Преподаватель: Куликова О.В.
Занятия проходят дистанционно по вторникам в 18:30
Литература
- А.И. Кострикин. Введение в алгебру.
- Часть I. Основы алгебры. Глава 4.
- Часть III. Основные структуры алгебры.
- Э.Б. Винберг. Курс алгебры. Главы 1, 4, 9–11.
Нумерация задач даётся по «Сборнику задач по алгебре» под ред. А.И.Кострикина, 3-е изд., Москва, Физматлит, 2015.
Дополнительные задачи помечены знаком ★.
Занятие №1 (1 сентября 2020)
1) Определение группы и подгруппы. Циклические подгруппы.
2) Порядок группы, порядок элемента.
3) Гомоморфизм. Изоморфизм групп. Группа автоморфизмов.
Домашнее задание:
1) 55.5 (л), 55.6 (р,с,т), 56.32 (б, в),
• доказать, что множество G с ассоциативной операцией, в котором есть правая единица (элемент e со свойством g·e=g, ∀g∈G) и правый обратный для каждого g∈G (элемент g' со свойством g·g'=e), является группой;
2) 56.3 (без а, в), 56.11, 56.28,
3) 55.17, 58.28, 55.26
• доказать, что любая группа порядка 4 изоморфна либо Z_4 либо V_4;
• ★ доказать, что любая группа порядка 6 изоморфна либо Z_6 либо S_3.
Занятие №2 (8 сентября 2020)
https://us02web.zoom.us/rec/share/oMMnZtC006j6G_oPoKYnSM3h5rgKNFt35JMN0FKkg6uRgXlbS14RLwM7fNFzVBN1.txsrjzcphZtFse-f (Код доступа: 8Ujwvf%z)
1) Гомоморфизм. Изоморфизм групп.
Упр. Перечислить с точностью до изоморфизма все группы порядка не более 7.
2) Группа автоморфизмов.
Домашнее задание:
1) 55.17, 58.28 (в,г,д), 55.26
• доказать, что любая группа порядка 4 изоморфна либо Z_4 либо V_4;
• ★ доказать, что любая группа порядка 6 изоморфна либо Z_6 либо S_3.
2) 55.32 (б,в,г)
Занятие №3 (15 сентября 2020)
https://us02web.zoom.us/rec/share/qdEMSgNkOaCHzRbftraCjICH_hSX88ZveQu-Vlp4Nt6kWLtYalIgYyEE6TWQraa8.7tXxX4tRafTA5DBK (Код доступа: Tu&778rj)
1) Смежные классы. Теорема Лагранжа и ее следствия.
2) Нормальные подгруппы
3) Факторгруппы. Ядро, образ гомоморфизма и их свойства. Теорема о гомоморфизме. Канонический гомоморфизм. Нормальные подгруппы=ядра гомоморфизмов.
Домашнее задание:
1) 56.37 (е-к)
2) 58.1 (в,г), 58.2, 58.5, 58.11 (а)
3) 58.30, 58.32, 58.33
Занятие №4 (22 сентября 2020)
https://us02web.zoom.us/rec/share/n8r405yrXoZll1Q7zGI3o4Cnjp6YoJnMNKfee9wjodwtBP04lBZvy9ocWWynaqsE.JAQ-qH5HlPhUHyzu (Код доступа: 2NLT4#%@)
1) Циклические группы. Свойства. Подгруппы циклических групп.
2) Прямые произведения групп
Домашнее задание:
1) 56.16 (а,б,в), 56.29, 56.27
2) 60.2 (а), 60.5 (в), 60.13, 60.45 (а,б)
Занятие №5 (29 сентября 2020)
https://cloud.mail.ru/public/4fS2/emivm4y9K
1) Прямые произведения групп (продолжение)
2) Конечно порожденные абелевы группы. Базис. Ранг.
Домашнее задание:
1) 60.2 (б,в,г)
Занятие №6 (6 октября 2020)
https://cloud.mail.ru/public/3X8W/3oqvZoNPH
Подгруппы свободной абелевой группы. Разложение в прямую сумму циклических.
Домашнее задание: 60.52 (б,в, г, з), 60.53, 60.54
Занятие №7 (13 октября 2020)
https://cloud.mail.ru/public/2a38/2gRdaT44b
1) Основная теорема о конечно порожденных абелевых группах.
2)Мультипликативная группа конечного поля.
3) Hom (A,B). End A.
Домашнее задание:
1) 60.39 (г,д,е), 60.40, 60.41, 60.42 (а,в,г), 60.44 (б,в), 60.43 (б),
3) 60.20, 60.24 (б)
Занятие №8 (20 октября 2020)
https://cloud.mail.ru/public/3Gp1/27YrRmzor
1) Aut G. Int G. Out G. Центр.
2) Определение действия группы на множестве. Орбиты.
Домашнее задание:
0) задачи из ДЗ занятия №7
1) 58.24 (б,в,ж)
2) Найти орбиты: 57.1 (в,г), 57.3, 57.9 (б,в), 57.15 (а)
Занятие №9 (27 октября 2020)
https://cloud.mail.ru/public/2GZJ/4sqY1vMk5
1) Действия группы на множестве. Орбиты и стабилизатор. Действие группы на себе левыми сдвигами, правыми сдвигами, сопряжением.
