• Показать страницу
  • История страницы
  • Ссылки сюда

    • Различия

    Показаны различия между двумя версиями страницы.

    Ссылка на это сравнение

    Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
    Следующая версия     		Предыдущая версия
    vecher-vesna-2021 [16.03.2021 23:04]
    timashev     		vecher-vesna-2021 [08.04.2025 16:43] (текущий)
    Строка 111: Строка 111:
     == Домашнее задание: == == Домашнее задание: ==
       * 39.6, 39.15ел, 39.19, 39.23.   * 39.6, 39.15ел, 39.19, 39.23.
     +
     +----
     +
     +=== 23 марта 2021 ===
     +
     +== Лекция 6 ==
     +
     +Подстановка линейного оператора или матрицы в многочлен. __Теорема Гамильтона–Кэли__ (для линейных операторов в конечномерном комплексном векторном пространстве). Существование инвариантного подпространства размерности ≤2 для линейного оператора в конечномерном вещественном векторном пространстве.
     +
     +__Корневые векторы__ линейного оператора (пример: собственные и корневые векторы оператора дифференцирования в пространстве функций на прямой). __Корневые подпространства__, их свойства: инвариантность, размерность равна алгебраической кратности собственного значения, ограничение оператора на корневое подпространство.
     +
     +== Семинар ==
     +
     +Вычисление коэффициентов характеристического многочлена (40.10). Вычисление собственных значений и нахождение собственных векторов (40.15а). Диагонализумость линейных операторов (40.16а).
     +
     +== Домашнее задание: ==
     +  * 40.7, 40.9, 40.15бг, 40.16вг.
     +
     +----
     +
     +=== 30 марта 2021 ===
     +
     +== Лекция 7 ==
     +
     +Линейная независимость корневых подпространств, разложение векторного пространства в прямую сумму корневых подпространств.
     +
     +__Циклические подпространства__ для нильпотентного линейного оператора (пример: циклические подпространства оператора дифференцирования в пространстве многочленов), их свойства: инвариантность, базис и размерность, матрица нильпотентного оператора на циклическом подпространстве — нильпотентная __жорданова клетка__. Разложение векторного пространства в прямую сумму циклических подпространств, жорданов базис и жорданова нормальная форма для нильпотентного оператора. Графическое изображение действия нильпотентного оператора на жордановом базисе с помощью __диаграммы Юнга__.
     +
     +== Семинар ==
     +
     +Сумма и произведение собственных значений. Нахождение корневых подпространств (40.35г).
     +
     +== Домашнее задание: ==
     +  * 40.35аб, 40.38, 41.8.
     +
     +----
     +
     +=== 6 апреля 2021 ===
     +
     +== Лекция 8 ==
     +
     +__Жорданова нормальная форма__ (ЖНФ) и __жорданов базис__ (ЖБ) для линейного оператора в комплексном векторном пространстве: существование, единственность ЖНФ с точностью до перестановки жордановых клеток, формулы для количества клеток с заданным собственным значением (всех и данного размера).
     +
     +__Билинейные функции__ на векторных пространствах: определение, примеры (скалярное произведение геометрических векторов, определитель матрицы 2×2 как билинейная функция столбцов, след произведения матриц, интеграл произведения функций). Запись билинейных функций в координатах (__билинейные формы__), матрица билинейной функции, её преобразование при замене базиса. Ранг билинейной функции, невырожденные билинейные функции. Линейное отображение в сопряжённое пространство, задаваемое билинейной функцией, его матрица и критерий биективности.
     +
     +== Семинар ==
     +
     +Сумма и произведение собственных значений линейного оператора. Нахождение ЖНФ и ЖБ (41.1е).
     +
     +== Домашнее задание: ==
     +  * 41.1ажк, 41.10вг, 41.7, 41.30.
     +
     +----
     +
     +=== 13 апреля 2021 ===
     +
     +== Лекция 9 ==
     +
     +__Симметрические__ и __кососимметрические__ билинейные функции, примеры. __Ортогональное дополнение__ к подпространству относительно симметрической или кососимметрической билинейной функции, его свойства, связь с аннулятором.
