20 апреля

Докладчик: Киракосян Вазген Валерикович

Тема доклада: Автоморфизмы групп Шевалле некоторых типов над коммутативными кольцами

Аннотация: Группы Шевалле над кольцами составляют важный класс линейных групп, для которого естественно возникают задачи об описании автоморфизмов, эндоморфизмов и связанных локально-глобальных инвариантов. Для групп над полями соответствующие результаты восходят к работам Р. Стейнберга и Дж. Хамфри; в дальнейшем описание автоморфизмов групп Шевалле над различными коммутативными кольцами развивалось в работах А. Бореля, Ж. Титса, Р. Картера, Ю Чена, Э. Абе, А. Клячко и других авторов. Существенный вклад в это направление внесла Е. И. Бунина: в её работах были получены теоремы о стандартности автоморфизмов для широкого круга групп Шевалле над локальными и произвольными коммутативными кольцами при соответствующих условиях обратимости определённых элементов для некоторых из типов. Результаты, представляемые в докладе, дополняют эту картину в ряде случаев, не покрытых указанными теоремами, а также рассматривают связанный круг вопросов о локально внутренних эндоморфизмах и Ш-жёсткости. В данном докладе будут представлены основные результаты диссертации:

Доказано, что каждый автоморфизм групп Шевалле типа $F_4$ над коммутативными локальными кольцами с необратимой двойкой, а также каждый автоморфизм групп Шевалле типа $G_2$ над коммутативными локальными кольцами с необратимой тройкой, является стандартным. Тем самым в этих случаях снимаются условия обратимости, присутствовавшие в ранее известных результатах.

Доказано, что для присоединённых групп Шевалле типов $A_1$, $A_2$, $B_2$ над произвольными коммутативными кольцами с обратимой двойкой, а также типа $G_2$ над коммутативными кольцами с обратимыми двойкой и тройкой, всякий локально внутренний эндоморфизм является внутренним; иными словами, эти группы являются Ш-жёсткими. При этом для указанных типов малых рангов получены прямые самодостаточные доказательства, не использующие классификацию эндоморфизмов или автоморфизмов.