2) Классы сопряженности. Классы сопряженности в S_n
Домашнее задание:
1) 57.1 (г)+57.2(б), 57.3, 57.9 (б,в), 57.15 (а), 57.12 (в), 57.13 (в), 55.34 (б,в)
2) 57.30 (б,в), 57.32 (б), 57.35 (б,в,г), 58.4(б,в), 58.11 (б), 58.12+58.20(в), 58.7
Занятие №10 (3 ноября 2020)
https://cloud.mail.ru/public/3rrX/3f4cTCqfj
1) Централизатор элемента
2) Нормализатор подгруппы
3) Действие группы на множестве смежных классов по подгруппе. Подгруппа, индекс которой наименьший простой делитель порядка группы, нормальна.
4) Центр р-группы. Группа порядка р^2 абелева
5) Силовские р-группы. Определение.
Домашнее задание:
1) 57.23(б), 57.24(б,в,г), 57.25, 57.28, 57.31(б,в)
2) 57.38
3) 57.21(б)
5) 59.3(б), 59.5, 59.9, 59.10
Занятие №11 (10 ноября 2020)
https://cloud.mail.ru/public/KQsa/5xqNTWSB4
https://cloud.mail.ru/public/5ta7/4p5x5TYAD
1) Силовские р-группы. Теоремы Силова.
2) Определение простой группы.
Домашнее задание:
1) 59.20 (б,в), 59.19, 59.23
2) 59.22
Занятие №12 (17 ноября 2020)
https://cloud.mail.ru/public/3iiF/4Cz17g5KN
https://cloud.mail.ru/public/33LG/V2FkRGkJS
Коммутант. Разрешимые группы
Домашнее задание: 62.1 (б,в), 62.7(г), 62.8 (б), 62.9, 62.12 (г,д)
Занятие №13 (25 ноября 2020)
Разрешимые группы. Простые группы
https://cloud.mail.ru/public/5faN/3zHjghCdh
Домашнее задание: 62.18 (в,г,д,е)
Занятие №14 (1 декабря 2020)
Линейные и матричные представления. Инвариантные подпространства. Неприводимые представления
https://cloud.mail.ru/public/2XDQ/5kny3V3gz
Домашнее задание: 69.4 (б-е), 69.5 (ж,з,и), 69.7, 69.8, 69.9,69.13, 69.14, 69.15
Занятие №15 (8 декабря 2020)
Линейные и матричные представления. Сумма линейных представлений. Мономиальное представление. Лемма Шура. Одномерные комплексные представления конечных групп. Определение вполне приводимых представлений
https://cloud.mail.ru/public/3NAV/3eE8wPg3n
Домашнее задание: 69.2,70.2(д,ж,з), 70.6-9, 70.15
Занятие №16 (15 декабря 2020)
Вполне приводимые представления. Ортогональность (унитарность) и приводимость. Теорема Машке. Количество и размерность неприводимых представлений конечных групп, регулярные представления (теоремы без доказательств). Характеры представлений (обзорно)
https://cloud.mail.ru/public/3ope/3vbwoLxid
https://cloud.mail.ru/public/4Hmd/2ght6LQ89
Домашнее задание: 69.12, 70.10 (в), 70.34 (в,г,д), 70.37, 70.35 (в,г), 72.3, 72.25 (д), 72.28 (в)
Темы задач на зачете. Задачи для подготовки
1) Группа. Подгруппа. Порядок элемента. Классы смежности. Изоморфизм групп
55.1, 55.5, 55.6, 56.3, 55.26, 56.37
2) Гомоморфизмы. Нормальные подгруппы. Факторгруппы
55.17, 58.27, 58.28, 58.1, 58.2, 58.30, 58.32, 58.33,
3) Циклические группы. Конечно порожденные абелевы группы.
60.5, 60.42, 60.43, 60.45, 60.52
4) Действие группы на множестве. Орбиты. Стабилизатор
57.1, 57.2, 57.3, 57.9, 57.12, 57.15
5) Классы сопряженности. Централизатор элемента. Центр.
56.35, 58.24, 57.30, 57.32, 57.35, 58.4, 58.11, 57.23, 57.24, 57.25, 57.28
6) Силовские подгруппы. Теоремы Силова.
59.1, 59.3, 59.4, 59.9, 59.20, 59.19
7) Простые группы.
59.22
8) Коммутант. Разрешимые группы
62.1, 62.7, 62.18
9) Представления групп. Подпространства, инвариантные относительно линейных представления. Неприводимые и вполне приводимые представления. Эквивалентность представлений.
69.1,69.2,69.4, 69.5, 69.7, 69.8, 69.9, 69.13, 69.14, 69.15
10) Представления конечных групп. Описать неприводимые представления конечной группы. Представления конечных абелевых групп. Количество неприводимых представлений.
70.2, 70.15, 70.10, 70.34 (а-г), 70.37,