Различия
Показаны различия между двумя версиями страницы.
Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия Следующая версия | Предыдущая версия | ||
алгебра_1_курс_вечерники_осень_2019 [11.09.2019 10:42] kulikova |
алгебра_1_курс_вечерники_осень_2019 [08.04.2025 16:43] (текущий) |
||
---|---|---|---|
Строка 23: | Строка 23: | ||
- Сборник задач по алгебре под ред. А.И.Кострикина. | - Сборник задач по алгебре под ред. А.И.Кострикина. | ||
- | Нумерация задач даётся по «Сборнику задач по алгебре» под ред. А.И.Кострикина, | + | Нумерация задач даётся по «Сборнику задач по алгебре» под ред. А.И.Кострикина, |
---- | ---- | ||
=== 3 сентября 2019 === | === 3 сентября 2019 === | ||
Строка 59: | Строка 59: | ||
1) Метод Гаусса решения СЛАУ. СЛАУ с параметром. | 1) Метод Гаусса решения СЛАУ. СЛАУ с параметром. | ||
- | 2)Векторное пространство: | + | 2) Векторное пространство: |
**Домашнее задание**: | **Домашнее задание**: | ||
Строка 79: | Строка 79: | ||
== Лекция 3 == | == Лекция 3 == | ||
+ | 1) Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем. | ||
+ | |||
+ | 2) Определение векторного подпространства. Примеры. | ||
+ | |||
+ | 3) Линейная оболочка системы векторов. Определение множества, | ||
+ | Основная лемма о линейной зависимости. | ||
+ | |||
+ | 4) Определение базиса. Свойства. Всякое конечномерное векторное подпространство обладает базисом. Все базисы конечномерного векторного пространства содержат одно и то же число векторов. | ||
+ | Определение размерности векторного пространства. Примеры. | ||
+ | |||
+ | Всякую линейно независимую систему векторов конечномерного векторного пространства можно дополнить до базиса. | ||
+ | |||
== Семинар == | == Семинар == | ||
+ | |||
+ | Определение векторного пространства. | ||
+ | |||
+ | Базис системы векторов. | ||
+ | |||
+ | **Домашнее задание**: | ||
+ | |||
+ | 1) Доказать Лемму 1 и Лемму 2. | ||
+ | |||
+ | 2) 6.10 (а,б), 6.11 | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | |||
+ | === 24 сентября 2019 === | ||
+ | |||
+ | == Лекция 4 == | ||
+ | |||
+ | Определение ранга системы векторов. Определение ранга матрицы как ранга системы ее строк. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях над строками. Ранг матрицы ступенчатого вида равен числу ее ненулевых строк. | ||
+ | |||
+ | Критерий совместности и определенности СЛАУ в терминах рангов матриц (теорема Кронекера-Капелли). | ||
+ | |||
+ | Ранг системы столбцов матрицы не меняется при элементарных преобразованиях над строками. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях над столбцами. Ранг системы строк матрицы равен рангу системы ее столбцов. | ||
+ | |||
+ | == Семинар == | ||
+ | |||
+ | Алгоритм нахождения базиса и ранга конечной системы векторов и линейных выражений всех векторов системы через найденный базис. | ||
+ | |||
+ | Алгоритм нахождения базиса и размерности линейной оболочки. | ||
+ | |||
+ | Ранг матрицы. | ||
+ | |||
+ | **Домашнее задание**: | ||
+ | ---- | ||
+ | |||
+ | === 1 октября 2019 === | ||
+ | |||
+ | == Лекция 5 == | ||
+ | 1)Однородные СЛАУ. Свойства решений однородной СЛАУ. Подпространство решений однородной СЛАУ и его базис (ФСР). Теорема о размерности подпространства решений однородной СЛАУ. Связь между множествами решений совместной системы линейных уравнений и соответствующей системы однородных линейных уравнений. | ||
+ | |||
+ | 2) Определение перестановки из n элементов. Инверсии и знак перестановки. | ||
+ | == Семинар == | ||
+ | 1) Нахождение ФСР однородной СЛАУ. Связь между множествами решений совместной системы линейных уравнений и соответствующей системы однородных линейных уравнений. | ||
