Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- семинары_210_группа_осень_2025 [16.09.2025 11:08]
timashev
+++ семинары_210_группа_осень_2025 [14.10.2025 11:55] (текущий)
timashev
@@ Строка 37: / Строка 37: @@
 == Домашнее задание: ==
   * 58.1абд, 58.2, 58.3, 58.4б, 58.10, 58.11а, 58.12.
+----
+=== 23 сентября 2025 ===
+Гомоморфизмы, их ядра и образы. Основная теорема о гомоморфизмах, вычисление факторгрупп с её помощью. Автоморфизмы групп, группы внутренних автоморфизмов Inn(G) и внешних автоморфизмов Out(G). Автоморфизмы циклических групп, вычисление Aut(Aut(Aut **Z**<sub>9</sub>)).
+== Домашнее задание: ==
+  * 57.39а, 57.40, 57.41б, 58.32де, 58.33ге, 58.41;
+  * доказать, что Inn(G) нормальна в Aut(G);
+  *★ доказать, что Aut(S<sub>n</sub>) = Inn(S<sub>n</sub>) ≅ S<sub>n</sub>, кроме случаев n=2,6.
+----
+=== 30 сентября 2025 ===
+Прямое произведение (прямая сумма) групп, примеры разложений и неразложимости групп в прямые произведения (прямые суммы). Полупрямое произведение групп, примеры.
+== Домашнее задание: ==
+  * 60.2бг, 60.5, 60.7, 60.8, 60.12;
+  * какие из групп в задаче 60.2 разложимы (нетривиальным образом) в полупрямое произведение?
+  * разложить в полупрямое произведение группы: а) GL<sub>n</sub>(K) б) невырожденных верхнетреугольных матриц размера n×n.
+----
+=== 7 октября 2025 ===
+Системы порождающих в группе, конечно порождённые и не конечно порождённые группы, примеры. Случай абелевых групп, свободные конечно порождённые группы. Структура конечно порождённых абелевых групп, её определение, исходя из представления группы в виде факторгруппы свободной группы по подгруппе, заданной набором порождающих элементов, приведением целочисленной матрицы координат порождающих элементов подгруппы к "диагональному" виду. Вычисление порядка элемента в конечно порождённой абелевой группе, представленной как факторгруппа свободной группы.
+== Домашнее задание: ==
+  * 60.32, 60.50, 60.51, 60.52агд, 60.53.
+  * Доказать:
+    - группа S<sub>n</sub> порождена транспозицией (1,2) и циклом (1,2,…,n);
+    - группа A<sub>n</sub> порождена парами независимых транспозиций при n ≥ 5;
+    - группа B<sub>n</sub>(K) невырожденных верхнетреугольных матриц порождена элементарными матрицами 1-го и 3-го типов.
+  * Являются ли конечно порождёнными следующие группы:
+    - группа рациональных дробей m/n, у которых простые делители n содержатся среди {p<sub>1</sub>,…,p<sub>s</sub>}, с операцией сложения;
+    - группа рациональных дробей m/n≠0, у которых простые делители m и n содержатся среди {p<sub>1</sub>,…,p<sub>s</sub>}, с операцией умножения.
+----
+=== 14 октября 2025 ===
+Конечные абелевы группы, их структура, тип группы. Классификация конечных абелевых групп заданного порядка. Определение типа факторгруппы конечной (или конечно порождённой) абелевой группы. Вложимость конечных абелевых групп друг в друга. Количество подгрупп заданного порядка в данной конечной абелевой группе.
+== Домашнее задание: ==
+  * 60.39ежз, 60.40ав, 60.42, 60.43бв, 60.45.