Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- семинары_212_группа_осень_2020 [19.11.2020 14:40]
timashev
+++ семинары_212_группа_осень_2020 [08.04.2025 16:43] (текущий)
@@ Строка 4: / Строка 4: @@
 Занятия проходят  **по пятницам** на **3**-й паре (13:45-15:20) **дистанционно** в Zoom.
-**Ссылка на подключение** к семинару **20 ноября**:
-https://zoom.us/j/94267945307
-Идентификатор конференции: 942 6794 5307
 Нумерация задач даётся по «//Сборнику задач по алгебре//» под ред. А.И. Кострикина, 3-е изд., Москва, Физматлит, 2001. Дополнительные задачи помечены знаком ★.
@@ Строка 128: / Строка 122: @@
   * найти коммутант группы, состоящей из невырожденных действительных матриц вида
   * {{:staff:timashev:commutant.jpg|}}
+----
+=== 20 ноября 2020 ===
+Силовские подгруппы, теоремы Силова, примеры: силовские подгруппы в A_4, в GL_2(**Z**_p), в прямом произведении групп. Арифметика конечных групп: доказательство непростоты и разрешимости групп заданного порядка.
+== Домашнее задание: ==
+  * 59.3а, 59.4а, 59.13где, 59.15, 59.22ав, 59.24, 62.18вгде★;
+  * описать все силовские подгруппы в D_3×A_4.
+----
+=== 27 ноября 2020 ===
+Арифметика конечных групп: доказательство коммутативности групп заданного порядка.
+Линейные и матричные представления групп, в том числе представление в пространстве функций на множестве с действием группы. Приводимые и вполне приводимые представления, разложение в прямую сумму неприводимых представлений. Нахождение инвариантных подпространств и доказательство неприводимости (пример: мономиальное представление группы S_n).
+== Домашнее задание: ==
+  * 59.20вг, 69.7, 69.9, 69.11;
+  * разложить мономиальное представление группы A_n над полем **C** на неприводимые слагаемые.
+----
+=== 4 декабря 2020 ===
+Теорема Машке. Описание неприводимых комплексных представлений конечных абелевых групп (пример: V_4) и одномерных комплексных представлений конечных групп (пример: S_3×D_5). Факты о количестве и размерностях неприводимых комплексных представлений конечной группы. Описание всех неприводимых комплексных представлений группы D_n размерности >1.
+== Домашнее задание: ==
+  * 69.2, 70.2жз, 70.10, 70.34бге, 70.37аб;
+  * описать все одномерные комплексные представления групп D_n и A_4×D_4.
+  * описать все неприводимые комплексные представления групп A_4 и Q_8.
+----
+=== 11 декабря 2020 ===
+Кольца и алгебры, примеры. Структурные константы. Классификация двумерных комплексных алгебр с единицей. Идеалы. Факторалгебры K[x]/(f), их свойства, вычисления в K[x]/(f), присоединение корня.
+== Домашнее задание: ==
+  * 63.21б, 63.22а, 64.8б, 64.42, 67.3бгдеж, 67.12★;
+  * представить выражение (a²-3a-1)/(a²+2a+1) в виде многочлена от a наименьшей возможной степени с рациональными коэффициентами, где a∈**C** — корень многочлена x³+x²+3x+4;
+  * в поле **F**_16, полученном из **Z**_2 присоединением корня a неприводимого многочлена x^4+x+1, найти порядок элемента a²+a в мультипликативной группе поля и его минимальный многочлен над **Z**_2.
+----
+=== 18 декабря 2020 ===
+== Контрольная работа ==
+  - Вычисление факторгруппы свободной абелевой группы и нахождение в ней количества элементов заданного порядка (//1 и 4 варианты//) и порядка заданного элемента (//2 и 3 варианты//).
+  - Нахождение централизатора элемента группы подстановок и количества элементов в его классе сопряжённости (//1 и 3 варианты//); описание орбит действия группы на множестве (//2 и 4 варианты//).
+  - Доказательство коммутативности группы заданного порядка (//1 и 3 варианты//); описание силовских подгрупп в группе (//2 и 4 варианты//).
+  - Вычисление производного ряда группы (//1 и 3 варианты//); доказательство разрешимости группы заданного порядка (//2 и 4 варианты//).
+  - Описание одномерных комплексных представлений группы.
+  - Избавление от иррациональности в знаменателе выражения в поле, получаемом присоединением корня неприводимого многочлена к полю **Z**_2 (//1 вариант//), **Z**_3 (//3 вариант//) и **C** (//2 и 4 варианты//).