+ | |||
+ | 2) Перестановки. Инверсии. Знак перестановки. | ||
**Домашнее задание**: | **Домашнее задание**: | ||
+ | |||
+ | 1) 8.4 (в,г), 8.1 (в,г), ★7.19, ★8.25 | ||
+ | |||
+ | 2) 3.5 (б, | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | |||
+ | |||
+ | === 8 октября 2019 === | ||
+ | |||
+ | == Лекция 6 == | ||
+ | 1)Свойства перестановок. | ||
+ | |||
+ | 2) Формула полного разложения определителя. Примеры определителя 2-го и 3-го порядка. Определитель треугольной матрицы. | ||
+ | |||
+ | 3) Определитель как полилинейная кососимметрическая функция. Элементарные преобразования над строками определителя. Вычисление определителя посредством приведения к треугольному виду. | ||
+ | |||
+ | == Семинар == | ||
+ | |||
+ | 1) Задачи на формулу полного разложения определителя. | ||
+ | |||
+ | 2) Свойства определителя. Метод Гаусса вычисления определителей. | ||
+ | |||
+ | **Домашнее задание**: | ||
+ | ---- | ||
+ | === 15 октября 2019 === | ||
+ | |||
+ | == Лекция 7 == | ||
+ | |||
+ | Определитель транспонированной матрицы. К какому виду можно привести матрицу с помощью элементарных преобразований, | ||
+ | |||
+ | == Семинар == | ||
+ | |||
+ | Определители. Разложение по строке (по столбцу). Рекуррентные соотношения. | ||
+ | |||
+ | **Домашнее задание**: | ||
+ | ---- | ||
+ | === 22 октября 2019 === | ||
+ | |||
+ | == Лекция 8 == | ||
+ | 1) Умножение матриц, | ||
+ | |||
+ | 2) Связь операций над матрицами и ранга. Ранг суммы матриц. Ранг произведения матриц. | ||
+ | == Семинар == | ||
+ | 1) Умножение матриц, | ||
+ | |||
+ | 2) Связь операций над матрицами и ранга. Ранг суммы матриц. Ранг произведения матриц. | ||
+ | |||
+ | **Домашнее задание**: | ||
+ | ---- | ||
+ | === 29 октября 2019 === | ||
+ | |||
+ | == Лекция 9 == | ||
+ | 1) Элементарные матрицы, | ||
+ | |||
+ | 2) Определитель произведения матриц. | ||
+ | |||
+ | 3) Критерий равенства определителя нулю. Теорема о ранге матрицы (характеризация матрицы в терминах миноров). | ||
+ | |||
+ | 4) Обратные матрицы. Определение. Критерий существования обратной матрицы. Обоснование метода элементарных преобразований для нахождения обратной матрицы. | ||
+ | == Семинар == | ||
+ | 1) Определитель произведения матриц. | ||
+ | |||
+ | 2) Метод окаймляющих миноров. | ||
+ | |||
+ | 3) Обратные матрицы. | ||
+ | |||
+ | **Домашнее задание**: | ||
+ | |||
+ | 1) 15.1, 15.2 (а, б, в), | ||
+ | |||
+ | 2) 7.1 (б,з,к) (решить методом окаймляющих миноров), | ||
+ | |||
+ | 3) 18.8 (г, | ||
+ | ---- | ||
+ | === 5 ноября 2019 === | ||
+ | |||
+ | == Лекция 10 == | ||
+ | 1) Матричные уравнения. Правило Крамера. | ||
+ | |||
+ | 2) Бинарные операции. Определение коммутативности, | ||
+ | элемента, | ||
+ | |||
+ | == Семинар == | ||
+ | 1) Матричные уравнения. Правило Крамера. | ||
+ | |||
+ | 2) Бинарные операции. Определение коммутативности, | ||
+ | элемента, | ||
+ | |||
+ | **Домашнее задание**: | ||
+ | |||
+ | 1) 18.3 (а, | ||
+ | |||
+ | 2) 54.1(д), 54.3, 55.1, 55.5, 55.6 | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | === 12 ноября 2019 === | ||
+ | |||
+ | == Лекция 11 == | ||
+ | Группа преобразований. Группа подстановок (операции над подстановками, | ||
+ | |||
+ | == Семинар == | ||
+ | |||
+ | __ Контрольная работа по темам: __ | ||
+ | |||
+ | 1) Однородные и неоднородные СЛАУ. | ||
+ | |||
+ | 2) Ранг системы векторов. Ранг матрицы. | ||
+ | |||
+ | 3) Определители. | ||
+ | |||
+ | 4) Обратные матрицы. | ||
+ | |||
+ | 5) Матричные уравнения. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | **Домашнее задание**: | ||
+ | ---- | ||
+ | === 19 ноября 2019 === | ||
