Кафедра высшей алгебры

Вы посетили:



      

Различия

Здесь показаны различия между выбранной ревизией и текущей версией данной страницы.

алгебра_1_курс_вечерники_осень_2019 [11.09.2019 11:42]
kulikova
алгебра_1_курс_вечерники_осень_2019 [18.12.2019 21:26] (текущий)
kulikova
Строка 23: Строка 23:
    - Сборник задач по алгебре под ред. А.И.Кострикина.  Часть I. Основы алгебры.     - Сборник задач по алгебре под ред. А.И.Кострикина.  Часть I. Основы алгебры.
-Нумерация задач даётся по «Сборнику задач по алгебре» под ред. А.И.Кострикина, 3-е изд., Москва, Физматлит, 2001. Дополнительные задачи помечены знаком ★. +Нумерация задач даётся по «Сборнику задач по алгебре» под ред. А.И.Кострикина, 3-е изд., Москва, Физматлит, 2015. Дополнительные задачи помечены знаком ★.
---- ----
=== 3 сентября 2019 === === 3 сентября 2019 ===
Строка 59: Строка 59:
1) Метод Гаусса решения СЛАУ. СЛАУ с параметром. 1) Метод Гаусса решения СЛАУ. СЛАУ с параметром.
-2)Векторное пространство: проверка аксиом. Проверка системы векторов на линейную зависимость.+2) Векторное пространство: проверка аксиом. Проверка системы векторов на линейную зависимость.
**Домашнее задание**: **Домашнее задание**:
Строка 79: Строка 79:
== Лекция 3 == == Лекция 3 ==
 +1) Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем.
 +
 +2) Определение векторного подпространства. Примеры.
 +
 +3) Линейная оболочка системы векторов. Определение множества, порождающего векторное пространство.
 +Основная лемма о линейной зависимости.
 +
 +4) Определение базиса. Свойства. Всякое конечномерное векторное подпространство обладает базисом. Все базисы конечномерного векторного пространства содержат одно и то же число векторов.
 +Определение размерности векторного пространства. Примеры.
 +
 +Всякую линейно независимую систему векторов конечномерного векторного пространства можно дополнить до базиса.
 +
== Семинар == == Семинар ==
 +
 +Определение векторного пространства.
 +
 +Базис системы векторов.
 +
 +**Домашнее задание**:
 +
 +1) Доказать Лемму 1 и Лемму 2.
 +
 +2) 6.10 (а,б), 6.11
 +
 +----
 +
 +=== 24 сентября 2019 ===
 +
 +== Лекция 4 ==
 +
 +Определение ранга системы векторов. Определение ранга матрицы как ранга системы ее строк. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях над строками. Ранг матрицы ступенчатого вида равен числу ее ненулевых строк.
 +
 +Критерий совместности и определенности СЛАУ в терминах рангов матриц (теорема Кронекера-Капелли).
 +
 +Ранг системы столбцов матрицы не меняется при элементарных преобразованиях над строками. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях над столбцами. Ранг системы строк матрицы равен рангу системы ее столбцов.
 +
 +== Семинар ==
 +
 +Алгоритм нахождения базиса и ранга конечной системы векторов и линейных выражений всех векторов системы через найденный базис.
 +
 +Алгоритм нахождения базиса и размерности линейной оболочки.
 +
 +Ранг матрицы.
 +
 +**Домашнее задание**: 6.12 (б,г,д), 6.10 (б,д), 6.13, 35.11, 7.1 (б,к,л) (решить методом ЭП), 7.2 (д,е,з), 7.3, 7.5
 +----
 +
 +=== 1 октября 2019 ===
 +
 +== Лекция 5 ==
 +1)Однородные СЛАУ. Свойства решений однородной СЛАУ. Подпространство решений однородной СЛАУ и его базис (ФСР). Теорема о размерности подпространства решений однородной СЛАУ. Связь между множествами решений совместной системы линейных уравнений и соответствующей системы однородных линейных уравнений.
 +
 +2) Определение перестановки из n элементов. Инверсии и знак перестановки.
 +== Семинар ==
 +1) Нахождение ФСР однородной СЛАУ. Связь между множествами решений совместной системы линейных уравнений и соответствующей системы однородных линейных уравнений.
 +
 +2) Перестановки. Инверсии. Знак перестановки.
