Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- семинары_108_группа_весна_2017 [10.05.2017 01:14]
timashev
+++ семинары_108_группа_весна_2017 [08.04.2025 16:43] (текущий)
@@ Строка 63: / Строка 63: @@
 == Домашнее задание: ==
   * 40.15ге, 40.11★, 40.5, 40.7, 40.9, 40.16авг;
-  * Задать системой однородных линейных уравнений сумму подпространств U+W в 4-мерном пространстве V при условии, что подпространства U и W заданы с помощью ОСЛУ:
+  * задать системой однородных линейных уравнений сумму подпространств U+W в 4-мерном пространстве V при условии, что подпространства U и W заданы с помощью ОСЛУ:
   * {{:staff:timashev:sub1.jpg|}} {{:staff:timashev:sub2.jpg|}}
@@ Строка 107: / Строка 107: @@
 === 22 марта 2017 ===
-Аналитические функции от линейных операторов и матриц, их вычисление. Билинейные функции, их запись в координатах (билинейные формы). Матрица билинейной функции, её преобразование при замене базиса.
+Аналитические функции от линейных операторов и матриц, их вычисление.
+Билинейные функции, их запись в координатах (билинейные формы). Матрица билинейной функции, её преобразование при замене базиса.
 == Домашнее задание: ==
@@ Строка 172: / Строка 174: @@
 === 14 апреля 2017 ===
-Угол между вектором и подпространством. Ортогональные операторы и их матрицы, примеры: поворот плоскости, отражение относительно подпространства. Свойства ортогональных операторов: сохранение длин, расстояний, углов. Всякая линейная изометрия евклидова пространства — ортогональный оператор. Собственные значения ортогонального оператора, ортогональность собственных подпространств. Инвариантность ортогонального дополнения к инвариантному подпространству относительно ортогонального оператора. Канонический вид матрицы ортогонального оператора, его нахождение. Лемма о существовании инвариантного подпространства размерности ≤2 для линейного оператора над **R**.
+Угол между вектором и подпространством.
+Ортогональные операторы и их матрицы, примеры: поворот плоскости, отражение относительно подпространства. Свойства ортогональных операторов: сохранение длин, расстояний, углов. Всякая линейная изометрия евклидова пространства — ортогональный оператор. Собственные значения ортогонального оператора, ортогональность собственных подпространств. Инвариантность ортогонального дополнения к инвариантному подпространству относительно ортогонального оператора. Канонический вид матрицы ортогонального оператора, его нахождение. Лемма о существовании инвариантного подпространства размерности ≤2 для линейного оператора над **R**.
 == Домашнее задание: ==
@@ Строка 182: / Строка 186: @@
 === 19 апреля 2017 ===
-Примеры приведения ортогональных операторов к каноническому виду. Эйлеровы углы ортогонального оператора с определителем 1 в 3-мерном пространстве. Комплексификация вещественных векторных пространств и линейных операторов, нахождение 2-мерного инвариантного подпространства.
+Примеры приведения ортогональных операторов к каноническому виду. Эйлеровы углы ортогонального оператора с определителем 1 в 3-мерном пространстве.
+Комплексификация вещественных векторных пространств и линейных операторов, нахождение 2-мерного инвариантного подпространства.
 == Домашнее задание: ==
@@ Строка 192: / Строка 198: @@
 === 21 апреля 2017 ===
-Соответствие между линейными операторами и билинейными функциями в евклидовом пространстве. Сопряжённый оператор, его матрица. Подпространство U инвариантно относительно оператора A ⇒ ортогональное дополнение к U инвариантно относительно сопряжённого оператора A*. Оператор A ортогонален ⇔ A* обратен к A. Симметрические (самосопряжённые) операторы, их матрицы. Наличие собственного вектора и ортогональность собственных подпространств симметрического оператора. Канонический вид матрицы симметрического оператора, его нахождение. Приведение симметрических билинейных и квадратичных функций к главным осям.
+Соответствие между линейными операторами и билинейными функциями в евклидовом пространстве. Сопряжённый оператор, его матрица. Подпространство U инвариантно относительно оператора A ⇒ ортогональное дополнение к U инвариантно относительно сопряжённого оператора A*. Оператор A ортогонален ⇔ A* обратен к A.
+Симметрические (самосопряжённые) операторы, их матрицы. Наличие собственного вектора и ортогональность собственных подпространств симметрического оператора. Канонический вид матрицы симметрического оператора, его нахождение. Приведение симметрических билинейных и квадратичных функций к главным осям.
 == Домашнее задание: ==
@@ Строка 234: / Строка 242: @@
 == Домашнее задание: ==
   * 49.27, 49.28, 51.19б, 51.20, 51.21, 51.23аб, 51.24а.
+----
+=== 10 мая 2017 ===
+Задача на геометрическое описание движения 3-мерного пространства.
+Квадратичные функции на аффинном пространстве, их координатная запись, расширенная матрица квадратичной функции. Квадратичные гиперповерхности (квадрики). Приведение квадратичной функции (квадрики) к каноническому или к нормальному виду и к главным осям.
+== Домашнее задание: ==
+  * 51.23д, 51.24вг, 52.4, 52.20аб, 52.22суф, 52.16, 52.17, 52.19а.
+----
+=== 12 мая 2017 ===
+Различные типы квадрик: центральные и нецентральные, конические и неконические, цилиндрические, невырожденные. Центр квадратичной функции (квадрики), его нахождение.
+Тензоры, примеры: тензоры малых валентностей, det. Операции над тензорами: сложение, умножение на скаляры, тензорное умножение.
+== Домашнее задание: ==
+  * 52.6вг, 52.21абв, 47.3б, 47.2.
+----
+=== 17 мая 2017 ===
+Компоненты тензора, тензорный базис, правило Эйнштейна. Операции над тензорами в координатах, разложимые тензоры. Преобразование компонент тензора при замене координат. Свёртка.
+== Домашнее задание: ==
+  * 47.7бв, 47.4, 47.1вг, 47.13;
+  * ★ тензор det нельзя разложить в произведение тензоров меньших валентностей.
+----
+=== 19 мая 2017 ===
+Выражение различных операций линейной алгебры в терминах тензорного произведения и свёртки. Ковариантные и контравариантные тензоры, симметрические и кососимметрические тензоры, симметризация и альтернирование. Внешнее умножение
+внешних форм, его свойства, связь с определителями. Базис и размерность пространства внешних форм. Канонический вид кососимметрической билинейной функции, приведение к каноническому виду с помощью внешнего умножения (аналог метода Лагранжа).
+== Домашнее задание: ==
+  * 47.9, 47.14б, 37.33вг, 48.14, 48.16.
+----
+=== 24 мая 2017 ===
+== Контрольная работа ==
+  - Ортогонализация системы векторов (//1 вариант//); вычисление объёма параллелепипеда (//2 вариант//).
+  - Нахождение угла между вектором и подпространством (//1 вариант//); вычисление расстояния от точки до плоскости (//2 вариант//).
+  - Приведение симметрической билинейной формы (//1 вариант//) и квадратичной формы (//2 вариант//) к главным осям.
+  - Определение типа движения плоскости (//1 вариант//) и пространства (//2 вариант//) и его полное геометрическое описание.
+  - Полярное разложение невырожденного линейного оператора.