Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- семинары_108_группа_весна_2017 [31.03.2017 17:17]
timashev
+++ семинары_108_группа_весна_2017 [08.04.2025 16:43] (текущий)
@@ Строка 63: / Строка 63: @@
 == Домашнее задание: ==
   * 40.15ге, 40.11★, 40.5, 40.7, 40.9, 40.16авг;
-  * Задать системой однородных линейных уравнений сумму подпространств U+W в 4-мерном пространстве V при условии, что подпространства U и W заданы с помощью ОСЛУ:
+  * задать системой однородных линейных уравнений сумму подпространств U+W в 4-мерном пространстве V при условии, что подпространства U и W заданы с помощью ОСЛУ:
   * {{:staff:timashev:sub1.jpg|}} {{:staff:timashev:sub2.jpg|}}
@@ Строка 107: / Строка 107: @@
 === 22 марта 2017 ===
-Аналитические функции от линейных операторов и матриц, их вычисление. Билинейные функции, их запись в координатах (билинейные формы). Матрица билинейной функции, её преобразование при замене базиса.
+Аналитические функции от линейных операторов и матриц, их вычисление.
+Билинейные функции, их запись в координатах (билинейные формы). Матрица билинейной функции, её преобразование при замене базиса.
 == Домашнее задание: ==
@@ Строка 137: / Строка 139: @@
 {{:coll_17.doc|Коллоквиум}}
+----
+=== 5 апреля 2017 ===
+== Контрольная работа ==
+  - Нахождение базиса и системы линейных уравнений для суммы двух подпространств, заданных системами линейных уравнений (//1 вариант//); нахождение размерности и базиса пересечения двух подпространств, заданных своими базисами (//2 вариант//).
+  - Нахождение собственных векторов и жордановой нормальной формы линейного оператора.
+  - Вычисление экспоненты матрицы (//1 вариант//) и многочлена от матрицы (//2 вариант//).
+  - Приведение симметрической билинейной формы (//1 вариант//) и квадратичной формы (//2 вариант//) к каноническому виду.
+  - Выяснение положительной определённости квадратичной формы в зависимости от значений параметра (//1 вариант//); выяснение эквивалентности двух квадратичных форм над полями **C** и **R** (//2 вариант//).
+----
+=== 7 апреля 2017 ===
+Евклидовы векторные пространства. Длина вектора, её свойства. Неравенство Коши–Буняковского. Ортогональность векторов, линейная независимость ортогональной системы ненулевых векторов. Обобщённая теорема Пифагора. Ортогональные и ортонормированные базисы, ортогональные системы координат. Ортогональное дополнение к подпространству, его свойства. Ортогональная проекция и ортогональная составляющая вектора относительно подпространства. Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Матрица и определитель Грама, их свойства.
+== Домашнее задание: ==
+  * 43.19бв, 43.18а, 43.12, 43.15в, 43.7г, 43.25бвг, 43.27, 43.11.
+----
+=== 12 апреля 2017 ===
+Объём многомерного параллелепипеда в евклидовом пространстве. Вычисление объёма параллелепипеда, натянутого на одночлены 1, x, x², в пространстве многочленов со скалярным умножением (f|g)=∫fgdx (интеграл по [-1,1]). Расстояние между векторами в евклидовом пространстве, его свойства. Расстояние между вектором и подпространством. Угол между векторами, линейная независимость системы векторов с попарными углами π/3.
+== Домашнее задание: ==
+  * 43.45 (при n=3, ★ при любом n), 43.36а (вычислить объём двумя способами), 43.37, 43.21б, 43.24, 43.40.
+----
+=== 14 апреля 2017 ===
+Угол между вектором и подпространством.
+Ортогональные операторы и их матрицы, примеры: поворот плоскости, отражение относительно подпространства. Свойства ортогональных операторов: сохранение длин, расстояний, углов. Всякая линейная изометрия евклидова пространства — ортогональный оператор. Собственные значения ортогонального оператора, ортогональность собственных подпространств. Инвариантность ортогонального дополнения к инвариантному подпространству относительно ортогонального оператора. Канонический вид матрицы ортогонального оператора, его нахождение. Лемма о существовании инвариантного подпространства размерности ≤2 для линейного оператора над **R**.
+== Домашнее задание: ==
+  * 43.38б, 43.41, 46.4, 46.6агж, 46.12, 46.14;
+  * ★ всякая изометрия евклидова пространства является композицией ортогонального оператора и сдвига.
+----
+=== 19 апреля 2017 ===
+Примеры приведения ортогональных операторов к каноническому виду. Эйлеровы углы ортогонального оператора с определителем 1 в 3-мерном пространстве.
+Комплексификация вещественных векторных пространств и линейных операторов, нахождение 2-мерного инвариантного подпространства.
+== Домашнее задание: ==
+  * привести к каноническому виду ортогональный оператор с матрицей
+  * {{:staff:timashev:ort.jpg|}}
+----
+=== 21 апреля 2017 ===
+Соответствие между линейными операторами и билинейными функциями в евклидовом пространстве. Сопряжённый оператор, его матрица. Подпространство U инвариантно относительно оператора A ⇒ ортогональное дополнение к U инвариантно относительно сопряжённого оператора A*. Оператор A ортогонален ⇔ A* обратен к A.