**Домашнее задание**: **Домашнее задание**:
 +
 +1) 8.4 (в,г), 8.1 (в,г), ★7.19, ★8.25
 +
 +2) 3.5 (б,в,г,д)
 +
 +----
 +
 +
 +=== 8 октября 2019 ===
 +
 +== Лекция 6 ==
 +1)Свойства перестановок.
 +
 +2) Формула полного разложения определителя. Примеры определителя 2-го и 3-го порядка. Определитель треугольной матрицы.
 +
 +3) Определитель как полилинейная кососимметрическая функция. Элементарные преобразования над строками определителя. Вычисление определителя посредством приведения к треугольному виду.
 +
 +== Семинар ==
 +
 +1) Задачи на формулу полного разложения определителя.
 +
 +2) Свойства определителя. Метод Гаусса вычисления определителей.
 +
 +**Домашнее задание**:  10.2, 10.4 г,д, 10.6, 11.1, 11.2, 11.3, 13.1 б.е, 13.2 а, б, з.
 +----
 +=== 15 октября 2019 ===
 +
 +== Лекция 7 ==
 +
 +Определитель транспонированной матрицы. К какому виду можно привести матрицу с помощью элементарных преобразований, если определитель матрицы равен нулю (отличен от нуля)? Определитель матрицы с углом нулей. Разложение определителя по строке (столбцу). Фальшивое разложение. Определитель Вандермонда.
 +
 +== Семинар ==
 +
 +Определители. Разложение по строке (по столбцу). Рекуррентные соотношения.
 +
 +**Домашнее задание**:  12.2, 12.3 д,и, 14.1 г-ж, 4.1, 4.2 б
 +----
 +=== 22 октября 2019 ===
 +
 +== Лекция 8 ==
 +1) Умножение матриц, свойства. Транспонирование матриц, свойства.
 +
 +2)  Связь операций над матрицами и ранга. Ранг суммы матриц. Ранг произведения матриц.
 +== Семинар ==
 +1) Умножение матриц, свойства. Транспонирование матриц, свойства.
 +
 +2)  Связь операций над матрицами и ранга. Ранг суммы матриц. Ранг произведения матриц.
 +
 +**Домашнее задание**: 17.1 в,ж, 17.2 б, 17.4 а, 17.5а, 7.7, 7.10, 7.11, 7.12,
 +----
 +=== 29 октября 2019 ===
 +
 +== Лекция 9 ==
 +1) Элементарные матрицы, их связь с элементарными преобразованиями над строками и столбцами матрицы.
 +
 +2) Определитель произведения матриц.
 +
 +3) Критерий равенства определителя нулю. Теорема о ранге матрицы (характеризация матрицы в терминах миноров).
 +
 +4) Обратные матрицы. Определение. Критерий существования обратной матрицы. Обоснование метода элементарных преобразований для нахождения обратной матрицы.
 +== Семинар ==
 +1) Определитель произведения матриц.
 +
 +2) Метод окаймляющих миноров.
 +
 +3) Обратные матрицы.
 +
 +**Домашнее задание**:
 +
 +1) 15.1, 15.2 (а, б, в),
 +
 +2) 7.1 (б,з,к) (решить методом окаймляющих миноров),
 +
 +3) 18.8 (г,ж,з,л), 18.9 (е,ж,л), 18.10 (б), ★18.17, 18.18, ★17.26
 +----
 +=== 5 ноября 2019 ===
 +
 +== Лекция 10 ==
 +1) Матричные уравнения. Правило Крамера.
 +
 +2) Бинарные операции. Определение коммутативности, ассоциативности бинарной операции, нейтрального
 +элемента, обратного элемента, обратимого элемента. Примеры. Утверждение об единственности нейтрального элемента. Утверждение об единственности обратного элемента. Определение группоида, полугруппы, моноида, группы. Примеры.
 +
 +== Семинар ==
 +1) Матричные уравнения. Правило Крамера.
 +
 +2) Бинарные операции. Определение коммутативности, ассоциативности бинарной операции, нейтрального
 +элемента, обратного элемента, обратимого элемента. Определение группоида, полугруппы, моноида, группы.
 +
 +**Домашнее задание**:
 +
 +1) 18.3 (а,д,в,г,з,и), 8.6 (б, д)
 +
 +2) 54.1(д), 54.3, 55.1, 55.5, 55.6
 +
 +----
 +=== 12 ноября 2019 ===
 +
 +== Лекция 11 ==
 +Группа преобразований. Группа подстановок (операции над подстановками, разложение на независимые циклы, разложение в виде произведения транспозиций)
 +
 +== Семинар ==
 +
 +__ Контрольная работа по темам: __
 +
 +1) Однородные и неоднородные СЛАУ.
