| Предыдущая версия справа и слева
Предыдущая версия
Следующая версия
|
Предыдущая версия
|
семинары_212_группа [16.11.2015 16:14]
timashev |
семинары_212_группа [08.04.2025 16:43] (текущий)
|
| === 16 ноября 2015 === | === 16 ноября 2015 === |
| |
| Полупрямые произведения групп (внутренние и внешние), примеры: разложение групп S_n и D_n в полупрямое произведение. Арифметика конечных групп: непростота группы порядка 80, разрешимость групп порядка 20 и 12, коммутативность группы порядка 35, классификация групп порядка pq (p и q — простые числа). Классификация групп порядка ≤10 (кроме 8). | Полупрямые произведения групп (внутренние и внешние), примеры: разложение групп S_n и D_n в полупрямое произведение. Арифметика конечных групп: непростота группы порядка 80, разрешимость групп порядка 20 и 12, коммутативность группы порядка 35, классификация групп порядка pq (p и q — простые числа). Классификация групп порядка ≤10 (кроме порядка 8). |
| |
| == Домашнее задание: == | == Домашнее задание: == |
| * 5922ав, 5924, 6218вгде★, 6222★, 6223★, 5920вг; | * 5922ав, 5924, 6218вгде★, 6222★, 6223★, 5920вг; |
| * можно ли разложить группы A_4, Q_8, GL_n(K) в полупрямое произведение? | * можно ли разложить группы A_4, Q_8, GL_n(K) в полупрямое произведение? |
| * перечислить, с точностью до изоморфизма, все группы порядка 8. | *★ перечислить, с точностью до изоморфизма, все группы порядка 8. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 23 ноября 2015 === |
| | |
| | Коммутативность группы порядка 455. Линейные и матричные представления групп, примеры: мономиальное представление группы S_n, представление группы в пространстве функций на множестве, определяемое её действием на множестве. Изоморфизм представлений. Инвариантные подпространства. Приводимые, неприводимые и вполне приводимые представления, разложение вполне приводимого представления в прямую сумму неприводимых, примеры: разложение мономиального представления, не вполне приводимое 2-мерное представление группы **Z**. Теорема Машке. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 6907, 6909, 6902, 6911, 7018, 7019а. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 30 ноября 2015 === |
| | |
| | Неприводимые комплексные представления конечных групп: случай абелевой группы (все неприводимые представления одномерны, описание одномерных представлений, пример: V_4), описание одномерных представлений (примеры: S_n, S_3×D_5), количество и сумма квадратов размерностей неприводимых представлений. Описание неприводимых представлений групп S_3, S_4, и D_n (найдено количество и размерности неприводимых представлений D_n, описаны одномерные представления). Кольца и алгебры. Структурные константы. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 7002жз, 7010, 7034бге, 7037аб, 6318; |
| | * описать одномерные представления группы A_4×D_4; |
| | * описать неприводимые представления групп A_4 и Q_8. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 7 декабря 2015 === |
| | |
| | Алгебра кватернионов **H**, сопряжение кватернионов, кватернионная норма, **H** — тело. Задача: классифицировать двумерные алгебры с 1 над **C**. Идеалы в кольцах и алгебрах. Задача: описать все идеалы в двумерной алгебре с 1, имеющей нильпотентный элемент. Главные идеалы, кольца главных идеалов. Факторкольца и факторалгебры. Изучение факторалгебр алгебры многочленов K[x] над полем K. Присоединение к полю корня неприводимого многочлена. Минимальный многочлен алгебраического элемента в расширении полей. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 6320б, 6321а, 6408б, 6402а, 6440, 6703бгдеж; |
| | * представить дробь (α^2-3α-1)/(α^2+2α+1), где α∈**C** удовлетворяет уравнению α^3+α^2+3α+4=0, в виде многочлена от α наименьшей возможной степени (избавиться от иррациональности в знаменателе). |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 14 декабря 2015 === |
| | |
| | == Контрольная работа == |
| | - Нахождение факторгруппы свободной абелевой группы, вычисление порядка элемента факторгруппы (//1 вариант//) и количества элементов данного порядка в факторгруппе (//2 вариант//). |
| | - Нахождение централизатора подстановки и количества элементов в её классе сопряжённости (//1 вариант//); описание всех орбит действия заданной матричной группы в векторном пространстве (//2 вариант//). |
| | - Доказательство коммутативности группы данного порядка (//1 вариант//); описание всех силовских подгрупп в данной конечной группе (//2 вариант//). |
| | - Нахождение ряда коммутантов заданной матричной группы (//1 вариант//); доказательство разрешимости группы данного порядка (//2 вариант//). |
| | - Описание всех одномерных комплексных представлений заданной конечной группы. |
| | - Вычисление в факторалгебре алгебры многочленов (//1 вариант//); избавление от иррациональности в знаменателе дроби в поле, получаемом присоединением корня неприводимого многочлена (//2 вариант//). |