+Симметрические (самосопряжённые) операторы, их матрицы. Наличие собственного вектора и ортогональность собственных подпространств симметрического оператора. Канонический вид матрицы симметрического оператора, его нахождение. Приведение симметрических билинейных и квадратичных функций к главным осям.
+== Домашнее задание: ==
+  * 44.1бвгде, 44.2, 44.5, 44.7, 45.4гж, 45.19деи, 45.18.
+----
+=== 26 апреля 2017 ===
+Неотрицательные и положительно определённые симметрические операторы, пример: A*·A, где A — произвольный оператор в евклидовом пространстве. Критерий неотрицательности и положительной определённости симметрического оператора в терминах собственных значений. Извлечение квадратного корня из неотрицательного и положительно определённого оператора. Полярное разложение невырожденного линейного оператора в евклидовом пространстве.
+== Домашнее задание: ==
+  * 45.12, 45.14, 45.15, 45.16бв;
+  * ★ у любого линейного оператора A (возможно, вырожденного) существует (не обязательно единственное) полярное разложение в виде A=U·R, где U — ортогональный, а R — неотрицательный симметрический оператор;
+  * всякая невырожденная вещественная матрица A представляется в виде A=U·D·V, где U и V — ортогональные матрицы, а D — диагональная матрица.
+----
+=== 28 апреля 2017 ===
+Аффинные пространства. Векторизация, барицентрические комбинации точек. Координаты в аффинном пространстве, замена координат. Аффинные подпространства (плоскости), способы их задания (опорная точка + направляющее подпространство, параметрический способ, аффинная оболочка, система линейных уравнений). Взаимное расположение плоскостей в аффинном пространстве, размерность аффинной оболочки их объединения и их пересечения, степень параллельности.
+== Домашнее задание: ==
+  * 49.2, 49.23, 49.10б, 49.16ав, 49.20а, 49.12.
+----
+=== 3 мая 2017 ===
+Задача: провести через точку прямую, пересекающую две плоскости. Евклидовы аффинные пространства: расстояние между точками, задача: может ли данная матрица быть матрицей расстояний между точками. Расстояние от точки до плоскости и между плоскостями в евклидовом аффинном пространстве.
+== Домашнее задание: ==
+  * 49.20б, 51.7в, 51.6а, 51.8, 51.14б, 51.15.
+----
+=== 5 мая 2017 ===
+Аффинные отображения и преобразования аффинных пространств, достаточные условия наличия неподвижных точек. Движения  евклидовых пространств, вектор скольжения. Классификация движений в размерностях 2 и 3, задача на геометрическое описание движения 2-мерной плоскости.
+== Домашнее задание: ==
+  * 49.27, 49.28, 51.19б, 51.20, 51.21, 51.23аб, 51.24а.
+----
+=== 10 мая 2017 ===
+Задача на геометрическое описание движения 3-мерного пространства.
+Квадратичные функции на аффинном пространстве, их координатная запись, расширенная матрица квадратичной функции. Квадратичные гиперповерхности (квадрики). Приведение квадратичной функции (квадрики) к каноническому или к нормальному виду и к главным осям.
+== Домашнее задание: ==
+  * 51.23д, 51.24вг, 52.4, 52.20аб, 52.22суф, 52.16, 52.17, 52.19а.
+----
+=== 12 мая 2017 ===
+Различные типы квадрик: центральные и нецентральные, конические и неконические, цилиндрические, невырожденные. Центр квадратичной функции (квадрики), его нахождение.
+Тензоры, примеры: тензоры малых валентностей, det. Операции над тензорами: сложение, умножение на скаляры, тензорное умножение.
+== Домашнее задание: ==
+  * 52.6вг, 52.21абв, 47.3б, 47.2.
+----
+=== 17 мая 2017 ===
+Компоненты тензора, тензорный базис, правило Эйнштейна. Операции над тензорами в координатах, разложимые тензоры. Преобразование компонент тензора при замене координат. Свёртка.
+== Домашнее задание: ==
+  * 47.7бв, 47.4, 47.1вг, 47.13;
+  * ★ тензор det нельзя разложить в произведение тензоров меньших валентностей.
+----
+=== 19 мая 2017 ===
+Выражение различных операций линейной алгебры в терминах тензорного произведения и свёртки. Ковариантные и контравариантные тензоры, симметрические и кососимметрические тензоры, симметризация и альтернирование. Внешнее умножение
+внешних форм, его свойства, связь с определителями. Базис и размерность пространства внешних форм. Канонический вид кососимметрической билинейной функции, приведение к каноническому виду с помощью внешнего умножения (аналог метода Лагранжа).
+== Домашнее задание: ==
+  * 47.9, 47.14б, 37.33вг, 48.14, 48.16.
+----
+=== 24 мая 2017 ===
+== Контрольная работа ==
+  - Ортогонализация системы векторов (//1 вариант//); вычисление объёма параллелепипеда (//2 вариант//).
+  - Нахождение угла между вектором и подпространством (//1 вариант//); вычисление расстояния от точки до плоскости (//2 вариант//).
+  - Приведение симметрической билинейной формы (//1 вариант//) и квадратичной формы (//2 вариант//) к главным осям.
+  - Определение типа движения плоскости (//1 вариант//) и пространства (//2 вариант//) и его полное геометрическое описание.
+  - Полярное разложение невырожденного линейного оператора.