 +
 +2) Ранг системы векторов. Ранг матрицы.
 +
 +3) Определители.
 +
 +4) Обратные матрицы.
 +
 +5) Матричные уравнения.
 +
 +
 +**Домашнее задание**:
 +----
 +=== 19 ноября 2019 ===
 +
 +== Лекция 12 ==
 +1)Группа подстановок. Умножение на транспозицию. Доказательство утверждения о разложении подстановки в виде произведения транспозиций. Четность. Свойства.
 +
 +2) Комплексные числа. Операции в алгебраической форме. Свойства. Операции в тригонометрической форме.
 +Утверждение о произведении и делении в тригонометрической форме. Следствие о возведении в степень.
 +Утверждение об извлечении корня из ненулевого комплексного числа.
 +
 +== Семинар ==
 +
 +1) Четность подстановок.
 +
 +2) Комплексные числа. Операции в алгебраической форме. Операции в тригонометрической форме.
 +
 +**Домашнее задание**:
 +
 +1)3.6 (в,г,д)
 +
 +2) 20.1 (б,г,к), 20.3 (а), 20.4 (а), 21.1 (г,и,ф,х), 21.2 (а,б,ж), 22.7 (б,в,п), 23.1 (а), 23.2 (а,в)  
 +----
 +=== 26 ноября 2019 ===
 +
 +== Лекция 13 ==
 +
 +1) Группы.  Порядок группы. Подгруппы. Примеры. Циклические подгруппы. Порядок элемента. Свойства порядка элемента. Порождающее множество.
 +
 +2) Изоморфизм групп. Свойства изоморфизма. Утверждение об изоморфизме циклических групп одинакового порядка.
 +
 +3) Определение гомоморфизма групп. Примеры. Свойства.
 +
 +4) Смежные классы. Примеры. Свойства. Теорема Лагранжа. Следствие о том, что порядок элемента делит порядок конечной группы. Следствия о цикличности группы простого порядка и о подгруппах группы простого порядка.
 +
 +5) Теорема о подгруппах циклической группы (б/д).
 +
 +== Семинар ==
 +
 +1) Подгруппы.
 +
 +2) Циклические подгруппы. Порядок элемента.
 +
 +3) Изоморфизм групп.
 +
 +4) Определение гомоморфизма групп.
 +
 +**Домашнее задание**:
 +
 +1) 56.1 (а,б)
 +
 +2) 56.3 (а,г,д,ж), 56.6, 56.8, 56.11, 56.12, 56.14, 56.15 (а), 56.16 (а)
 +
 +3) 55.22 ★, 55.38 ★, 55.20, 55.21
 +
 +4) 55.17, 55.18
 +
 +----
 +=== 3 декабря 2019 ===
 +
 +== Лекция 14 ==
 +
 +1) Нормальные подгруппы. Факторгруппы.
 +
 +2) Гомоморфизмы. Ядро и образ. Теорема о гомоморфизме.
 +
 +== Семинар ==
 +
 +Охрана попросила эвакуироваться.
 +
 +**Домашнее задание:** 1) 58.1 (в,г), 58.2; 2) 58.33 (а, б, в)
 +----
 +=== 10 декабря 2019 ===
 +
 +== Лекция 15 ==
 +
 +1) Определение кольца. Определение коммутативного (ассоциативного, с единицей) кольца. Примеры.
 +Простейшие свойства. Определение обратимых элементов и делителей нуля. Простейшие свойства.
 +Определение поля. Примеры. В поле нет делителей нуля.
 +
 +2) Кольцо вычетов по модулю n. Утверждение о том, когда кольцо вычетов по модулю n является полем.
 +
 +3) Мультипликативная группа ассоциативного кольца с единицей. Малая теорема Ферма.
 +
 +4) Определение характеристики поля. Свойство характеристики.
 +
 +5) Кольцо многочленов от одной переменной над полем. Степень многочлена. Отсутствие делителей нуля и обратимые элементы в кольце многочленов над полем.
 +
 +6) Деление с остатком в кольце многочленов над полем. Существование наибольшего общего делителя в кольце многочленов от одной переменной над полем (и в кольце целых чисел) и его представление в виде НОД(f,g)=fu+gv (алгоритм Евклида).