+ | |||
+ | == Лекция 12 == | ||
+ | 1)Группа подстановок. Умножение на транспозицию. Доказательство утверждения о разложении подстановки в виде произведения транспозиций. Четность. Свойства. | ||
+ | |||
+ | 2) Комплексные числа. Операции в алгебраической форме. Свойства. Операции в тригонометрической форме. | ||
+ | Утверждение о произведении и делении в тригонометрической форме. Следствие о возведении в степень. | ||
+ | Утверждение об извлечении корня из ненулевого комплексного числа. | ||
+ | |||
+ | == Семинар == | ||
+ | |||
+ | 1) Четность подстановок. | ||
+ | |||
+ | 2) Комплексные числа. Операции в алгебраической форме. Операции в тригонометрической форме. | ||
+ | |||
+ | **Домашнее задание**: | ||
+ | |||
+ | 1)3.6 (в,г,д) | ||
+ | |||
+ | 2) 20.1 (б,г,к), 20.3 (а), 20.4 (а), 21.1 (г, | ||
+ | ---- | ||
+ | === 26 ноября 2019 === | ||
+ | |||
+ | == Лекция 13 == | ||
+ | |||
+ | 1) Группы. | ||
+ | |||
+ | 2) Изоморфизм групп. Свойства изоморфизма. Утверждение об изоморфизме циклических групп одинакового порядка. | ||
+ | |||
+ | 3) Определение гомоморфизма групп. Примеры. Свойства. | ||
+ | |||
+ | 4) Смежные классы. Примеры. Свойства. Теорема Лагранжа. Следствие о том, что порядок элемента делит порядок конечной группы. Следствия о цикличности группы простого порядка и о подгруппах группы простого порядка. | ||
+ | |||
+ | 5) Теорема о подгруппах циклической группы (б/д). | ||
+ | |||
+ | == Семинар == | ||
+ | |||
+ | 1) Подгруппы. | ||
+ | |||
+ | 2) Циклические подгруппы. Порядок элемента. | ||
+ | |||
+ | 3) Изоморфизм групп. | ||
+ | |||
+ | 4) Определение гомоморфизма групп. | ||
+ | |||
+ | **Домашнее задание**: | ||
+ | |||
+ | 1) 56.1 (а,б) | ||
+ | |||
+ | 2) 56.3 (а, | ||
+ | |||
+ | 3) 55.22 ★, 55.38 ★, 55.20, 55.21 | ||
+ | |||
+ | 4) 55.17, 55.18 | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | === 3 декабря 2019 === | ||
+ | |||
+ | == Лекция 14 == | ||
+ | |||
+ | 1) Нормальные подгруппы. Факторгруппы. | ||
+ | |||
+ | 2) Гомоморфизмы. Ядро и образ. Теорема о гомоморфизме. | ||
+ | |||
+ | == Семинар == | ||
+ | |||
+ | Охрана попросила эвакуироваться. | ||
+ | |||
+ | **Домашнее задание: | ||
+ | ---- | ||
+ | === 10 декабря 2019 === | ||
+ | |||
+ | == Лекция 15 == | ||
+ | |||
+ | 1) Определение кольца. Определение коммутативного (ассоциативного, | ||
+ | Простейшие свойства. Определение обратимых элементов и делителей нуля. Простейшие свойства. | ||
+ | Определение поля. Примеры. В поле нет делителей нуля. | ||
+ | |||
+ | 2) Кольцо вычетов по модулю n. Утверждение о том, когда кольцо вычетов по модулю n является полем. | ||
+ | |||
+ | 3) Мультипликативная группа ассоциативного кольца с единицей. Малая теорема Ферма. | ||
+ | |||
+ | 4) Определение характеристики поля. Свойство характеристики. | ||
+ | |||
+ | 5) Кольцо многочленов от одной переменной над полем. Степень многочлена. Отсутствие делителей нуля и обратимые элементы в кольце многочленов над полем. | ||
+ | |||
+ | 6) Деление с остатком в кольце многочленов над полем. Существование наибольшего общего делителя в кольце многочленов от одной переменной над полем (и в кольце целых чисел) и его представление в виде НОД(f, | ||
+ | |||
+ | == Семинар == | ||
+ | |||
+ | 1) Определение кольца и поля. Делители нуля и обратимые элементы. | ||
+ | |||
+ | 2) Деление с остатком в кольце многочленов над полем. Существование наибольшего общего делителя в кольце многочленов от одной переменной над полем (и в кольце целых чисел) и его представление в виде НОД(f, | ||
+ | |||
+ | **Домашнее задание: | ||
+ | |||
+ | 1) 63.1 (а-ж), 63.3 (а,б), ★63.13 | ||
+ | |||
