| Предыдущая версия справа и слева
Предыдущая версия
Следующая версия
|
Предыдущая версия
|
vecher-vesna-2021 [09.02.2021 21:30]
timashev |
vecher-vesna-2021 [08.04.2025 16:43] (текущий)
|
| |
| Нумерация задач даётся по «//Сборнику задач по алгебре//» под ред. А.И.Кострикина, Москва, МЦНМО, 2015. Дополнительные задачи помечены знаком ★. | Нумерация задач даётся по «//Сборнику задач по алгебре//» под ред. А.И.Кострикина, Москва, МЦНМО, 2015. Дополнительные задачи помечены знаком ★. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 9 февраля 2021 === |
| | |
| | == Лекция 1 == |
| | |
| | __Векторные пространства__ над произвольным полем K, скаляры и векторы, примеры: геометрические векторы, арифметическое пространство K^n, пространство матриц, пространство функций на множестве, пространство многочленов, расширения полей. Простейшие следствия аксиом векторного пространства. |
| | |
| | Линейные комбинации векторов, линейная зависимость, основная лемма о линейной зависимости. |
| | |
| | Базис и размерность векторного пространства, координаты вектора в базисе. Конечномерные и бесконечномерные векторные пространства. |
| | |
| | __Изоморфизм__ векторных пространств. Любое векторное пространство размерности n<∞ над полем K изоморфно арифметическому пространству K^n. |
| | |
| | __Матрица перехода__ от одного базиса к другому, её свойства. Правило преобразования координат вектора при замене базиса. |
| | |
| | == Семинар == |
| | |
| | Линейная независимость системы функций 1, cos(t), ... , cos(nt) в пространстве функций на вещественной прямой (34.3г). Преобразование координат вектора при замене базиса (34.10а). |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 34.7а, 34.4б, 34.10в, 34.11а, 34.8бвд★; |
| | * доказать, что множество **R**^+ положительных чисел с операциями x⊕y = x·y (x,y∈**R**^+) и λ⊗x = x^λ (λ∈**R**, x∈**R**^+) является векторным пространством над полем **R**, и найти его размерность. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 16 февраля 2021 === |
| | |
| | == Лекция 2 == |
| | |
| | __Подпространства__ в векторном пространстве, примеры и конструкции подпространств: линейная оболочка множества векторов, пространство решений однородной системы линейных уравнений, пересечение подпространств. Объединение подпространств — вообще говоря, не подпространство. __Сумма подпространств__. |
| | |
| | Подпространство конечномерного векторного пространства конечномерно, его размерность не превосходит размерности пространства и строго меньше для собственного подпространства. Базис пространства, согласованный с подпространством. Существование базиса конечномерного пространства, согласованного с парой подпространств, их суммой и пересечением. __Формула Грассмана__ для размерности суммы двух подпространств. Нетривиальность пересечения двух подпространств, сумма размерностей которых больше размерности пространства. |
| | |
| | Линейная независимость подпространств, __прямая сумма__ подпространств, проекции вектора на прямые слагаемые. Примеры: разложение пространства геометрических векторов в прямую сумму плоскости и прямой, разложение конечномерного векторного пространства в прямую сумму координатных осей, разложение пространства квадратных матриц в прямую сумму подпространств симметрических и кососимметрических матриц. Размерность и базис прямой суммы подпространств. |
| | |
| | == Семинар == |
| | |
| | Векторные пространства над конечным полем (35.10абв), число элементов конечного поля (34.8бв). |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 35.9, 35.10где. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 2 марта 2021 === |
| | |
| | == Лекция 3 == |
| | |
| | __Линейные функции__ на векторном пространстве V: определение, примеры (след матрицы, вычисление значения функции в точке множества), запись в координатах на конечномерном пространстве (__линейные формы__). Сопряжённое (двойственное, дуальное) пространство V*, его размерность. Сопряжённый (двойственный, дуальный) базис пространства V*. Канонический изоморфизм пространств V и (V*)* в конечномерном случае. Двойственность между векторами и линейными функциями (__ковекторами__). |
| | |
| | __Аннулятор__ подмножества в векторном пространстве, его свойства. Размерность аннулятора, совпадение второго аннулятора подпространства с этим подпространством в конечномерном случае. Любое подпространство в конечномерном векторном пространстве задаётся однородной системой линейных уравнений (ОСЛУ). Критерий базисности набора линейных функций: задаваемая ими квадратная ОСЛУ имеет только нулевое решение. Интерполяционная формула Лагранжа как разложение многочлена по базису в терминах сопряжённого базиса. |
| | |
| | == Семинар == |
| | |