 +
 +== Семинар ==
 +
 +1) Определение кольца и поля. Делители нуля и обратимые элементы.
 +
 +2) Деление с остатком в кольце многочленов над полем. Существование наибольшего общего делителя в кольце многочленов от одной переменной над полем (и в кольце целых чисел) и его представление в виде НОД(f,g)=fu+gv (алгоритм Евклида).
 +
 +**Домашнее задание:**
 +
 +1) 63.1 (а-ж), 63.3 (а,б), ★63.13
 +
 +2) 25.1, 25.3, 25.7 (а,б)
 +
 +----
 +=== 16 декабря 2019 ===
 +
 +Дополнительное занятие
 +
 +== Лекция 16 ==
 +
 +1) Многочлены как функции. Разные многочлены над бесконечным полем задают разные функции.
 +
 +2) Теорема Безу. Схема Горнера. Корни многочлена, кратность корня. Следствие из теоремы Безу. Число корней многочлена.
 +
 +3) Формальная производная многочлена от одной переменной. Кратные корни. Понижение кратно¬сти при дифференцировании многочленов над полем характеристики 0.  
 +
 +4) Теорема об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел (основная теорема алгебры) (б/д). Следствия. Комплексные корни многочленов с вещественными коэффициентами. Разложение многочлена с вещественными коэффициентами на линейные множители и квадратичные множители с отрицательным дискриминантом.
 +
 +5) Неприводимые многочлены. Неприводимые многочлены над полем комплексных и полем действительных чисел. Факториальность кольца многочленов от одной переменной над полем.
 +
 +
 +== Семинар ==
 +
 +1) Многочлены как функции. Корни многочлена, кратность корня. Теорема Безу, следствие о корнях. Схема Горнера.  Формальная производная многочлена от одной переменной. Определение кратности корней многочленов над полем характеристики 0 путем дифференцирования.  
 +
 +2) Неприводимые многочлены. Неприводимые многочлены над полем комплексных и полем действительных чисел. Разложение многочлена с комплексными коэффициентами на линейные множители. Разложение многочлена с вещественными коэффициентами на линейные множители и квадратичные множители с отрицательным дискриминантом.
 +
 +3) Примеры неприводимых многочленов над конечными полями. Разложение на неприводимые над полем вычетов.
 +
 +**Домашнее задание:**
 +
 +1) 26.1 (в), 26.2 (в), 26.3 (б), 26.6
 +
 +2) 27.1 (б,в), 27.2 (б),
 +
 +3) 28.22 (а,б),
 +
 +4) многочлены над полем рациональных чисел: 28.1, 28.2, 28.6, 28.8, 28.9 (б)
 +
 +----
 +=== 17 декабря 2019 ===
 +
 +
 +== Лекция 17 ==
 +
 +1) Кратные неприводимые множители. Отделение кратных множителей.
 +
 +2)  Поле частных. Поле рациональных функций. Простейшие и правильные дроби. Примеры. Теорема о разложении правильной дроби в сумму простейших дробей (б/д).
 +
 +3) Кольцо многочленов от нескольких переменных. Степень многочлена от нескольких переменных. Одночлены. Однородные многочлены. Лексикографический порядок. Старший член многочлена. Лемма о старшем члене произведения многочленов.
 +
 +Симметрические многочлены. Лемма о старшем члене симметрического многочлена. Элементарные симметрические многочлены. Лемма об одночлене от симметрических многочленов.
 +Теорема о симметрических многочленах (б/д). Формулы Виета.
 +
 +
 +== Семинар ==
 +
 +1) Кратные неприводимые множители. Отделение кратных множителей.
 +
 +2) Поле рациональных функций. Простейшие и правильные дроби. Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей.
 +
 +3) Кольцо многочленов от нескольких переменных. Лексикографический порядок. Старший член многочлена.
 +Симметрические многочлены. Элементарные симметрические многочлены. Представление симметрического многочлена в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов.
 +
 +4) Формулы Виета.
 +
 +
 +**Домашнее задание:**
 +
 +1) 25.8 (а)
 +
 +2) 29.1 (в,г,и), 29.2 (в,г), ★(д,е), ★29.3
 +
 +3) 31.9 (б), 31.10 (б)
 +
 +4) 31.1 (б), 31.2 (б), 31.21 (б)
 +
---- ----
 +{{:вопрэкз_алгебра_1квечотд_2019_.pdf|Вопросы к экзамену}}