| Предыдущая версия справа и слева
Предыдущая версия
Следующая версия
|
Предыдущая версия
|
семинары_210_группа_осень_2025 [23.09.2025 10:58]
timashev |
семинары_210_группа_осень_2025 [28.11.2025 22:15] (текущий)
timashev |
| |
| Занятия проходят **по вторникам** на **1**-й паре (9:00-10:35) в ауд. **407**. | Занятия проходят **по вторникам** на **1**-й паре (9:00-10:35) в ауд. **407**. |
| | |
| | <color #ed1c24>**Объявления:**</color> |
| | * <color #ed1c24>пересдача коллоквиума</color> по алгебре пройдёт в четверг **27 ноября** на **5**-й паре (16:45-18:20), ауд. **16-04**; |
| | * занятия с **25 ноября** и **2 декабря** <color #ed1c24>переносятся</color> на пятницу **28 ноября**, **4**-я пара (15:00-16:35), ауд. **463**, и на четверг **11 декабря**, **1**-я пара (9:00-10:35). |
| |
| Нумерация задач даётся по «//Сборнику задач по алгебре//» под ред. А.И. Кострикина, новое изд., Москва, МЦНМО, 2009. Дополнительные задачи помечены знаком ★. | Нумерация задач даётся по «//Сборнику задач по алгебре//» под ред. А.И. Кострикина, новое изд., Москва, МЦНМО, 2009. Дополнительные задачи помечены знаком ★. |
| * доказать, что Inn(G) нормальна в Aut(G); | * доказать, что Inn(G) нормальна в Aut(G); |
| *★ доказать, что Aut(S<sub>n</sub>) = Inn(S<sub>n</sub>) ≅ S<sub>n</sub>, кроме случаев n=2,6. | *★ доказать, что Aut(S<sub>n</sub>) = Inn(S<sub>n</sub>) ≅ S<sub>n</sub>, кроме случаев n=2,6. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 30 сентября 2025 === |
| | |
| | Прямое произведение (прямая сумма) групп, примеры разложений и неразложимости групп в прямые произведения (прямые суммы). Полупрямое произведение групп, примеры. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 60.2бг, 60.5, 60.7, 60.8, 60.12; |
| | * какие из групп в задаче 60.2 разложимы (нетривиальным образом) в полупрямое произведение? |
| | * разложить в полупрямое произведение группы: а) GL<sub>n</sub>(K) б) невырожденных верхнетреугольных матриц размера n×n. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 7 октября 2025 === |
| | |
| | Системы порождающих в группе, конечно порождённые и не конечно порождённые группы, примеры. Случай абелевых групп, свободные конечно порождённые группы. Структура конечно порождённых абелевых групп, её определение, исходя из представления группы в виде факторгруппы свободной группы по подгруппе, заданной набором порождающих элементов, приведением целочисленной матрицы координат порождающих элементов подгруппы к "диагональному" виду. Вычисление порядка элемента в конечно порождённой абелевой группе, представленной как факторгруппа свободной группы. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 60.32, 60.50, 60.51, 60.52агд, 60.53. |
| | * Доказать: |
| | - группа S<sub>n</sub> порождена транспозицией (1,2) и циклом (1,2,…,n); |
| | - группа A<sub>n</sub> порождена парами независимых транспозиций при n ≥ 5; |
| | - группа B<sub>n</sub>(K) невырожденных верхнетреугольных матриц порождена элементарными матрицами 1-го и 3-го типов. |
| | * Являются ли конечно порождёнными следующие группы: |
| | - группа рациональных дробей m/n, у которых простые делители n содержатся среди {p<sub>1</sub>,…,p<sub>s</sub>}, с операцией сложения; |
| | - группа рациональных дробей m/n≠0, у которых простые делители m и n содержатся среди {p<sub>1</sub>,…,p<sub>s</sub>}, с операцией умножения. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 14 октября 2025 === |
| | |
| | Конечные абелевы группы, их структура, тип группы. Классификация конечных абелевых групп заданного порядка. Определение типа факторгруппы конечной (или конечно порождённой) абелевой группы. Вложимость конечных абелевых групп друг в друга. Количество подгрупп заданного порядка в данной конечной абелевой группе. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 60.39ежз, 60.40ав, 60.42, 60.43бв, 60.45. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 21 октября 2025 === |
| | |
| | Действия групп на множествах, описание орбит и стабилизаторов. Порядок орбиты конечной группы. Группа движений тетраэдра, правильные многогранники. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 57.1абв, 57.2а, 57.3, 57.9бв, 57.10, 57.12в, 57.13в★. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 28 октября 2025 === |
| | |
| | Действие группы на себе сопряжениями: классы сопряжённости и централизаторы, число элементов в классе сопряжённости. Силовские подгруппы, теоремы Силова, примеры: силовские подгруппы в A<sub>4</sub>, в SL<sub>2</sub>(**Z**<sub>p</sub>), в прямом произведении групп. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 57.23б, 57.25, 57.31, 59.3а, 59.4а, 59.9, 59.13где, 59.15; |
| | * описать все силовские 3-подгруппы в D<sub>3</sub>×A<sub>4</sub>. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 11 ноября 2025 === |
| | |
| | {{:programmcoloqalgebra_2_2_2025_.pdf|Коллоквиум}} |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 18 ноября 2025 === |
| | |
| | Коммутант группы, его свойства. Вычисление коммутанта группы G методом оценки сверху (ядро гомоморфизма G в абелеву группу) и снизу (подгруппа, порождённая некоторым количеством коммутаторов). Кратные коммутанты, разрешимые группы, критерий разрешимости (в терминах подгруппы и факторгруппы). |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 62.7г, 62.8б, 62.10, 62.11в, 62.19, 62.20, 58.38; |
| | * вычислить производный ряд для группы, состоящей из невырожденных действительных матриц вида |
| | * {{:staff:timashev:commutant.jpg|}} |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 28 ноября 2025 === |
| | |
| | Арифметика конечных групп: доказательство непростоты, разрешимости и коммутативности групп заданного порядка. Классификация групп порядка ≤10. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 59.20вг, 59.22ав, 59.23, 59.24, 62.18вгде★; |
| | * доказать, что любая неабелева группа порядка 8 изоморфна либо Q<sub>8</sub>, либо D<sub>4</sub>; |
| | * ★ классифицировать все группы порядка p<sup>3</sup>, где p — нечётное простое число. |
| | |
