Это старая версия документа!
Преподаватель: Куликова О.В.
Семинары по Алгебре в 207 группе проходят по сб в 10:45 в ауд. 1311.
Нумерация задач даётся по «Сборнику задач по алгебре» под ред. А.И.Кострикина, 2-е изд., Москва, Физматлит, 2015.
Дополнительные задачи помечены знаком ★.
Занятие №1 (1 сентября)
(Повторение из 1-го семестра)
1) Определение группы и подгруппы, циклической подгруппы.
2) Порядок группы, порядок элемента.
3) Порождающее множество.
Домашнее задание:
1) 55.5, 55.6 (т), 56.1;
2) 56.3, 56.7, 56.9 (лекции), 56.11 (лекции), 56.12, 56.13, 56.28.
Занятие №2 (9 сентября)
1) Система порождающих элементов группы.
2) Циклические группы.
3) Изоморфизм групп. Группа автоморфизмов.
4) Смежные классы. Теорема Лагранжа. Следствия.
5) Нормальные подгруппы.
Домашнее задание:
1) 56.32 (б)
2) 56.16 (б), 56.14 (лекции), 56.15 (а)
3) 55.25, 55.26, 55.22, 55.20 (доделать)
Aut G: 55.32 (в, г, д,е), 55.31 (лекции)
4) 56.37 (е-л)
5) 58.1 (в), 58.2, 58.11 (а)
Занятие №3 (16 сентября)
1) Факторгруппы. Ядро, образ гомоморфизма и их свойства. Теорема о гомоморфизме.
Домашнее задание:
1) 58.30, 55.17, 58.7 (а), 58.28 (а, б, в,г,д), 58.16, 58.32, 58.33
Занятие №4 (23 сентября)
Свободные группы. Группы, заданные порождающими и определяющими соотношениями.
Домашнее задание: 61.15, 61.23 (б), 61.27, 61.28 (б), 61.29, 61.31, 61.33 (а)
Занятие №5 (30 сентября)
Прямые произведения
Домашнее задание: 60.2, 60.5 (в), 60.9, 60.13, 60.17, 60.44, 60.45 (б)
Занятие №6 (7 октября)
Свободные абелевы группы. Универсальное свойство. Основная теорема о конечно порожденных абелевых группах.
Домашнее задание: 60.39 (д-з), 60.40, 60.42, 60.43 (б), 60.31, 60.32, 60.34
Занятие №7 (14 октября)
1) Целочисленные элементарные преобразования.
2) Делимые группы.
3) Группа гомоморфизмов абелевых групп. Кольцо эндоморфизмов абелевой группы.
Домашнее задание:
1) 60.52 (б,в,г), 60.54
2) 60.62, 60.64
3) 60.19, 60.20, 60.21; 60.22, 60.24
Занятие №8 (21 октября)
1) Действие группы на множестве. Орбиты и стабилизаторы.
2) Формула Бернсайда.
Домашнее задание:
1) 57.1(г)+57.2(б), 57.3, 57.9(б,в), 57.12(в), 57.15, 55.27.
2) Доказать формулу.
Занятие №9 (28 октября)
1) Теорема Кэли
2) Классы сопряженности
3) Централизатор
4) Центр
Домашнее задание:
1) 55.34 (б,в)
2) 57.30 (б,в), 57.32 (б), 57.35 (в,г), 58.4 (б,в), 58.12
3) 57.23 (б), 57.24 (б,в), 57.25 (а), 57.28, 57.31 (в)
4) 58.11 (б), 58.20 (б,в), 58.24 (б,в,ж)
Занятие №10 (1 ноября)
Нормализатор подгруппы
Домашнее задание:
1) 57.38 (б,в)
2) 57.20, 57.21, 58.36, 58.37
Занятие №11 (11 ноября)
Коллоквиум
Занятие №12 (18 ноября)
1) Силовские подгруппы
2) Теоремы Силова
3) Простые группы
4) Коммутаторы. Коммутант
Домашнее задание:
1) 59.3 (б), 59.5, 59.10, 59.17
2) 59.20 (б,в), 59.19, 59.23
3) 59.22 (б,в,г,д)
4) 62.1 (б,в), 62.8 (б), 62.9
Занятие №13 (25 ноября)
1) Разрешимые группы
2) Линейные и матричные представления. Эквивалентность.
3) Инвариантные подпространства
Домашнее задание:
1) 62.12 (г,д), 62.18(в,г,д,е)
2) 69.4 (в-е), 69.9, 69.14
3) 69.5 (ж,з,и), 69.8
Занятие №14 (2 декабря)
0) Неприводимые представления
1) Сумма представлений. Вполне приводимость
2) Одномерные комплексные представления групп.
Домашнее задание:
0) 69.15
1) 69.2, 69.12
2) 70.2 (д,ж,з), 70.16
3) (над полем вещ. чисел) 70.6, 70.7, 70.8
Занятие №15 (9 декабря)
0) Повторение: Кольца, поля.
1) Идеал
2) Факторкольца. Гомоморфизмы
Домашнее задание:
0) 63.1,2,3+66.1, 63.11 (б,д - только про делители нуля),
1) 64.4, 64.5, 64.6, 64.7
2) 64.41 (в), 64.42, 64.37, 64.39, 64.55, 64.43