Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- семинары_212_группа [20.10.2015 20:07]
timashev
+++ семинары_212_группа [08.04.2025 16:43] (текущий)
@@ Строка 61: / Строка 61: @@
     * аддитивная группа рациональных дробей, знаменатели которых могут делиться только на простые числа из заданного набора p_1,...,p_s;
     * мультипликативная группа ненулевых дробей, у которых числители и знаменатели могут делиться только на p_1,...,p_s?
+----
 === 12 октября 2015 ===
@@ Строка 68: / Строка 70: @@
 == Домашнее задание: ==
   * 6039ежз, 6042, 6040ав, 6043а, 6045;
-  * Доказать (с помощью формулы для площади целочисленного параллелограмма) формулу Пика для площади целочисленного многоугольника.
+  * доказать (с помощью формулы для площади целочисленного параллелограмма) формулу Пика для площади целочисленного многоугольника.
+----
 === 19 октября 2015 ===
@@ Строка 76: / Строка 80: @@
 == Домашнее задание: ==
   * 6043в, 6207г, 6209, 6220а, 6210, 6213;
-  * Вычислить коммутант группы всех невырожденных вещественных матриц вида
+  * вычислить коммутант группы всех невырожденных вещественных матриц вида
   * {{:staff:timashev:commutant.jpg|}}
   * доказать, что GL_2(**Z**_2)≅S_3 и GL_2(**Z**_3)/{±E}≅S_4.
+----
+=== 26 октября 2015 ===
+Действия групп на множествах, примеры. Орбиты и стабилизаторы, их свойства. Нахождение орбит и стабилизаторов для некоторых действий. Сопряжённость стабилизаторов точек в одной орбите, связь порядков группы, орбиты и стабилизатора. Порядок группы вращений куба. Действия группы на себе умножениями слева/справа и сопряжениями. Классы сопряжённости и централизаторы, формула классов. p-группы: нетривиальность центра, разрешимость, группы порядка p и p².
+== Домашнее задание: ==
+  *★ доказать, что группа вращений куба изоморфна S_4;
+  * 5701бв, 5709бв, 5713★, 5723б, 5731, 5839;
+  *★ классифицировать все группы порядка p³.
+----
+=== 9 ноября 2015 ===
+Силовские подгруппы, теоремы Силова. Когда силовская подгруппа нормальна? Силовские подгруппы в S_3, A_4. Порядок групп GL_n и SL_n над конечным полем. Силовские p-подгруппы в SL_2(**Z**_p). Силовские подгруппы в прямом произведении групп, пример: силовские 2-подгруппы в D_3×A_4.
+== Домашнее задание: ==
+  * 5904, 5909, 5911, 5913где, 5914, 5915;
+  * описать все силовские 3-подгруппы в D_3×A_4.
+----
+=== 16 ноября 2015 ===
+Полупрямые произведения групп (внутренние и внешние), примеры: разложение групп S_n и D_n в полупрямое произведение. Арифметика конечных групп: непростота группы порядка 80, разрешимость групп порядка 20 и 12, коммутативность группы порядка 35, классификация групп порядка pq (p и q — простые числа). Классификация групп порядка ≤10 (кроме порядка 8).
+== Домашнее задание: ==
+  * 5922ав, 5924, 6218вгде★, 6222★, 6223★, 5920вг;
+  * можно ли разложить группы A_4, Q_8, GL_n(K) в полупрямое произведение?
+  *★ перечислить, с точностью до изоморфизма, все группы порядка 8.
+----
+=== 23 ноября 2015 ===
+Коммутативность группы порядка 455. Линейные и матричные представления групп, примеры: мономиальное представление группы S_n, представление группы в пространстве функций на множестве, определяемое её действием на множестве. Изоморфизм представлений. Инвариантные подпространства. Приводимые, неприводимые и вполне приводимые представления, разложение вполне приводимого представления в прямую сумму неприводимых, примеры: разложение мономиального представления, не вполне приводимое 2-мерное представление группы **Z**. Теорема Машке.
+== Домашнее задание: ==
+  * 6907, 6909, 6902, 6911, 7018, 7019а.
+----
+=== 30 ноября 2015 ===
+Неприводимые комплексные представления конечных групп: случай абелевой группы (все неприводимые представления одномерны, описание одномерных представлений, пример: V_4), описание одномерных представлений (примеры: S_n, S_3×D_5), количество и сумма квадратов размерностей неприводимых представлений. Описание неприводимых представлений групп S_3, S_4, и D_n (найдено количество и размерности неприводимых представлений D_n, описаны одномерные представления). Кольца и алгебры. Структурные константы.
+== Домашнее задание: ==
+  * 7002жз, 7010, 7034бге, 7037аб, 6318;
+  * описать одномерные представления группы A_4×D_4;
+  * описать неприводимые представления групп A_4 и Q_8.
+----
+=== 7 декабря 2015 ===
+Алгебра кватернионов **H**, сопряжение кватернионов, кватернионная норма, **H** — тело. Задача: классифицировать двумерные алгебры с 1 над **C**. Идеалы в кольцах и алгебрах. Задача: описать все идеалы в двумерной алгебре с 1, имеющей нильпотентный элемент. Главные идеалы, кольца главных идеалов. Факторкольца и факторалгебры. Изучение факторалгебр алгебры многочленов K[x] над полем K. Присоединение к полю корня неприводимого многочлена. Минимальный многочлен алгебраического элемента в расширении полей.
+== Домашнее задание: ==
+  * 6320б, 6321а, 6408б, 6402а, 6440, 6703бгдеж;
+  * представить дробь (α^2-3α-1)/(α^2+2α+1), где α∈**C** удовлетворяет уравнению α^3+α^2+3α+4=0, в виде многочлена от α наименьшей возможной степени (избавиться от иррациональности в знаменателе).
+----
+=== 14 декабря 2015 ===
+== Контрольная работа ==
+  - Нахождение факторгруппы свободной абелевой группы, вычисление порядка элемента факторгруппы (//1 вариант//) и количества элементов данного порядка в факторгруппе (//2 вариант//).
+  - Нахождение централизатора подстановки и количества элементов в её классе сопряжённости (//1 вариант//); описание всех орбит действия заданной матричной группы в векторном пространстве (//2 вариант//).
+  - Доказательство коммутативности группы данного порядка (//1 вариант//); описание всех силовских подгрупп в данной конечной группе (//2 вариант//).
+  - Нахождение ряда коммутантов заданной матричной группы (//1 вариант//); доказательство разрешимости группы данного порядка (//2 вариант//).
+  - Описание всех одномерных комплексных представлений заданной конечной группы.
+  - Вычисление в факторалгебре алгебры многочленов (//1 вариант//); избавление от иррациональности в знаменателе дроби в поле, получаемом присоединением корня неприводимого многочлена (//2 вариант//).