     +
     +__Квадратичные функции__ на векторном пространстве, ассоциированные с симметрическими билинейными функциями, их запись в координатах (__квадратичные формы__). Восстановление симметрической билинейной функции по ассоциированной квадратичной функции (__формула поляризации__). Канонический вид симметрических билинейных и квадратичных функций, __алгоритм Лагранжа__ приведения к каноническому виду. Угловые миноры матрицы симметрической билинейной (или квадратичной) функции, __метод Якоби__ приведения к каноническому виду.
     +
     +== Семинар ==
     +
     +Эквивалентноть билинейных форм (37.32а). Приведение симметрической билинейной функции к каноническому виду алгоритмом Лагранжа (38.18а) и методом Якоби (38.8а).
     +
     +== Домашнее задание: ==
     +  * 38.3, 38.4, 38.18вгз, 38.8б, 38.9.
     +
     +----
     +
     +=== 20 апреля 2021 ===
     +
     +== Лекция 10 ==
     +
     +Нормальный вид симметрических билинейных и квадратичных функций над полями **C** и **R**. Сигнатура и индексы инерции квадратичной функции над **R**, __закон инерции__. __Положительно определённые__ симметрические билинейные и квадратичные функции, __критерий Сильвестра__.
     +
     +__Евклидовы__ векторные пространства: определение, примеры (геометрические векторы, **R**^n со стандартным скалярным умножением, конечномерные подпространства в пространстве непрерывных функций на отрезке). Изоморфизм евклидовых пространств. Все евклидовы пространства одной размерности изоморфны друг другу.
     +
     +__Длина__ вектора в евклидовом пространстве, её простейшие свойства. __Неравенство Коши–Буняковского__. Неравенство треугольника. __Угол__ между векторами.
     +
     +== Семинар ==
     +
     +Эквивалентность квадратичных форм над **C** и над **R** (38.17а). При каких значениях параметра квадратичная функция положительно определена (38.11б). 
     +
     +== Домашнее задание: ==
     +  * 38.11в, 38.14а, 38.17б, 38.19а, 38.21.
     +
     +----
     +
     +=== 27 апреля 2021 ===
     +
     +== Лекция 11 ==
     +
     +__Ортогональность__ векторов в евклидовом пространстве. Обобщённая теорема Пифагора. Ортогональные и ортонормированные базисы, ортогональные системы координат. Ортогональные матрицы, их характеризация как матриц перехода от одного ортонормированного базиса к другому.
     +
     +Ортогональное дополнение к подпространству в евклидовом пространстве, его свойства. __Ортогональная проекция__ и __ортогональная составляющая__ вектора относительно подпространства. __Процесс ортогонализации Грама–Шмидта__ (пример: многочлены Лежандра).
     +
     +__Матрица__ и __определитель Грама__, их свойства. __Расстояние__ между векторами в евклидовом пространстве, его свойства. Расстояние и угол между вектором и подпространством достигаются на ортогональной проекции вектора. Формула для расстояния от вектора до подпространства в терминах определителей Грама.
     +
     +== Семинар ==
     +
     +Ортогонализация системы векторов (43.15а). Нахождение ортогональной проекции и ортогональной составляющей вектора, расстояния и угла между вектором и подпространством (43.38б).
     +
     +== Домашнее задание: ==
     +  * 43.15б, 43.19а, 43.21б, 43.38а.
     +
     +----
     +
     +=== 4 мая 2021 ===
     +
     +== Лекция 12 ==
     +
     +__Объём__ многомерного __параллелепипеда__ в евклидовом пространстве: индуктивное определение, выражение через определитель Грама и через определитель матрицы координат порождающих векторов в ортонормированном базисе. 
     +
     +Взаимно однозначное соответствие между линейными операторами и билинейными функциями на евклидовом пространстве. __Сопряжённый оператор__, его матрица в ортонормированном базисе.
     +
     +Оператор, сопряжённый к произведению операторов. Ортогональное дополнение к инвариантному подпространству инвариантно относительно сопряжённого оператора. 
     +
