Кафедра высшей алгебры - одна из старейших на механико-математическом факультете МГУ. Ее основал в 1929 г. и до 1949 г. возглавлял О.Ю.Шмидт - воспитанник Киевской алгебраической школы, впоследствии академик, многогранный ученый, общественный и государственный деятель.

Кафедра хранит традиции, заложенные ее первым заведующим. Символично, что научно-исследовательский семинар по алгебре, начавший работу в апреле 1930 г., продолжает действовать практически без перерыва до сих пор, хотя тематика его, естественно, сильно расширилась.

В становлении алгебро-топологических исследований в МГУ большую роль сыграл выдающийся представитель Московской математической школы П.С.Александров, который своими работами и лекциями зажег талант алгебраического тополога Л.С.Понтрягина и алгебраиста А.Г.Куроша - будущего заведующего кафедрой (до 1971 г.). Их работы 30-х годов по непрерывным и абстрактным группам заложили прочный фундамент в здание русской теоретико-групповой школы. Была выдвинута и успешно реализовывалась обширная программа исследований бесконечных групп с различными условиями обобщенной разрешимости и обобщенной конечности.

В конце 40-х - начале 50-х годов на кафедре широким фронтом развернулись теоретико-кольцевые исследования. В этот же период О.Н.Головиным была создана теория нильпотентных произведений групп, а в более позднее время - общая теория поливербальных произведений. В теории абелевых групп А.П.Мишиной получены результаты, послужившие впоследствии основой для исследований в более широком классе модулей.

В 50-е - 60-е годы работа кафедры высшей алгебры шла по следующим направлениям:

• теория групп Ли и однородных пространств;
• алгебраическая геометрия;
• алгебраическая теория чисел;
• теория групп;
• теория колец;
• теория категорий, универсальных алгебр (Е.Г.Шульгейфер, В.А.Артамонов), теория полугрупп;
• теория решеток.

С 1972 г. по 2000 г. кафедру высшей алгебры возглавлял чл.-корр. РАН Алексей Иванович Кострикин.

Последние два десятилетия основными направлениями работы кафедры являются

• алгебры Ли;
• комбинаторная теория групп;
• теория колец, модулей, универсальных алгебр;
• группы Ли и теория инвариантов.
• В целом, круг научных исследований, ведущихся на кафедре, постоянно расширяется, и это естественно, поскольку необходимость развития алгебры на мировом уровне диктует свои жесткие условия.

Современный взгляд на преподавание алгебры 20-го столетия отражают учебники и учебные пособия А.И.Кострикина, Л.А.Скорнякова, Ю.А.Бахтурина и других сотрудников кафедры.