+ | 2) 25.1, 25.3, 25.7 (а,б) | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | === 16 декабря 2019 === | ||
+ | |||
+ | Дополнительное занятие | ||
+ | |||
+ | == Лекция 16 == | ||
+ | |||
+ | 1) Многочлены как функции. Разные многочлены над бесконечным полем задают разные функции. | ||
+ | |||
+ | 2) Теорема Безу. Схема Горнера. Корни многочлена, | ||
+ | |||
+ | 3) Формальная производная многочлена от одной переменной. Кратные корни. Понижение кратно¬сти при дифференцировании многочленов над полем характеристики 0. | ||
+ | |||
+ | 4) Теорема об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел (основная теорема алгебры) (б/д). Следствия. Комплексные корни многочленов с вещественными коэффициентами. Разложение многочлена с вещественными коэффициентами на линейные множители и квадратичные множители с отрицательным дискриминантом. | ||
+ | |||
+ | 5) Неприводимые многочлены. Неприводимые многочлены над полем комплексных и полем действительных чисел. Факториальность кольца многочленов от одной переменной над полем. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | == Семинар == | ||
+ | |||
+ | 1) Многочлены как функции. Корни многочлена, | ||
+ | |||
+ | 2) Неприводимые многочлены. Неприводимые многочлены над полем комплексных и полем действительных чисел. Разложение многочлена с комплексными коэффициентами на линейные множители. Разложение многочлена с вещественными коэффициентами на линейные множители и квадратичные множители с отрицательным дискриминантом. | ||
+ | |||
+ | 3) Примеры неприводимых многочленов над конечными полями. Разложение на неприводимые над полем вычетов. | ||
+ | |||
+ | **Домашнее задание: | ||
+ | |||
+ | 1) 26.1 (в), 26.2 (в), 26.3 (б), 26.6 | ||
+ | |||
+ | 2) 27.1 (б,в), 27.2 (б), | ||
+ | |||
+ | 3) 28.22 (а, | ||
+ | |||
+ | 4) многочлены над полем рациональных чисел: 28.1, 28.2, 28.6, 28.8, 28.9 (б) | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | === 17 декабря 2019 === | ||
+ | |||
+ | |||
+ | == Лекция 17 == | ||
+ | |||
+ | 1) Кратные неприводимые множители. Отделение кратных множителей. | ||
+ | |||
+ | 2) Поле частных. Поле рациональных функций. Простейшие и правильные дроби. Примеры. Теорема о разложении правильной дроби в сумму простейших дробей (б/д). | ||
+ | |||
+ | 3) Кольцо многочленов от нескольких переменных. Степень многочлена от нескольких переменных. Одночлены. Однородные многочлены. Лексикографический порядок. Старший член многочлена. Лемма о старшем члене произведения многочленов. | ||
+ | |||
+ | Симметрические многочлены. Лемма о старшем члене симметрического многочлена. Элементарные симметрические многочлены. Лемма об одночлене от симметрических многочленов. | ||
+ | Теорема о симметрических многочленах (б/д). Формулы Виета. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | == Семинар == | ||
+ | |||
+ | 1) Кратные неприводимые множители. Отделение кратных множителей. | ||
+ | |||
+ | 2) Поле рациональных функций. Простейшие и правильные дроби. Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей. | ||
+ | |||
+ | 3) Кольцо многочленов от нескольких переменных. Лексикографический порядок. Старший член многочлена. | ||
+ | Симметрические многочлены. Элементарные симметрические многочлены. Представление симметрического многочлена в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов. | ||
+ | |||
+ | 4) Формулы Виета. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | **Домашнее задание: | ||
+ | |||
+ | 1) 25.8 (а) | ||
+ | |||
+ | 2) 29.1 (в,г,и), 29.2 (в,г), ★(д,е), ★29.3 | ||
+ | |||
+ | 3) 31.9 (б), 31.10 (б) | ||
+ | |||
+ | 4) 31.1 (б), 31.2 (б), 31.21 (б) | ||
+ | |||
---- | ---- | ||
+ | {{: |