| Предыдущая версия справа и слева
Предыдущая версия
Следующая версия
|
Предыдущая версия
|
семинары_212_группа [14.10.2015 15:21]
timashev |
семинары_212_группа [08.04.2025 16:43] (текущий)
|
| * аддитивная группа рациональных дробей, знаменатели которых могут делиться только на простые числа из заданного набора p_1,...,p_s; | * аддитивная группа рациональных дробей, знаменатели которых могут делиться только на простые числа из заданного набора p_1,...,p_s; |
| * мультипликативная группа ненулевых дробей, у которых числители и знаменатели могут делиться только на p_1,...,p_s? | * мультипликативная группа ненулевых дробей, у которых числители и знаменатели могут делиться только на p_1,...,p_s? |
| | |
| | ---- |
| |
| === 12 октября 2015 === | === 12 октября 2015 === |
| == Домашнее задание: == | == Домашнее задание: == |
| * 6039ежз, 6042, 6040ав, 6043а, 6045; | * 6039ежз, 6042, 6040ав, 6043а, 6045; |
| * Доказать (с помощью формулы для площади целочисленного параллелограмма) формулу Пика для площади целочисленного многоугольника. | * доказать (с помощью формулы для площади целочисленного параллелограмма) формулу Пика для площади целочисленного многоугольника. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 19 октября 2015 === |
| | |
| | Количество подгрупп данного типа в конечной абелевой группе. Коммутатор элементов в группе, его основное свойство. Коммутант группы, его свойства. Вычисление коммутантов, коммутанты групп S_n, A_n, D_n, GL_n, SL_n. Кратные коммутанты, разрешимость групп. Разрешимость подгрупп и факторгрупп разрешимой группы, критерий разрешимости в терминах подгруппы и факторгруппы. Примеры разрешимых и неразрешимых групп: S_n, D_n, GL_n. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 6043в, 6207г, 6209, 6220а, 6210, 6213; |
| | * вычислить коммутант группы всех невырожденных вещественных матриц вида |
| | * {{:staff:timashev:commutant.jpg|}} |
| | * доказать, что GL_2(**Z**_2)≅S_3 и GL_2(**Z**_3)/{±E}≅S_4. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 26 октября 2015 === |
| | |
| | Действия групп на множествах, примеры. Орбиты и стабилизаторы, их свойства. Нахождение орбит и стабилизаторов для некоторых действий. Сопряжённость стабилизаторов точек в одной орбите, связь порядков группы, орбиты и стабилизатора. Порядок группы вращений куба. Действия группы на себе умножениями слева/справа и сопряжениями. Классы сопряжённости и централизаторы, формула классов. p-группы: нетривиальность центра, разрешимость, группы порядка p и p². |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | *★ доказать, что группа вращений куба изоморфна S_4; |
| | * 5701бв, 5709бв, 5713★, 5723б, 5731, 5839; |
| | *★ классифицировать все группы порядка p³. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 9 ноября 2015 === |
| | |
| | Силовские подгруппы, теоремы Силова. Когда силовская подгруппа нормальна? Силовские подгруппы в S_3, A_4. Порядок групп GL_n и SL_n над конечным полем. Силовские p-подгруппы в SL_2(**Z**_p). Силовские подгруппы в прямом произведении групп, пример: силовские 2-подгруппы в D_3×A_4. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 5904, 5909, 5911, 5913где, 5914, 5915; |
| | * описать все силовские 3-подгруппы в D_3×A_4. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 16 ноября 2015 === |
| | |
| | Полупрямые произведения групп (внутренние и внешние), примеры: разложение групп S_n и D_n в полупрямое произведение. Арифметика конечных групп: непростота группы порядка 80, разрешимость групп порядка 20 и 12, коммутативность группы порядка 35, классификация групп порядка pq (p и q — простые числа). Классификация групп порядка ≤10 (кроме порядка 8). |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 5922ав, 5924, 6218вгде★, 6222★, 6223★, 5920вг; |
| | * можно ли разложить группы A_4, Q_8, GL_n(K) в полупрямое произведение? |
| | *★ перечислить, с точностью до изоморфизма, все группы порядка 8. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 23 ноября 2015 === |
| | |
| | Коммутативность группы порядка 455. Линейные и матричные представления групп, примеры: мономиальное представление группы S_n, представление группы в пространстве функций на множестве, определяемое её действием на множестве. Изоморфизм представлений. Инвариантные подпространства. Приводимые, неприводимые и вполне приводимые представления, разложение вполне приводимого представления в прямую сумму неприводимых, примеры: разложение мономиального представления, не вполне приводимое 2-мерное представление группы **Z**. Теорема Машке. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 6907, 6909, 6902, 6911, 7018, 7019а. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 30 ноября 2015 === |
| | |
| | Неприводимые комплексные представления конечных групп: случай абелевой группы (все неприводимые представления одномерны, описание одномерных представлений, пример: V_4), описание одномерных представлений (примеры: S_n, S_3×D_5), количество и сумма квадратов размерностей неприводимых представлений. Описание неприводимых представлений групп S_3, S_4, и D_n (найдено количество и размерности неприводимых представлений D_n, описаны одномерные представления). Кольца и алгебры. Структурные константы. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 7002жз, 7010, 7034бге, 7037аб, 6318; |
| | * описать одномерные представления группы A_4×D_4; |
| | * описать неприводимые представления групп A_4 и Q_8. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 7 декабря 2015 === |
| | |
| | Алгебра кватернионов **H**, сопряжение кватернионов, кватернионная норма, **H** — тело. Задача: классифицировать двумерные алгебры с 1 над **C**. Идеалы в кольцах и алгебрах. Задача: описать все идеалы в двумерной алгебре с 1, имеющей нильпотентный элемент. Главные идеалы, кольца главных идеалов. Факторкольца и факторалгебры. Изучение факторалгебр алгебры многочленов K[x] над полем K. Присоединение к полю корня неприводимого многочлена. Минимальный многочлен алгебраического элемента в расширении полей. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 6320б, 6321а, 6408б, 6402а, 6440, 6703бгдеж; |
| | * представить дробь (α^2-3α-1)/(α^2+2α+1), где α∈**C** удовлетворяет уравнению α^3+α^2+3α+4=0, в виде многочлена от α наименьшей возможной степени (избавиться от иррациональности в знаменателе). |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 14 декабря 2015 === |
| | |
| | == Контрольная работа == |
| | - Нахождение факторгруппы свободной абелевой группы, вычисление порядка элемента факторгруппы (//1 вариант//) и количества элементов данного порядка в факторгруппе (//2 вариант//). |
| | - Нахождение централизатора подстановки и количества элементов в её классе сопряжённости (//1 вариант//); описание всех орбит действия заданной матричной группы в векторном пространстве (//2 вариант//). |
| | - Доказательство коммутативности группы данного порядка (//1 вариант//); описание всех силовских подгрупп в данной конечной группе (//2 вариант//). |
| | - Нахождение ряда коммутантов заданной матричной группы (//1 вариант//); доказательство разрешимости группы данного порядка (//2 вариант//). |
| | - Описание всех одномерных комплексных представлений заданной конечной группы. |
| | - Вычисление в факторалгебре алгебры многочленов (//1 вариант//); избавление от иррациональности в знаменателе дроби в поле, получаемом присоединением корня неприводимого многочлена (//2 вариант//). |
