Преподаватель: Д.А.Тимашёв

Занятия проходят по средам на 2-й паре (10:45-12:20) в ауд. 454 и по пятницам на 3-й паре (13:15-14:50) в ауд. 464.

Нумерация задач даётся по «Сборнику задач по алгебре» под ред. А.И.Кострикина, 3-е изд., Москва, Физматлит, 2001. Дополнительные задачи помечены знаком ★.

Векторные пространства: простейшие следствия из аксиом, примеры (в частности: множество 2^X всех подмножеств множества X как векторное пространство над Z_2, абелеву группу Z нельзя превратить в векторное пространство). Линейные комбинации векторов, линейная зависимость, примеры линейно независимых систем функций. Базис, размерность, координаты. Матрица перехода к другому базису, её свойства, преобразование координат вектора при замене базиса.

• 34.3дж, 34.4аб, 34.7бг, 34.10ав, 34.11а, 34.12;
• доказать, что множество R^+ положительных чисел с операциями u⊕v = u·v (u,v∈R^+) и λ⊗v = v^λ (λ∈R, v∈R^+) является векторным пространством над полем R, и найти его размерность.

Расширения полей как векторные пространства, число элементов конечного поля. Подпространства: примеры, способы задания (линейная оболочка и однородная система линейных уравнений). Базис, согласованный с подпространством. Пересечение и сумма двух подпространств (объединение — вообще говоря, не подпространство). Базис, согласованный с парой подпространств, формула Грассмана для размерности их суммы.

• 34.8д★з, 35.3вдеж, 35.9, 35.10, 35.26, 35.27.

Применения формулы Грассмана (7-мерное подпространство пространства матриц размера 4×4 содержит ненулевую симметрическую матрицу). Инварианты взаимного расположения пары подпространств, обсуждение инвариантов троек и четвёрок подпространств (в последнем случае дискретных инвариантов недостаточно, пример: двойное отношение четвёрки прямых на плоскости). Прямая сумма подпространств, её базис и размерность, проекции на прямые слагаемые (пример: разложение пространства квадратных матриц в прямую сумму подпространств симметрических и кососимметрических матриц).

• 35.17, 35.18, 35.19, 35.22, 35.24;
• если матрица A размера n×n имеет ранг ≤n/2, то матричное уравнение AX=0 имеет решением ненулевую треугольную матрицу X;
• ★ найти полную систему инвариантов взаимного расположения трёх подпространств в конечномерном векторном пространстве.

Линейные функции на векторном пространстве V, их координатная запись. Ядро линейной функции. Сопряжённое пространство V*, сопряжённый базис. Канонический изоморфизм пространств V и (V*)* в конечномерном случае. Двойственность между векторами и линейными функциями (ковекторами).

Аннулятор подмножества в векторном пространстве, его свойства. Совпадение второго аннулятора подпространства с этим подпространством в конечномерном случае. Задание подпространства однородной системой линейных уравнений ⇔ нахождение аннулятора подпространства.

• 36.14, 36.18, 36.17бв, 36.15, 36.9, 36.10, 35.16б, 35.15вг.

Заменял М.В.Зайцев.

Линейные операторы на векторном пространстве. Матрица линейного оператора, её преобразование при замене базиса. Ядро и образ линейного оператора. Инвариантные подпространства.

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Характеристический многочлен, его коэффициенты. Собственные подпространства, их линейная независимость. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения. Диагонализуемые операторы, эквивалентные условия диагонализуемости.

• 40.15ге, 40.11★, 40.5, 40.7, 40.9, 40.16авг;
• Задать системой однородных линейных уравнений сумму подпространств U+W в 4-мерном пространстве V при условии, что подпространства U и W заданы с помощью ОСЛУ:
• 

Примеры диагонализуемых операторов, проекторы. Корневые векторы и корневые подпространства линейного оператора, их инвариантность, размерность и линейная независимость. Нахождение корневых подпространств.

• 40.35бг, 40.27, 40.29, 40.33, 40.37, 40.38, 40.44★;
• доказать, что отражения (т.е. линейные операторы R с условием R^2=E) диагонализуемы, и описать их структуру.

Нильпотентные операторы: жорданов базис, диаграммы Юнга. Жорданова нормальная форма линейного оператора, формулы для количества жордановых клеток с заданным собственным значением (всех и данного размера).

• 41.1агжим, 41.3, 41.5, 41.7.

Нахождение жорданова базиса линейного оператора. Применения жордановой нормальной формы: критерий нильпотентности линейного оператора в терминах собственных значений, централизатор линейного оператора в пространстве V имеет размерность ≥ dim V, вычисление циркулянта.

• 41.10бг, 41.45, 41.15, 41.14★, 15.3, 41.21, 41.20★.

Извлечение корней из линейных операторов и матриц. Многочлены от линейных операторов и матриц. Аннулирующие многочлены, теорема Гамильтона–Кэли. Минимальный многочлен, его свойства и вычисление. Вычисление многочлена от линейного оператора (матрицы) нахождением остатка при делении на минимальный многочлен.

• 41.27, 41.30, 41.33★, 41.22.

Аналитические функции от линейных операторов и матриц, их вычисление. Билинейные функции, их запись в координатах (билинейные формы). Матрица билинейной функции, её преобразование при замене базиса.

• 42.19бгд, 42.20, 37.1гджимнопсту, 37.2, 37.6а;
• вычислить экспоненту матрицы
• 

Инварианты билинейных функций: ранг и дискриминант. Классификация билинейных функций ранга ≤1. Симметрические и кососимметрические билинейные функции, однозначное разложение произвольной билинейной функции в сумму симметрической и кососимметрической. Квадратичные функции, поляризация. Канонический вид симметрической билинейной и квадратичной функции, метод Лагранжа приведения к каноническому виду.

• 37.28аб, 37.25, 37.32б, 38.3, 37.30а★, 38.16б, 38.18бвгзк.

Метод Якоби приведения симметрической билинейной или квадратичной функции к каноническому виду. Нормальный вид симметрических билинейных и квадратичных функций над полями C и R, закон инерции. Положительно и отрицательно определённые функции, критерий Сильвестра. Геометрический смысл индексов инерции.

• 38.9, 38.17б, 38.19, 38.22а, 38.11б, 38.14а, 38.30, 38.21.

Коллоквиум

1. Нахождение базиса и системы линейных уравнений для суммы двух подпространств, заданных системами линейных уравнений (1 вариант); нахождение размерности и базиса пересечения двух подпространств, заданных своими базисами (2 вариант).
2. Нахождение собственных векторов и жордановой нормальной формы линейного оператора.
3. Вычисление экспоненты матрицы (1 вариант) и многочлена от матрицы (2 вариант).
4. Приведение симметрической билинейной формы (1 вариант) и квадратичной формы (2 вариант) к каноническому виду.
5. Выяснение положительной определённости квадратичной формы в зависимости от значений параметра (1 вариант); выяснение эквивалентности двух квадратичных форм над полями C и R (2 вариант).

Евклидовы векторные пространства. Длина вектора, её свойства. Неравенство Коши–Буняковского. Ортогональность векторов, линейная независимость ортогональной системы ненулевых векторов. Обобщённая теорема Пифагора. Ортогональные и ортонормированные базисы, ортогональные системы координат. Ортогональное дополнение к подпространству, его свойства. Ортогональная проекция и ортогональная составляющая вектора относительно подпространства. Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Матрица и определитель Грама, их свойства.

• 43.19бв, 43.18а, 43.12, 43.15в, 43.7г, 43.25бвг, 43.27, 43.11.