Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- семинары_202_группа_осень_2017 [18.09.2017 21:04]
timashev
+++ семинары_202_группа_осень_2017 [08.04.2025 16:43] (текущий)
@@ Строка 36: / Строка 36: @@
 == Домашнее задание: ==
   * 58.31де, 58.32ге, 58.42, 57.39а, 57.40, 57.41б, 57.43★, 57.44★.
+----
+=== 25 сентября 2017 ===
+Прямое произведение (прямая сумма) групп, примеры разложений и неразложимости групп в прямые произведения (прямые суммы). Полупрямое произведение групп, примеры.
+== Домашнее задание: ==
+  * 60.2бвг, 60.5ав, 60.7, 60.8б, 60.12;
+  * какие из групп в задаче 60.2 разложимы (нетривиальным образом) в полупрямое произведение?
+  * разложить в полупрямое произведение группы: а) GL_n(K) б) невырожденных верхнетреугольных матриц размера n×n.
+----
+=== 2 октября 2017 ===
+Конечно порождённые и не конечно порождённые абелевы группы, примеры. Структура конечно порождённых абелевых групп, её определение, исходя из представления группы в виде факторгруппы свободной группы по подгруппе, заданной набором порождающих элементов, приведением целочисленной матрицы координат порождающих элементов подгруппы к "диагональному" виду. Вычисление порядка элемента в конечно порождённой абелевой группе, представленной как факторгруппа свободной группы. Критерий конечности факторгруппы свободной абелевой группы.
+== Домашнее задание: ==
+  * 60.32, 60.50, 60.52агд, 60.53, 60.54;
+  * Являются ли конечно порождёнными следующие группы:
+    - группа рациональных дробей m/n, у которых простые делители n содержатся среди {p_1,…,p_s}, с операцией сложения;
+    - группа рациональных дробей m/n≠0, у которых простые делители m и n содержатся среди {p_1,…,p_s}, с операцией  умножения;
+  * доказать две формулы для объёма целочисленного n-мерного параллелепипеда П:
+    - vol(П) = число целых точек в П, не лежащих на его гранях, не содержащих данную вершину 0;
+    - vol(П) = ∑ (1/2^k)⋅(число целых точек внутри всех (n-k)-мерных граней П), где суммирование ведётся по k=0,1,…,n;
+  * доказать формулу Пика для площади целочисленного многоугольника P:
+  * S(P) = (число целых точек внутри P)+½⋅(число целых точек на периметре P)-1.
+----
+=== 9 октября 2017 ===
+Конечные абелевы группы, их структура, тип группы. Классификация конечных абелевых групп заданного порядка. Определение типа факторгруппы конечной (или конечно порождённой) абелевой группы. Вложимость конечных абелевых групп друг в друга. Количество подгрупп заданного порядка в данной конечной абелевой группе.
+== Домашнее задание: ==
+  * 60.39ежз, 60.40ав, 60.42, 60.43бв, 60.45.
+----
+=== 16 октября 2017 ===
+Действия групп на множествах, описание орбит и стабилизаторов. Пять правильных многогранников (платоновы тела), двойственность между ними. Группы движений двойственных многогранников совпадают. Группа вращений тетраэдра.
+== Домашнее задание: ==
+  * 57.1абв, 57.3, 57.9бв, 57.12в, 57.13а★б, 58.35, 58.36.
+----
+=== 23 октября 2017 ===
+Теоретико-групповое определение и классификация правильных многогранников. Формула Бернсайда для числа орбит действия конечной группы на конечном множестве. Действие группы на себе сопряжениями: классы сопряжённости и централизаторы, число элементов в классе сопряжённости, формула классов.
+== Домашнее задание: ==
+  * 57.23б, 57.25, 57.31, 58.43;
+  * сколько существует различных игральных костей? (игральная кость — это кубик, на каждой грани которого написана цифра от 1 до 6, причём цифры могут повторяться);
+  * доказать формулу Эйлера для правильного многогранника с помощью формулы Бернсайда, рассмотрев действие группы вращений многогранника на множестве точек описанной сферы с нетривиальным стабилизатором.
+----
+=== 30 октября 2017 ===
+Коммутант группы, его свойства. Вычисление коммутанта группы G методом оценки сверху (ядро гомоморфизма G в абелеву группу) и снизу (подгруппа, порождённая некоторым количеством коммутаторов). Разрешимые группы.
