Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- семинары_210_группа_осень_2025 [16.09.2025 11:08]
timashev
+++ семинары_210_группа_осень_2025 [28.11.2025 22:15] (текущий)
timashev
@@ Строка 4: / Строка 4: @@
 Занятия проходят **по вторникам** на **1**-й паре (9:00-10:35) в ауд. **407**.
+<color #ed1c24>**Объявления:**</color>
+  * <color #ed1c24>пересдача коллоквиума</color> по алгебре пройдёт в четверг **27 ноября** на **5**-й паре (16:45-18:20), ауд. **16-04**;
+  * занятия с **25 ноября** и **2 декабря** <color #ed1c24>переносятся</color> на пятницу **28 ноября**, **4**-я пара (15:00-16:35), ауд. **463**, и на четверг **11 декабря**, **1**-я пара (9:00-10:35).
 Нумерация задач даётся по «//Сборнику задач по алгебре//» под ред. А.И. Кострикина, новое изд., Москва, МЦНМО, 2009. Дополнительные задачи помечены знаком ★.
@@ Строка 37: / Строка 41: @@
 == Домашнее задание: ==
   * 58.1абд, 58.2, 58.3, 58.4б, 58.10, 58.11а, 58.12.
+----
+=== 23 сентября 2025 ===
+Гомоморфизмы, их ядра и образы. Основная теорема о гомоморфизмах, вычисление факторгрупп с её помощью. Автоморфизмы групп, группы внутренних автоморфизмов Inn(G) и внешних автоморфизмов Out(G). Автоморфизмы циклических групп, вычисление Aut(Aut(Aut **Z**<sub>9</sub>)).
+== Домашнее задание: ==
+  * 57.39а, 57.40, 57.41б, 58.32де, 58.33ге, 58.41;
+  * доказать, что Inn(G) нормальна в Aut(G);
+  *★ доказать, что Aut(S<sub>n</sub>) = Inn(S<sub>n</sub>) ≅ S<sub>n</sub>, кроме случаев n=2,6.
+----
+=== 30 сентября 2025 ===
+Прямое произведение (прямая сумма) групп, примеры разложений и неразложимости групп в прямые произведения (прямые суммы). Полупрямое произведение групп, примеры.
+== Домашнее задание: ==
+  * 60.2бг, 60.5, 60.7, 60.8, 60.12;
+  * какие из групп в задаче 60.2 разложимы (нетривиальным образом) в полупрямое произведение?
+  * разложить в полупрямое произведение группы: а) GL<sub>n</sub>(K) б) невырожденных верхнетреугольных матриц размера n×n.
+----
+=== 7 октября 2025 ===
+Системы порождающих в группе, конечно порождённые и не конечно порождённые группы, примеры. Случай абелевых групп, свободные конечно порождённые группы. Структура конечно порождённых абелевых групп, её определение, исходя из представления группы в виде факторгруппы свободной группы по подгруппе, заданной набором порождающих элементов, приведением целочисленной матрицы координат порождающих элементов подгруппы к "диагональному" виду. Вычисление порядка элемента в конечно порождённой абелевой группе, представленной как факторгруппа свободной группы.
+== Домашнее задание: ==
+  * 60.32, 60.50, 60.51, 60.52агд, 60.53.
+  * Доказать:
+    - группа S<sub>n</sub> порождена транспозицией (1,2) и циклом (1,2,…,n);
+    - группа A<sub>n</sub> порождена парами независимых транспозиций при n ≥ 5;
+    - группа B<sub>n</sub>(K) невырожденных верхнетреугольных матриц порождена элементарными матрицами 1-го и 3-го типов.
+  * Являются ли конечно порождёнными следующие группы:
+    - группа рациональных дробей m/n, у которых простые делители n содержатся среди {p<sub>1</sub>,…,p<sub>s</sub>}, с операцией сложения;
+    - группа рациональных дробей m/n≠0, у которых простые делители m и n содержатся среди {p<sub>1</sub>,…,p<sub>s</sub>}, с операцией умножения.
+----
+=== 14 октября 2025 ===
+Конечные абелевы группы, их структура, тип группы. Классификация конечных абелевых групп заданного порядка. Определение типа факторгруппы конечной (или конечно порождённой) абелевой группы. Вложимость конечных абелевых групп друг в друга. Количество подгрупп заданного порядка в данной конечной абелевой группе.
+== Домашнее задание: ==
+  * 60.39ежз, 60.40ав, 60.42, 60.43бв, 60.45.
+----
+=== 21 октября 2025 ===
+Действия групп на множествах, описание орбит и стабилизаторов. Порядок орбиты конечной группы. Группа движений тетраэдра, правильные многогранники.
+== Домашнее задание: ==
+  * 57.1абв, 57.2а, 57.3, 57.9бв, 57.10, 57.12в, 57.13в★.
+----
+=== 28 октября 2025 ===
+Действие группы на себе сопряжениями: классы сопряжённости и централизаторы, число элементов в классе сопряжённости. Силовские подгруппы, теоремы Силова, примеры: силовские подгруппы в A<sub>4</sub>, в SL<sub>2</sub>(**Z**<sub>p</sub>), в прямом произведении групп.
+== Домашнее задание: ==
+  * 57.23б, 57.25, 57.31, 59.3а, 59.4а, 59.9, 59.13где, 59.15;
+  * описать все силовские 3-подгруппы в D<sub>3</sub>×A<sub>4</sub>.
+----
+=== 11 ноября 2025 ===
+{{:programmcoloqalgebra_2_2_2025_.pdf|Коллоквиум}}
+----
+=== 18 ноября 2025 ===
+Коммутант группы, его свойства. Вычисление коммутанта группы G методом оценки сверху (ядро гомоморфизма G в абелеву группу) и снизу (подгруппа, порождённая некоторым количеством коммутаторов). Кратные коммутанты, разрешимые группы, критерий разрешимости (в терминах подгруппы и факторгруппы).
+== Домашнее задание: ==
+  * 62.7г, 62.8б, 62.10, 62.11в, 62.19, 62.20, 58.38;
+  * вычислить производный ряд для группы, состоящей из невырожденных действительных матриц вида
+  * {{:staff:timashev:commutant.jpg|}}
+----
+=== 28 ноября 2025 ===
+Арифметика конечных групп: доказательство непростоты, разрешимости и коммутативности групп заданного порядка. Классификация групп порядка ≤10.
+== Домашнее задание: ==
+  * 59.20вг, 59.22ав, 59.23, 59.24, 62.18вгде★;
+  * доказать, что любая неабелева группа порядка 8 изоморфна либо Q<sub>8</sub>, либо D<sub>4</sub>;
+  * ★ классифицировать все группы порядка p<sup>3</sup>, где p — нечётное простое число.