| | Задание подпространства однородной системой линейных уравнений ⇔ нахождение аннулятора подпространства (35.16а). Применение формулы Грассмана: 7-мерное подпространство пространства матриц размера 4×4 содержит ненулевую треугольную матрицу. Прямая сумма подпространств (35.18). |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 35.16б, 35.19, 35.22, 36.9бв; |
| | * если матрица A размера n×n имеет ранг ≤n/2, то матричное уравнение AX=0 имеет решением ненулевую симметрическую матрицу X. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 9 марта 2021 === |
| | |
| | == Лекция 4 == |
| | |
| | __Линейные отображения__ векторных пространств: определение, примеры (линейные функции, поворот плоскости, проекция пространства на плоскость, транспонирование матриц, дифференцирование функций). Матрица линейного отображения: определение, примеры (матрицы поворота плоскости и проекции пространства на плоскость), запись линейного отображения в координатах. Взаимно однозначное соответствие между линейными отображениями и матрицами (при выборе базисов). Преобразование матрицы линейного отображения при замене базисов. Операции над линейными отображениями и соответствующие операции над матрицами (сложение, умножение на скаляр, произведение). |
| | |
| | __Образ__ и __ядро__ линейного отображения. Критерии инъективности/сюръективности/биективности линейного отображения в терминах ядра и образа. Размерность ядра и образа. Геометрическая структура линейного отображения: подпространство, дополнительное к ядру, изоморфно отображается на образ. __Ранг__ линейного отображения. Новое доказательство теоремы о размерности пространства решений ОСЛУ. |
| | |
| | == Семинар == |
| | |
| | Нахождение базиса и системы линейных уравнений для суммы и пересечения подпространств. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 35.15вг, 36.3, 36.8, 36.17бв. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 16 марта 2021 === |
| | |
| | == Лекция 5 == |
| | |
| | __Линейные операторы__ на векторном пространстве (пример: единичный оператор). Матрица линейного оператора, её преобразование при замене базиса. Алгебра линейных операторов, её изоморфизм с алгеброй квадратных матриц. |
| | |
| | __Определитель__ и __след__ линейного оператора, их независимость от выбора базиса. Невырожденные линейные операторы, эквивалентные условия невырожденности. |
| | |
| | __Инвариантные подпространства__ для линейного оператора, вид матрицы оператора в базисе, согласованном с инвариантными подпространствами. |
| | |
| | __Собственные векторы__ и __собственные значения__ линейного оператора. __Характеристический многочлен__. Наличие собственных векторов у линейного оператора в комплексном векторном пространстве. __Собственные подпространства__, их линейная независимость. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения. Диагонализуемые операторы, эквивалентные условия диагонализуемости. Операторы с простым спектром диагонализуемы. |
| | |
| | == Семинар == |
| | |
| | Нахождение матрицы линейного оператора (39.15в), её преобразование при замене базиса (39.20). |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 39.6, 39.15ел, 39.19, 39.23. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 23 марта 2021 === |
| | |
| | == Лекция 6 == |
| | |
| | Подстановка линейного оператора или матрицы в многочлен. __Теорема Гамильтона–Кэли__ (для линейных операторов в конечномерном комплексном векторном пространстве). Существование инвариантного подпространства размерности ≤2 для линейного оператора в конечномерном вещественном векторном пространстве. |
| | |
| | __Корневые векторы__ линейного оператора (пример: собственные и корневые векторы оператора дифференцирования в пространстве функций на прямой). __Корневые подпространства__, их свойства: инвариантность, размерность равна алгебраической кратности собственного значения, ограничение оператора на корневое подпространство. |
| | |
| | == Семинар == |
| | |
| | Вычисление коэффициентов характеристического многочлена (40.10). Вычисление собственных значений и нахождение собственных векторов (40.15а). Диагонализумость линейных операторов (40.16а). |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 40.7, 40.9, 40.15бг, 40.16вг. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 30 марта 2021 === |
| | |
| | == Лекция 7 == |
| | |
| | Линейная независимость корневых подпространств, разложение векторного пространства в прямую сумму корневых подпространств. |
| | |
| | __Циклические подпространства__ для нильпотентного линейного оператора (пример: циклические подпространства оператора дифференцирования в пространстве многочленов), их свойства: инвариантность, базис и размерность, матрица нильпотентного оператора на циклическом подпространстве — нильпотентная __жорданова клетка__. Разложение векторного пространства в прямую сумму циклических подпространств, жорданов базис и жорданова нормальная форма для нильпотентного оператора. Графическое изображение действия нильпотентного оператора на жордановом базисе с помощью __диаграммы Юнга__. |
