Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- семинары_212_группа [16.11.2015 16:15]
timashev
+++ семинары_212_группа [08.04.2025 16:43] (текущий)
@@ Строка 114: / Строка 114: @@
   * 5922ав, 5924, 6218вгде★, 6222★, 6223★, 5920вг;
   * можно ли разложить группы A_4, Q_8, GL_n(K) в полупрямое произведение?
-  * перечислить, с точностью до изоморфизма, все группы порядка 8.
+  *★ перечислить, с точностью до изоморфизма, все группы порядка 8.
+----
+=== 23 ноября 2015 ===
+Коммутативность группы порядка 455. Линейные и матричные представления групп, примеры: мономиальное представление группы S_n, представление группы в пространстве функций на множестве, определяемое её действием на множестве. Изоморфизм представлений. Инвариантные подпространства. Приводимые, неприводимые и вполне приводимые представления, разложение вполне приводимого представления в прямую сумму неприводимых, примеры: разложение мономиального представления, не вполне приводимое 2-мерное представление группы **Z**. Теорема Машке.
+== Домашнее задание: ==
+  * 6907, 6909, 6902, 6911, 7018, 7019а.
+----
+=== 30 ноября 2015 ===
+Неприводимые комплексные представления конечных групп: случай абелевой группы (все неприводимые представления одномерны, описание одномерных представлений, пример: V_4), описание одномерных представлений (примеры: S_n, S_3×D_5), количество и сумма квадратов размерностей неприводимых представлений. Описание неприводимых представлений групп S_3, S_4, и D_n (найдено количество и размерности неприводимых представлений D_n, описаны одномерные представления). Кольца и алгебры. Структурные константы.
+== Домашнее задание: ==
+  * 7002жз, 7010, 7034бге, 7037аб, 6318;
+  * описать одномерные представления группы A_4×D_4;
+  * описать неприводимые представления групп A_4 и Q_8.
+----
+=== 7 декабря 2015 ===
+Алгебра кватернионов **H**, сопряжение кватернионов, кватернионная норма, **H** — тело. Задача: классифицировать двумерные алгебры с 1 над **C**. Идеалы в кольцах и алгебрах. Задача: описать все идеалы в двумерной алгебре с 1, имеющей нильпотентный элемент. Главные идеалы, кольца главных идеалов. Факторкольца и факторалгебры. Изучение факторалгебр алгебры многочленов K[x] над полем K. Присоединение к полю корня неприводимого многочлена. Минимальный многочлен алгебраического элемента в расширении полей.
+== Домашнее задание: ==
+  * 6320б, 6321а, 6408б, 6402а, 6440, 6703бгдеж;
+  * представить дробь (α^2-3α-1)/(α^2+2α+1), где α∈**C** удовлетворяет уравнению α^3+α^2+3α+4=0, в виде многочлена от α наименьшей возможной степени (избавиться от иррациональности в знаменателе).
+----
+=== 14 декабря 2015 ===
+== Контрольная работа ==
+  - Нахождение факторгруппы свободной абелевой группы, вычисление порядка элемента факторгруппы (//1 вариант//) и количества элементов данного порядка в факторгруппе (//2 вариант//).
+  - Нахождение централизатора подстановки и количества элементов в её классе сопряжённости (//1 вариант//); описание всех орбит действия заданной матричной группы в векторном пространстве (//2 вариант//).
+  - Доказательство коммутативности группы данного порядка (//1 вариант//); описание всех силовских подгрупп в данной конечной группе (//2 вариант//).
+  - Нахождение ряда коммутантов заданной матричной группы (//1 вариант//); доказательство разрешимости группы данного порядка (//2 вариант//).
+  - Описание всех одномерных комплексных представлений заданной конечной группы.
+  - Вычисление в факторалгебре алгебры многочленов (//1 вариант//); избавление от иррациональности в знаменателе дроби в поле, получаемом присоединением корня неприводимого многочлена (//2 вариант//).