Различия
Здесь показаны различия между выбранной ревизией и текущей версией данной страницы.
|
vecher-vesna-2010 [11.02.2020 23:05] timashev |
vecher-vesna-2010 [18.02.2020 23:26] (текущий) timashev |
||
|---|---|---|---|
| Строка 37: | Строка 37: | ||
| * доказать, что множество **R**^+ положительных чисел с операциями x⊕y = x·y (x,y∈**R**^+) и λ⊗x = x^λ (λ∈**R**, x∈**R**^+) является векторным пространством над полем **R**, и найти его размерность. | * доказать, что множество **R**^+ положительных чисел с операциями x⊕y = x·y (x,y∈**R**^+) и λ⊗x = x^λ (λ∈**R**, x∈**R**^+) является векторным пространством над полем **R**, и найти его размерность. | ||
| + | ---- | ||
| + | |||
| + | === 18 февраля 2020 === | ||
| + | |||
| + | == Лекция 2 == | ||
| + | |||
| + | __Подпространства__ в векторном пространстве, примеры и конструкции подпространств: линейная оболочка множества векторов, пространство решений однородной системы линейных уравнений, пересечение подпространств. Объединение подпространств — вообще говоря, не подпространство. __Сумма подпространств__. | ||
| + | |||
| + | Подпространство конечномерного векторного пространства конечномерно, его размерность не превосходит размерности пространства и строго меньше для собственного подпространства. Базис пространства, согласованный с подпространством. Существование базиса конечномерного пространства, согласованного с парой подпространств, их суммой и пересечением. __Формула Грассмана__ для размерности суммы двух подпространств. Нетривиальность пересечения двух подпространств, сумма размерностей которых больше размерности пространства. | ||
| + | |||
| + | Линейная независимость подпространств, __прямая сумма__ подпространств, проекции вектора на прямые слагаемые. Примеры: разложение пространства геометрических векторов в прямую сумму плоскости и прямой, разложение конечномерного векторного пространства в прямую сумму координатных осей, разложение пространства квадратных матриц в прямую сумму подпространств симметрических и кососимметрических матриц. Размерность и базис прямой суммы подпространств. | ||
| + | |||
| + | == Семинар == | ||
| + | |||
| + | Векторные пространства над конечным полем (35.10абв). Применения формулы Грассмана: 7-мерное подпространство пространства матриц размера 4×4 содержит ненулевую треугольную матрицу. Прямая сумма подпространств (35.18). | ||
| + | |||
| + | == Домашнее задание: == | ||
| + | * 35.9, 35.10где, 35.19, 35.22. | ||
| + | * если матрица A размера n×n имеет ранг ≤n/2, то матричное уравнение AX=0 имеет решением ненулевую симметрическую матрицу X. | ||