Это старая версия документа!
Преподаватель: Куликова О.В.
Семинары проходят по понедельникам в 13:45 в ауд. 436.
Нумерация задач даётся по «Сборнику задач по алгебре» под ред. А.И.Кострикина, 2-е изд., Москва, Физматлит, 2015.
Дополнительные задачи помечены знаком ★.
Занятие №1 (7 сентября 2020)
(Повторение из 1-го семестра)
Определение группы и подгруппы, циклической подгруппы. Порядок группы, порядок элемента, теорема Лагранжа, следствия. Гомоморфизм, изоморфизм групп. Система порождающих элементов группы. Группа автоморфизмов.
Домашнее задание:
1) 55.5 (к,л), 55.6 (р,с,т), 56.32 (б, в),
• доказать, что множество G с ассоциативной операцией, в котором есть правая единица (элемент e со свойством g·e=g, ∀g∈G) и правый обратный для каждого g∈G (элемент g' со свойством g·g'=e), является группой;
2) 56.3 (без а, в), 56.11, 56.28,
3) 55.17, 58.28, 55.26, (55.20, была в 1-м семестре)
• доказать, что любая группа порядка 4 изоморфна либо Z_4, либо V_4;
• ★ доказать, что любая группа порядка 6 изоморфна либо Z_6, либо S_3.
4) 55.32 (а,б,в,г)
Занятие №2 (14 сентября 2020)
1) Смежные классы. Теорема Лагранжа и ее следствия.
2) Нормальные подгруппы
3) Факторгруппы. Ядро, образ гомоморфизма и их свойства. Теорема о гомоморфизме.
Домашнее задание:
1) 56.37 (е-к)
2) 58.1 (в,г), 58.2, 58.5, 58.11 (а)
3) 58.30, 58.32, 58.33
Занятие №3 (21 сентября 2020)
Центр. Классы сопряженных элементов
Домашнее задание:
58.24 (б,в,ж), 58.11 (б), 58.20, 57.30 (б,в), 57.35 (в,г), 58.4 (б,в), 58.12
Занятие №4 (28 сентября 2020)
Централизатор элемента в группе. Сопряженные подгруппы. Централизатор и нормализатор подгруппы в группе.
Домашнее задание: 57.23 б, 57.24 б,в,г, 57.25, 57.31 в, 57.38 б,в
• Найти централизатор подгруппы из задачи 57.38 а.
• Доказать, что централизатор подгруппы является нормальной подгруппой в нормализаторе подгруппы. Привести пример, когда централизатор подгруппы не является нормальной подгруппой во всей группе.
Занятие №5 (5 октября 2020)
Свободные группы. Группы, заданные порождающими и определяющими соотношениями.
Домашнее задание: 61.27, 61.28, 61.29, 61.31, 61.32, 61.23 б, 61.33 а
Занятие №6 (12 октября 2020)
Прямые произведения групп
Домашнее задание: 60.2, 60.5 (в), 60.13, 60.14, 60.15, 60.45 (б)
Занятие №7 (19 октября 2020, дистанционно)
Конечно порожденные абелевы группы.
1) Циклические группы. Подгруппы циклических групп.
2) Основная теорема о конечно порожденных абелевых группах.
Домашнее задание:
1) 56.16
2) 60.39 (г,д,е), 60.40, 60.41, 60.42 (а,в,г), 60.44 (б,в), 60.43 (б)
Занятие №8 (26 октября 2020)
Конечно порожденные абелевы группы. Элементарные преобразования. (Группа гомоморфизмов абелевых групп, кольцо эндоморфизмов абелевой группы)
Домашнее задание: 60.52 (б,в,д), 60.54, 60.19, 60.20, 60.22, 60.24 (а)