задача интерполяции, теорема о полиномиальной интерполяции. Арифметическое векторное пространство $\mathbb{R}^n$. Линейная зависимость векторов, её свойства.
+== Домашнее задание: ==
+  * 8.7, 8.8, 6.3де, 6.4, 6.6, 6.7вд, 6.9абд;
+  * найти явную формулу для интерполяционного многочлена.
+----
+=== 18 сентября 2026 ===
+Базис системы векторов. Когда система векторов обладает единственным базисом? Основная лемма о линейной зависимости. Ранг системы векторов. Координаты вектора в базисе. Стандартный базис в $\mathbb{R}^n$. Алгоритм нахождения базиса конечной системы векторов в $\mathbb{R}^n$.
+== Домашнее задание: ==
+  * 6.9абд, 6.12вги, 6.13, 6.14, 7.19★
+  * доказать, что для подсистемы векторов $B\subseteq S$ следующие условия эквивалентны:
+    - $B$ — максимальная (по включению) линейно независимая подсистема в $S$;
+    - $B$ линейно независима и линейно порождает систему $S$;
+    - $B$ — минимальная (по включению) порождающая подсистема в $S$.
+----
+=== 25 сентября 2026 ===
+Ранг матрицы, его свойства и вычисление. Подпространства в векторном пространстве, размерность. Пространство решений ОСЛУ. Фундаментальная система решений ОСЛУ, её нахождение.
+== Домашнее задание: ==
+  * 7.1дл, 7.2аз, 7.3, 7.5, 8.4бвг, 8.25★.
+----
+=== 28 сентября 2026 ===
+Алгебраические операции над матрицами, их свойства, нулевая матрица. Некоммутативность умножения матриц, делители нуля и нильпотентные матрицы, нильпотентность нильтреугольных матриц.
+== Домашнее задание: ==
+  * 17.1бв, 17.4ав, 17.25, 19.4абв, 19.15.
+----
+=== 2 октября 2026 ===
+Умножение на диагональные матрицы. Матричные единицы, умножение на них слева и справа. Квадратные матрицы, коммутирующие со всеми матрицами того же размера, скалярны. Элементарные матрицы, умножение на них слева и справа. Вычисление ранга блочных матриц.
+== Домашнее задание: ==
+  * 17.13, 17.17, 17.26, 19.3абв, 19.14, 7.6, 7.10, 7.11.
+----
+=== 9 октября 2026 ===
+Обратная матрица. Решение матричных уравнений вида $AX=B$. Нахождение обратной матрицы. Разложение невырожденной матрицы в произведение элементарных матриц.
+== Домашнее задание: ==
+  * 19.4г, 19.21, 18.3взи, 18.4, 18.9кл, 18.17★;
+  * решить матричное уравнение:
+  * {{:staff:timashev:mat-eq.jpg|}}
+  * как изменится $A^{-1}$, если матрицу $A$ подвергнуть одному из следующих преобразований:
+      * транспонировать относительно побочной диагонали;
+      * повернуть на 90º против часовой стрелки?
+  * ★ Доказать, что для любой (даже не обязательно квадратной) матрицы A существует квазиобратная матрица, т.е. такая матрица $B$, что $ABA=A$ и $BAB=B$.
+----
+=== 12 октября 2026 ===
+Подстановки, их количество. Двухрядная запись подстановок. Умножение подстановок. Циклические подстановки, разложение произвольной подстановки на независимые циклы. Возведение подстановок в степень. Решение уравнений в подстановках.
+== Домашнее задание: ==
+  * 3.1вг, 3.2аге, 3.3ав, 3.4аб, 3.13;
+  * решить уравнения в подстановках:
+      * {{:staff:timashev:eq-subst3.jpg|}}
+  * (//Задача о квартирном обмене//) Несколько семей хотят обменяться квартирами. За один день каждая семья может принять участие не более чем в одном обмене квартирами с какой-нибудь другой семьей. Доказать, что любой сложный обмен можно осуществить не более чем за два дня.
+----
+=== 16 октября 2026 ===
+Чётность и знак перестановок и подстановок. Знак цикла. Задача про "пятнашки": можно ли, последовательно передвигая фишки на соседнее свободное место, поменять местами фишки 14 и 15, оставив остальные фишки на месте? Можно ли, вращая слои куба Рубика на шарнирах, добиться того, чтобы угловые кубики одной из граней переставились по кругу, а остальные кубики остались на своих местах (возможно, повернувшись)?
+Определители квадратных матриц, их вычисление по развёрнутой формуле.
+== Домашнее задание: ==
+  * 3.6бвж, 3.11, 3.14, 3.22, 10.4б, 16.2;
+  * решить уравнения в подстановках:
+      * {{:staff:timashev:eq-subst6.jpg|}}
+  * Можно ли, вращая слои куба Рубика на шарнирах, добиться того, чтобы один из боковых кубиков в нём перевернулся, а остальные остались на своих местах, не изменив положения?