| | |
| | == Семинар == |
| | |
| | Сумма и произведение собственных значений. Нахождение корневых подпространств (40.35г). |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 40.35аб, 40.38, 41.8. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 6 апреля 2021 === |
| | |
| | == Лекция 8 == |
| | |
| | __Жорданова нормальная форма__ (ЖНФ) и __жорданов базис__ (ЖБ) для линейного оператора в комплексном векторном пространстве: существование, единственность ЖНФ с точностью до перестановки жордановых клеток, формулы для количества клеток с заданным собственным значением (всех и данного размера). |
| | |
| | __Билинейные функции__ на векторных пространствах: определение, примеры (скалярное произведение геометрических векторов, определитель матрицы 2×2 как билинейная функция столбцов, след произведения матриц, интеграл произведения функций). Запись билинейных функций в координатах (__билинейные формы__), матрица билинейной функции, её преобразование при замене базиса. Ранг билинейной функции, невырожденные билинейные функции. Линейное отображение в сопряжённое пространство, задаваемое билинейной функцией, его матрица и критерий биективности. |
| | |
| | == Семинар == |
| | |
| | Сумма и произведение собственных значений линейного оператора. Нахождение ЖНФ и ЖБ (41.1е). |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 41.1ажк, 41.10вг, 41.7, 41.30. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 13 апреля 2021 === |
| | |
| | == Лекция 9 == |
| | |
| | __Симметрические__ и __кососимметрические__ билинейные функции, примеры. __Ортогональное дополнение__ к подпространству относительно симметрической или кососимметрической билинейной функции, его свойства, связь с аннулятором. |
| | |
| | __Квадратичные функции__ на векторном пространстве, ассоциированные с симметрическими билинейными функциями, их запись в координатах (__квадратичные формы__). Восстановление симметрической билинейной функции по ассоциированной квадратичной функции (__формула поляризации__). Канонический вид симметрических билинейных и квадратичных функций, __алгоритм Лагранжа__ приведения к каноническому виду. Угловые миноры матрицы симметрической билинейной (или квадратичной) функции, __метод Якоби__ приведения к каноническому виду. |
| | |
| | == Семинар == |
| | |
| | Эквивалентноть билинейных форм (37.32а). Приведение симметрической билинейной функции к каноническому виду алгоритмом Лагранжа (38.18а) и методом Якоби (38.8а). |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 38.3, 38.4, 38.18вгз, 38.8б, 38.9. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 20 апреля 2021 === |
| | |
| | == Лекция 10 == |
| | |
| | Нормальный вид симметрических билинейных и квадратичных функций над полями **C** и **R**. Сигнатура и индексы инерции квадратичной функции над **R**, __закон инерции__. __Положительно определённые__ симметрические билинейные и квадратичные функции, __критерий Сильвестра__. |
| | |
| | __Евклидовы__ векторные пространства: определение, примеры (геометрические векторы, **R**^n со стандартным скалярным умножением, конечномерные подпространства в пространстве непрерывных функций на отрезке). Изоморфизм евклидовых пространств. Все евклидовы пространства одной размерности изоморфны друг другу. |
| | |
| | __Длина__ вектора в евклидовом пространстве, её простейшие свойства. __Неравенство Коши–Буняковского__. Неравенство треугольника. __Угол__ между векторами. |
| | |
| | == Семинар == |
| | |
| | Эквивалентность квадратичных форм над **C** и над **R** (38.17а). При каких значениях параметра квадратичная функция положительно определена (38.11б). |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 38.11в, 38.14а, 38.17б, 38.19а, 38.21. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 27 апреля 2021 === |
| | |
| | == Лекция 11 == |
| | |
| | __Ортогональность__ векторов в евклидовом пространстве. Обобщённая теорема Пифагора. Ортогональные и ортонормированные базисы, ортогональные системы координат. Ортогональные матрицы, их характеризация как матриц перехода от одного ортонормированного базиса к другому. |
| | |
| | Ортогональное дополнение к подпространству в евклидовом пространстве, его свойства. __Ортогональная проекция__ и __ортогональная составляющая__ вектора относительно подпространства. __Процесс ортогонализации Грама–Шмидта__ (пример: многочлены Лежандра). |
| | |
| | __Матрица__ и __определитель Грама__, их свойства. __Расстояние__ между векторами в евклидовом пространстве, его свойства. Расстояние и угол между вектором и подпространством достигаются на ортогональной проекции вектора. Формула для расстояния от вектора до подпространства в терминах определителей Грама. |
| | |
| | == Семинар == |
| | |