     +__Ортогональные операторы__, эквивалентные условия ортогональности, примеры: E, -E, поворот плоскости. Канонический вид матрицы ортогонального оператора.
     +
     +== Семинар ==
     +
     +Вычисление объёма параллелепипеда (43.36б). Линейная независимость системы векторов с попарными углами π/3 (43.39). Собственные значения ортогонального оператора, ортогональность собственных подпространств. Приведение ортогонального оператора к каноническому виду (46.6в).
     +
     +== Домашнее задание: ==
     +  * 43.36а, 43.40, 43.45а (при n=3), 44.7, 46.6гж.
     +
     +----
     +
     +=== 11 мая 2021 ===
     +
     +== Лекция 13 ==
     +
     +__Симметрические (самосопряжённые) операторы__. Наличие собственного вектора у симметрического оператора. Канонический вид матрицы симметрического оператора. Приведение симметрических билинейных и квадратичных функций к главным осям. Неотрицательные и положительно определённые симметрические операторы, пример: A*·A, где A — произвольный оператор. Критерий неотрицательности и положительной определённости симметрического оператора в терминах собственных значений. Извлечение квадратного корня из неотрицательного и положительно определённого оператора.
     +
     +__Полярное разложение__ невырожденного линейного оператора в евклидовом пространстве.
     +
     +== Семинар ==
     +
     +Приведение квадратичной функции к главным осям (45.19и). Полярное разложение линейного оператора.
     +
     +== Домашнее задание: ==
     +  * 45.1, 45.4г, 45.14, 45.15★, 45.19е, 46.16бв (полярное разложение в обоих порядках).
     +
     +----
     +
     +=== 18 мая 2021 ===
     +
     +== Лекция 13 ==
     +
     +__Тензоры__: определение, примеры тензоров малых валентностей (скаляры, ковекторы, векторы, билинейные функции, сопоставление линейному оператору тензора типа (1,1)), определитель как тензор типа (n,0). Операции над тензорами: сложение, умножение на скаляры, __тензорное умножение__, их свойства.
     +
     +__Тензорный базис__ пространства тензоров типа (p,q), его размерность. __Компоненты__ тензора, их преобразование при замене координат в основном пространстве. Правило Эйнштейна. Операции над тензорами в координатах. Изоморфизм пространств линейных операторов и тензоров типа (1,1) над основным пространством.
     +
     +== Семинар ==
     +
     +Вычисление значений тензоров (47.3а). Разложимость тензоров в тензорное произведение (47.1ад).
     +
     +== Домашнее задание: ==
     +  * 47.1вг, 47.3б, 47.4;
     +  * ★ тензор det не разложим в тензорное произведение тензоров меньшей валентности.
     +
     +----
     +
     +=== 25 мая 2021 ===
     +
     +== Лекция 15 ==
     +
     +__Ковариантные__ и __контравариантные__ тензоры. __Симметрические__ и __кососимметрические__ тензоры. Операции симметризации и альтернирования тензоров, их свойства. 
     +
     +__Внешнее умножение__ кососимметрических тензоров, его свойства: антикоммутативность, ассоциативность, внешнее произведение ковекторов. Базис и размерность пространства кососимметрических тензоров данной валентности. 
     +
     +Канонический вид кососимметрической билинейной функции, алгоритм приведения к каноническому виду с использованием внешнего умножения.
     +
     +== Семинар ==
     +
     +Вычисление компонент тензора при переходе к новому базису (47.5). Приведение кососимметрической билинейной функции к каноническому виду (37.33б).
     +
     +== Домашнее задание: ==
     +  * 47.7бв, 47.14а, 37.33авг.
     +
     +----
     +
     +== Итоговая контрольная работа: ==
     +30 мая, 11:00.
     +
     +== Зачёты: ==
     +  * 1 июня, 18:30;
     +  * 5 июня, 11:00.
     +
     +----
     +
     +== Экзамен по курсу: ==
     +26 июня, 14:00.
     +
     +{{:staff:timashev:linalg-21.pdf|Программа экзамена}}
    vecher-vesna-2021.1615925060.txt.gz · Последнее изменение: 08.04.2025 16:42 (внешнее изменение)

  • Показать страницу
  • История страницы
  • Ссылки сюда
  • Недавние изменения