|
Следующая версия
|
Предыдущая версия
|
vecher-vesna-2010 [08.02.2020 18:51]
timashev создано |
vecher-vesna-2010 [08.04.2025 16:43] (текущий)
|
| |
| Нумерация задач даётся по «//Сборнику задач по алгебре//» под ред. А.И.Кострикина, 3-е изд., Москва, Физматлит, 2001. Дополнительные задачи помечены знаком ★. | Нумерация задач даётся по «//Сборнику задач по алгебре//» под ред. А.И.Кострикина, 3-е изд., Москва, Физматлит, 2001. Дополнительные задачи помечены знаком ★. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 11 февраля 2020 === |
| | |
| | == Лекция 1 == |
| | |
| | __Векторные пространства__ над произвольным полем K, скаляры и векторы, примеры: геометрические векторы, арифметическое пространство K^n, пространство матриц, пространство функций на множестве, пространство многочленов, расширения полей. Простейшие следствия аксиом векторного пространства. |
| | |
| | Линейные комбинации векторов, линейная зависимость, основная лемма о линейной зависимости. |
| | |
| | Базис и размерность векторного пространства, координаты вектора в базисе. Конечномерные и бесконечномерные векторные пространства. |
| | |
| | __Изоморфизм__ векторных пространств. Любое векторное пространство размерности n<∞ над полем K изоморфно арифметическому пространству K^n. |
| | |
| | __Матрица перехода__ от одного базиса к другому, её свойства. Правило преобразования координат вектора при замене базиса. |
| | |
| | == Семинар == |
| | |
| | Экзотический пример векторного пространства: множество всех подмножеств множества X с операцией симметрической разности подмножеств — векторное пространство над полем **Z**_2. Линейная независимость системы функций 1, cos(t), ... , cos(nt) в пространстве функций на вещественной прямой (34.3г). Преобразование координат вектора при замене базиса (34.10а). |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 34.7а, 34.4б, 34.10в, 34.11а, 34.8бвд★; |
| | * доказать, что множество **R**^+ положительных чисел с операциями x⊕y = x·y (x,y∈**R**^+) и λ⊗x = x^λ (λ∈**R**, x∈**R**^+) является векторным пространством над полем **R**, и найти его размерность. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 18 февраля 2020 === |
| | |
| | == Лекция 2 == |
| | |
| | __Подпространства__ в векторном пространстве, примеры и конструкции подпространств: линейная оболочка множества векторов, пространство решений однородной системы линейных уравнений, пересечение подпространств. Объединение подпространств — вообще говоря, не подпространство. __Сумма подпространств__. |
| | |
| | Подпространство конечномерного векторного пространства конечномерно, его размерность не превосходит размерности пространства и строго меньше для собственного подпространства. Базис пространства, согласованный с подпространством. Существование базиса конечномерного пространства, согласованного с парой подпространств, их суммой и пересечением. __Формула Грассмана__ для размерности суммы двух подпространств. Нетривиальность пересечения двух подпространств, сумма размерностей которых больше размерности пространства. |
| | |
| | Линейная независимость подпространств, __прямая сумма__ подпространств, проекции вектора на прямые слагаемые. Примеры: разложение пространства геометрических векторов в прямую сумму плоскости и прямой, разложение конечномерного векторного пространства в прямую сумму координатных осей, разложение пространства квадратных матриц в прямую сумму подпространств симметрических и кососимметрических матриц. Размерность и базис прямой суммы подпространств. |
| | |
| | == Семинар == |
| | |
| | Векторные пространства над конечным полем (35.10абв). Применения формулы Грассмана: 7-мерное подпространство пространства матриц размера 4×4 содержит ненулевую треугольную матрицу. Прямая сумма подпространств (35.18). |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 35.9, 35.10где, 35.19, 35.22. |
| | * если матрица A размера n×n имеет ранг ≤n/2, то матричное уравнение AX=0 имеет решением ненулевую симметрическую матрицу X. |