| | Ортогонализация системы векторов (43.15а). Нахождение ортогональной проекции и ортогональной составляющей вектора, расстояния и угла между вектором и подпространством (43.38б). |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 43.15б, 43.19а, 43.21б, 43.38а. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 4 мая 2021 === |
| | |
| | == Лекция 12 == |
| | |
| | __Объём__ многомерного __параллелепипеда__ в евклидовом пространстве: индуктивное определение, выражение через определитель Грама и через определитель матрицы координат порождающих векторов в ортонормированном базисе. |
| | |
| | Взаимно однозначное соответствие между линейными операторами и билинейными функциями на евклидовом пространстве. __Сопряжённый оператор__, его матрица в ортонормированном базисе. |
| | |
| | Оператор, сопряжённый к произведению операторов. Ортогональное дополнение к инвариантному подпространству инвариантно относительно сопряжённого оператора. |
| | |
| | __Ортогональные операторы__, эквивалентные условия ортогональности, примеры: E, -E, поворот плоскости. Канонический вид матрицы ортогонального оператора. |
| | |
| | == Семинар == |
| | |
| | Вычисление объёма параллелепипеда (43.36б). Линейная независимость системы векторов с попарными углами π/3 (43.39). Собственные значения ортогонального оператора, ортогональность собственных подпространств. Приведение ортогонального оператора к каноническому виду (46.6в). |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 43.36а, 43.40, 43.45а (при n=3), 44.7, 46.6гж. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 11 мая 2021 === |
| | |
| | == Лекция 13 == |
| | |
| | __Симметрические (самосопряжённые) операторы__. Наличие собственного вектора у симметрического оператора. Канонический вид матрицы симметрического оператора. Приведение симметрических билинейных и квадратичных функций к главным осям. Неотрицательные и положительно определённые симметрические операторы, пример: A*·A, где A — произвольный оператор. Критерий неотрицательности и положительной определённости симметрического оператора в терминах собственных значений. Извлечение квадратного корня из неотрицательного и положительно определённого оператора. |
| | |
| | __Полярное разложение__ невырожденного линейного оператора в евклидовом пространстве. |
| | |
| | == Семинар == |
| | |
| | Приведение квадратичной функции к главным осям (45.19и). Полярное разложение линейного оператора. |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 45.1, 45.4г, 45.14, 45.15★, 45.19е, 46.16бв (полярное разложение в обоих порядках). |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 18 мая 2021 === |
| | |
| | == Лекция 13 == |
| | |
| | __Тензоры__: определение, примеры тензоров малых валентностей (скаляры, ковекторы, векторы, билинейные функции, сопоставление линейному оператору тензора типа (1,1)), определитель как тензор типа (n,0). Операции над тензорами: сложение, умножение на скаляры, __тензорное умножение__, их свойства. |
| | |
| | __Тензорный базис__ пространства тензоров типа (p,q), его размерность. __Компоненты__ тензора, их преобразование при замене координат в основном пространстве. Правило Эйнштейна. Операции над тензорами в координатах. Изоморфизм пространств линейных операторов и тензоров типа (1,1) над основным пространством. |
| | |
| | == Семинар == |
| | |
| | Вычисление значений тензоров (47.3а). Разложимость тензоров в тензорное произведение (47.1ад). |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 47.1вг, 47.3б, 47.4; |
| | * ★ тензор det не разложим в тензорное произведение тензоров меньшей валентности. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 25 мая 2021 === |
| | |
| | == Лекция 15 == |
| | |
| | __Ковариантные__ и __контравариантные__ тензоры. __Симметрические__ и __кососимметрические__ тензоры. Операции симметризации и альтернирования тензоров, их свойства. |
| | |
| | __Внешнее умножение__ кососимметрических тензоров, его свойства: антикоммутативность, ассоциативность, внешнее произведение ковекторов. Базис и размерность пространства кососимметрических тензоров данной валентности. |
| | |
| | Канонический вид кососимметрической билинейной функции, алгоритм приведения к каноническому виду с использованием внешнего умножения. |
| | |
| | == Семинар == |
| | |
| | Вычисление компонент тензора при переходе к новому базису (47.5). Приведение кососимметрической билинейной функции к каноническому виду (37.33б). |
| | |
| | == Домашнее задание: == |
| | * 47.7бв, 47.14а, 37.33авг. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | == Итоговая контрольная работа: == |
| | 30 мая, 11:00. |
| | |
| | == Зачёты: == |
| | * 1 июня, 18:30; |
| | * 5 июня, 11:00. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | == Экзамен по курсу: == |
| | 26 июня, 14:00. |
| | |
| | {{:staff:timashev:linalg-21.pdf|Программа экзамена}} |
