Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- семинары_201_группа_осень_2019 [18.11.2019 22:47]
timashev
+++ семинары_201_группа_осень_2019 [08.04.2025 16:43] (текущий)
@@ Строка 6: / Строка 6: @@
 Нумерация задач даётся по «//Сборнику задач по алгебре//» под ред. А.И. Кострикина, новое изд., Москва, МЦНМО, 2009. Дополнительные задачи помечены знаком ★.
-<fc #FF0000>**Объявление**</fc>: вместо семинара по алгебре **02.12.19** будет семинар по топологии, а вместо семинара по топологии **10.12.19** будет семинар по алгебре.
 ----
@@ Строка 110: / Строка 108: @@
 == Домашнее задание: ==
   * 62.7г, 62.8б, 62.11в, 62.13, 62.15;
-  * доказать, что -E не является коммутатором в группе SL_2(**R**) и в группе SL_2(**Z**_7);
+  * доказать, что -E не является коммутатором в группе SL_2(**R**);
   * вычислить производный ряд для группы, состоящей из невырожденных действительных матриц вида
   * {{:staff:timashev:commutant.jpg|}}
+----
 === 18 ноября 2019 ===
@@ Строка 121: / Строка 121: @@
   * 59.3а, 59.4а, 59.13где, 59.15, 59.20вг, 59.22ав, 62.18вгде★;
   * описать все силовские 3-подгруппы в D_3×A_4.
+----
+=== 25 ноября 2019 ===
+Классификация групп порядка ≤10.
+Линейные и матричные представления групп, в том числе представление в пространстве функций на множестве с действием группы. Приводимые и вполне приводимые представления, разложение в прямую сумму неприводимых представлений. Нахождение инвариантных подпространств и доказательство неприводимости (пример: стандартное представление группы A_n при n≥5). Теорема Машке. Описание неприводимых комплексных представлений конечных абелевых групп (пример: V_4) и одномерных комплексных представлений конечных групп (пример: S_3×D_5).
+== Домашнее задание: ==
+  * 69.2, 69.7, 69.9, 69.11, 70.2жз, 70.10;
+  * доказать, что любая неабелева группа порядка 8 изоморфна либо Q_8, либо D_4;
+  * разложить мономиальное представление группы A_n при n=3,4 над полем **C** на неприводимые слагаемые;
+  * описать все одномерные комплексные представления групп A_4×D_4 и Q_8.
+----
+=== 9 декабря 2019 ===
+Факты о количестве и размерностях неприводимых комплексных представлений конечной группы. Описание всех неприводимых комплексных представлений группы D_n.
+Структурные константы алгебры. Классификация двумерных комплексных алгебр с единицей.
+== Домашнее задание: ==
+  * 70.34бге, 70.37б, 70.39, 63.21б, 63.22а;
+  * описать все неприводимые комплексные представления групп Q_8 и A_4×**Z**_3.
+----
+=== 10 декабря 2019 ===
+Идеалы, главные идеалы, кольца главных идеалов. Факторалгебры K[x]/(f), их свойства, вычисления в K[x]/(f). Присоединение корня, избавление от иррациональности в знаменателе. Минимальный многочлен.
+== Домашнее задание: ==
+  * 64.8б, 64.2а, 64.43, 67.3бгдеж, 67.12;
+  * представить выражение (a²-3a-1)/(a²+2a+1) в виде многочлена от a наименьшей возможной степени с рациональными коэффициентами, где a∈**C** — корень многочлена x³+x²+3x+4.
+----
+=== 16 декабря 2019 ===
+== Контрольная работа ==
+  - Вычисление факторгруппы свободной абелевой группы и нахождение в ней количества элементов заданного порядка (//1 вариант//) и порядка заданного элемента (//2 вариант//).
+  - Нахождение централизатора элемента группы подстановок и количества элементов в его классе сопряжённости (//1 вариант//); описание орбит действия группы на множестве (//2 вариант//).
+  - Доказательство коммутативности группы заданного порядка (//1 вариант//); описание силовских подгрупп в группе (//2 вариант//).
+  - Вычисление производного ряда группы (//1 вариант//); доказательство разрешимости группы заданного порядка (//2 вариант//).
+  - Описание одномерных комплексных представлений группы.
+  - Избавление от иррациональности в знаменателе выражения в поле, получаемом присоединением корня неприводимого многочлена к полю **Z**_2 (//1 вариант//) и **C** (//2 вариант//).