|
Следующая версия
|
Предыдущая версия
|
семинары_210_группа_осень_2025 [29.08.2025 19:59]
timashev создано |
семинары_210_группа_осень_2025 [14.10.2025 11:55] (текущий)
timashev |
| |
| Нумерация задач даётся по «//Сборнику задач по алгебре//» под ред. А.И. Кострикина, новое изд., Москва, МЦНМО, 2009. Дополнительные задачи помечены знаком ★. | Нумерация задач даётся по «//Сборнику задач по алгебре//» под ред. А.И. Кострикина, новое изд., Москва, МЦНМО, 2009. Дополнительные задачи помечены знаком ★. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 1 сентября 2025 === |
| | |
| | Группы (напоминание из 1-го семестра): определение, единственность нейтрального и обратного элементов в группе, абелевы группы, мультипликативная и аддитивная терминологии. Примеры групп: аддитивные и мультипликативные группы колец и полей, матричные и линейные группы, группы движений (в т.ч. группа диэдра D<sub>n</sub>), группы подстановок (симметрическая группа S<sub>n</sub> и знакопеременная группа A<sub>n</sub>). Задание конечной группы таблицей умножения, примеры: группа Клейна V<sub>4</sub> и группа кватернионов Q<sub>8</sub>. Изоморфизм групп, примеры изоморфных и неизоморфных групп: аддитивная и мультипликативная группы поля **R**, а также группа положительных вещественных чисел по умножению; Z<sub>6</sub>, S<sub>3</sub> и D<sub>3</sub>; Z<sub>4</sub> и V<sub>4</sub>. Порядок элемента группы, его свойства, циклические подгруппы. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 55.16, 55.25абг, 55.26, 56.7бв, 56.10, 56.11; |
| | * какие из групп изоморфны: аддитивная группа поля рациональных чисел, его мультипликативная группа, группа положительных рациональных чисел (по умножению)? |
| | * изоморфны ли группы GL<sub>2</sub>(**C**) и GL<sub>3</sub>(**C**)? |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 9 сентября 2025 === |
| | |
| | Теорема Лагранжа и её следствия о порядках элементов в конечных группах. Проблема классификации конечных групп, группы простого порядка. Сопряжённость элементов в группе, классы сопряжённости, центр группы. Вычисление классов сопряженности и центра для групп Q<sub>8</sub>, S<sub>n</sub>, D<sub>n</sub>. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * доказать, что любая группа порядка 4 изоморфна либо **Z**<sub>4</sub> либо V<sub>4</sub>; |
| | *★ доказать, что любая группа порядка 6 изоморфна либо **Z**<sub>6</sub> либо S<sub>3</sub>; |
| | * 57.29, 57.30б, 57.36, 58.20бв, 58.23, 58.24агж. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 16 сентября 2025 === |
| | |
| | Нормальные подгруппы, их перечисление в группах S<sub>3</sub> и S<sub>4</sub>. Факторгруппы. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 58.1абд, 58.2, 58.3, 58.4б, 58.10, 58.11а, 58.12. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 23 сентября 2025 === |
| | |
| | Гомоморфизмы, их ядра и образы. Основная теорема о гомоморфизмах, вычисление факторгрупп с её помощью. Автоморфизмы групп, группы внутренних автоморфизмов Inn(G) и внешних автоморфизмов Out(G). Автоморфизмы циклических групп, вычисление Aut(Aut(Aut **Z**<sub>9</sub>)). |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 57.39а, 57.40, 57.41б, 58.32де, 58.33ге, 58.41; |
| | * доказать, что Inn(G) нормальна в Aut(G); |
| | *★ доказать, что Aut(S<sub>n</sub>) = Inn(S<sub>n</sub>) ≅ S<sub>n</sub>, кроме случаев n=2,6. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 30 сентября 2025 === |
| | |
| | Прямое произведение (прямая сумма) групп, примеры разложений и неразложимости групп в прямые произведения (прямые суммы). Полупрямое произведение групп, примеры. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 60.2бг, 60.5, 60.7, 60.8, 60.12; |
| | * какие из групп в задаче 60.2 разложимы (нетривиальным образом) в полупрямое произведение? |
| | * разложить в полупрямое произведение группы: а) GL<sub>n</sub>(K) б) невырожденных верхнетреугольных матриц размера n×n. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 7 октября 2025 === |
| | |
| | Системы порождающих в группе, конечно порождённые и не конечно порождённые группы, примеры. Случай абелевых групп, свободные конечно порождённые группы. Структура конечно порождённых абелевых групп, её определение, исходя из представления группы в виде факторгруппы свободной группы по подгруппе, заданной набором порождающих элементов, приведением целочисленной матрицы координат порождающих элементов подгруппы к "диагональному" виду. Вычисление порядка элемента в конечно порождённой абелевой группе, представленной как факторгруппа свободной группы. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 60.32, 60.50, 60.51, 60.52агд, 60.53. |
| | * Доказать: |
| | - группа S<sub>n</sub> порождена транспозицией (1,2) и циклом (1,2,…,n); |
| | - группа A<sub>n</sub> порождена парами независимых транспозиций при n ≥ 5; |
| | - группа B<sub>n</sub>(K) невырожденных верхнетреугольных матриц порождена элементарными матрицами 1-го и 3-го типов. |
| | * Являются ли конечно порождёнными следующие группы: |
| | - группа рациональных дробей m/n, у которых простые делители n содержатся среди {p<sub>1</sub>,…,p<sub>s</sub>}, с операцией сложения; |
| | - группа рациональных дробей m/n≠0, у которых простые делители m и n содержатся среди {p<sub>1</sub>,…,p<sub>s</sub>}, с операцией умножения. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 14 октября 2025 === |
| | |
| | Конечные абелевы группы, их структура, тип группы. Классификация конечных абелевых групп заданного порядка. Определение типа факторгруппы конечной (или конечно порождённой) абелевой группы. Вложимость конечных абелевых групп друг в друга. Количество подгрупп заданного порядка в данной конечной абелевой группе. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 60.39ежз, 60.40ав, 60.42, 60.43бв, 60.45. |
| |
