Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- семинары_205_группа_осень_2025 [22.09.2025 12:28]
timashev
+++ семинары_205_группа_осень_2025 [24.11.2025 18:06] (текущий)
timashev
@@ Строка 3: / Строка 3: @@
 **Преподаватель:** [[staff:timashev|Д.А. Тимашёв]]
-Занятия проходят **по понедельникам** на **1**-й паре (9:00-10:35) в ауд. **14-05**.
+Занятия проходят **по понедельникам** на **1**-й паре (9:00-10:35) в ауд. <del>14-05</del> <color #ed1c24>**15-03**</color>.
+<color #ed1c24>**Объявления:**</color>
+  * <color #ed1c24>пересдача коллоквиума</color> по алгебре пройдёт в четверг **27 ноября** на **5**-й паре (16:45-18:20), ауд. **16-04**;
+  * занятие с понедельника **1 декабря** <color #ed1c24>переносится</color> на четверг **11 декабря**, **1**-я пара (9:00-10:35).
 Нумерация задач даётся по «//Сборнику задач по алгебре//» под ред. А.И. Кострикина, новое изд., Москва, МЦНМО, 2009. Дополнительные задачи помечены знаком ★.
@@ Строка 48: / Строка 52: @@
   * 57.39а, 57.40, 57.41б, 57.45, 58.32де, 58.33ге, 58.41;
   *★ доказать, что Aut(S<sub>n</sub>) = Inn(S<sub>n</sub>) ≅ S<sub>n</sub>, кроме случаев n=2,6.
+----
+=== 29 сентября 2025 ===
+Прямое произведение (прямая сумма) групп, примеры разложений и неразложимости групп в прямые произведения (прямые суммы). Разложение конечной циклической группы в прямую сумму.
+== Домашнее задание: ==
+  * 60.2бг, 60.5, 60.7, 60.8, 60.12.
+----
+=== 6 октября 2025 ===
+Системы порождающих в группе, конечно порождённые и не конечно порождённые группы, примеры. Случай абелевых групп, свободные конечно порождённые группы. Структура конечно порождённых абелевых групп, её определение, исходя из представления группы в виде факторгруппы свободной группы по подгруппе, заданной набором порождающих элементов, приведением целочисленной матрицы координат порождающих элементов подгруппы к "диагональному" виду. Вычисление порядка элемента в конечно порождённой абелевой группе, представленной как факторгруппа свободной группы.
+== Домашнее задание: ==
+  * 60.32, 60.50, 60.51, 60.52агд, 60.53.
+  * Доказать:
+    - группа S<sub>n</sub> порождена транспозицией (1,2) и циклом (1,2,…,n);
+    - группа A<sub>n</sub> порождена парами независимых транспозиций при n ≥ 5;
+    - группа B<sub>n</sub>(K) невырожденных верхнетреугольных матриц порождена элементарными матрицами 1-го и 3-го типов.
+  * Являются ли конечно порождёнными следующие группы:
+    - группа рациональных дробей m/n, у которых простые делители n содержатся среди {p<sub>1</sub>,…,p<sub>s</sub>}, с операцией сложения;
+    - группа рациональных дробей m/n≠0, у которых простые делители m и n содержатся среди {p<sub>1</sub>,…,p<sub>s</sub>}, с операцией умножения.
+----
+=== 13 октября 2025 ===
+Конечные абелевы группы, их структура, тип группы. Классификация конечных абелевых групп заданного порядка. Определение типа факторгруппы конечной (или конечно порождённой) абелевой группы. Вложимость конечных абелевых групп друг в друга.
+== Домашнее задание: ==
+  * 60.39ежз, 60.40ав, 60.42, 60.43а, 60.45.
+----
+=== 20 октября 2025 ===
+Количество подгрупп заданного порядка в данной конечной абелевой группе. Действия групп на множествах, описание орбит и стабилизаторов. Порядок орбиты конечной группы. Группа вращений куба.
+== Домашнее задание: ==
+  * 60.43бв, 57.1абв, 57.2а, 57.3, 57.9бв, 57.12бв, 57.13ав★.
+----
+=== 27 октября 2025 ===
+Действие группы на себе сопряжениями: классы сопряжённости и централизаторы, число элементов в классе сопряжённости. Силовские подгруппы, теоремы Силова, примеры: силовские подгруппы в A<sub>4</sub>, в SL<sub>2</sub>(**Z**<sub>p</sub>), в прямом произведении групп.
+== Домашнее задание: ==
+  * 57.23б, 57.25, 57.31, 59.3а, 59.4а, 59.9, 59.13где, 59.15;
+  * описать все силовские подгруппы в D<sub>3</sub>×A<sub>4</sub>.
+----
+=== 1 ноября 2025 ===
+Коммутант группы, его свойства. Вычисление коммутанта группы G методом оценки сверху (ядро гомоморфизма G в абелеву группу) и снизу (подгруппа, порождённая некоторым количеством коммутаторов). Кратные коммутанты, разрешимые группы, критерий разрешимости (в терминах подгруппы и факторгруппы).
+== Домашнее задание: ==
+  * 62.1в, 62.7г, 62.8б, 62.10, 62.11в, 62.21, 58.38;
+  * вычислить производный ряд для группы, состоящей из невырожденных действительных матриц вида
+  * {{:staff:timashev:commutant.jpg|}}
+----
+=== 10 ноября 2025 ===
+Арифметика конечных групп: доказательство непростоты, разрешимости и коммутативности групп заданного порядка.
+== Домашнее задание: ==
+  * 59.20вг, 59.22ав, 59.23, 59.24, 62.18вгде★, 62.22★, 62.23★
+----
+=== 17 ноября 2025 ===
+{{:kol-o25.pdf|Коллоквиум}}
+----
+=== 24 ноября 2025 ===
+Кольца, алгебры, структурные константы. Алгебра кватернионов. Классификация двумерных комплексных алгебр с единицей. Идеалы, главные идеалы, кольца главных идеалов.
+== Домашнее задание: ==
+  * 63.21б, 63.22а, 63.23, 64.2б, 64.8б.