+== Домашнее задание: ==
+  * 62.6, 62.11в, 62.12, 62.18а;
+  * найти порядки коммутантов групп GL_2(**Z**_2) и SL_2(**Z**_3);
+  * доказать, что -E не является коммутатором в группе SL_2(**R**).
+----
+=== 13 ноября 2017 ===
+{{:staff:timashev:colloq3.pdf|Коллоквиум}}
+----
+=== 20 ноября 2017 ===
+Силовские подгруппы, теоремы Силова, примеры: силовские подгруппы в A_4, в GL_2(**Z**_p), в прямом произведении групп. Арифметика конечных групп: доказательство непростоты и разрешимости групп заданного порядка (80, 12).
+== Домашнее задание: ==
+  * 59.3а, 59.4а, 59.13абв, 59.15, 59.22ав, 59.24, 62.18вгде★;
+  * описать все силовские 3-подгруппы в D_3×A_4.
+----
+=== 27 ноября 2017 ===
+Арифметика конечных групп: доказательство коммутативности групп заданного порядка (455), классификация групп порядка ≤10.
+Линейные и матричные представления групп, в том числе представление в пространстве функций на множестве с действием группы. Приводимые и вполне приводимые представления, разложение в прямую сумму неприводимых представлений. Нахождение инвариантных подпространств и доказательство неприводимости (пример: мономиальное представление группы A_n при n≥5). Теорема Машке.
+== Домашнее задание: ==
+  * 59.20вг, 69.2, 69.7, 69.9, 69.11;
+  * доказать, что любая неабелева группа порядка 8 изоморфна либо Q_8, либо D_4;
+  * разложить мономиальное представление группы A_n при n=3,4 над полем **C** на неприводимые слагаемые.
+----
+=== 4 декабря 2017 ===
+Описание неприводимых комплексных представлений конечных абелевых групп (пример: V_4). Описание одномерных комплексных представлений конечных групп (пример: S_3×D_5). Факты о количестве и размерностях неприводимых комплексных представлений конечной группы. Описание всех неприводимых комплексных представлений группы D_n.
+== Домашнее задание: ==
+  * 70.2жз, 70.10, 70.34бге, 70.37б, 70.39;
+  * описать все одномерные комплексные представления группы A_4×D_4;
+  * описать все неприводимые комплексные представления групп Q_8 и A_4×**Z**_3.
+----
+=== 11 декабря 2017 ===
+Алгебры, структурные константы. Классификация двумерных комплексных алгебр с единицей. Идеалы, главные идеалы, кольца главных идеалов. Факторалгебры K[x]/(f), их свойства, вычисления в K[x]/(f). Присоединение корня, избавление от иррациональности в знаменателе. Минимальный многочлен. Конечные поля, построение поля **F**_16.
+== Домашнее задание: ==
+  * 63.21б, 63.22а, 64.8б, 64.2а, 64.42, 67.3бгдеж, 67.12;
+  * представить выражение (a²-3a-1)/(a²+2a+1) в виде многочлена от a наименьшей возможной степени с рациональными коэффициентами, где a∈**C** — корень многочлена x³+x²+3x+4;
+  * в поле **F**_16, полученном из **Z**_2 присоединением корня a неприводимого многочлена x^4+x+1, найти порядок элемента a²+a в мультипликативной группе поля и его минимальный многочлен над **Z**_2.
+----
+=== 18 декабря 2017 ===
+== Контрольная работа ==
+  - Вычисление факторгруппы свободной абелевой группы и нахождение в ней количества элементов заданного порядка (//1 вариант//) и порядка заданного элемента (//2 вариант//).
+  - Нахождение централизатора элемента группы подстановок и количества элементов в его классе сопряжённости (//1 вариант//); описание орбит действия группы на множестве (//2 вариант//).
+  - Доказательство коммутативности группы заданного порядка (//1 вариант//); описание силовских подгрупп в группе (//2 вариант//).
+  - Вычисление производного ряда группы (//1 вариант//); доказательство разрешимости группы заданного порядка (//2 вариант//).
+  - Описание одномерных комплексных представлений группы.
+  - Избавление от иррациональности в знаменателе выражения в поле, получаемом присоединением корня неприводимого многочлена к полю **Z**_2 (//1 вариант//) и **C** (//2 вариант//).