1. А.И. Кострикин. Введение в алгебру.
   • Часть I. Основы алгебры. Глава 4.
   • Часть III. Основные структуры алгебры.
2. Э.Б. Винберг. Курс алгебры. Главы 1, 4, 9–11.

Нумерация задач даётся по «Сборнику задач по алгебре» под ред. А.И.Кострикина, 3-е изд., Москва, Физматлит, 2015.

Дополнительные задачи помечены знаком ★.

---

Занятие №1 (1 сентября 2020)

1) Определение группы и подгруппы. Циклические подгруппы.

2) Порядок группы, порядок элемента.

3) Гомоморфизм. Изоморфизм групп. Группа автоморфизмов.

Домашнее задание:

1) 55.5 (л), 55.6 (р,с,т), 56.32 (б, в),

• доказать, что множество G с ассоциативной операцией, в котором есть правая единица (элемент e со свойством g·e=g, ∀g∈G) и правый обратный для каждого g∈G (элемент g' со свойством g·g'=e), является группой;

2) 56.3 (без а, в), 56.11, 56.28,

3) 55.17, 58.28, 55.26

• доказать, что любая группа порядка 4 изоморфна либо Z_4 либо V_4;

• ★ доказать, что любая группа порядка 6 изоморфна либо Z_6 либо S_3.

---

Занятие №2 (8 сентября 2020)

https://us02web.zoom.us/rec/share/oMMnZtC006j6G_oPoKYnSM3h5rgKNFt35JMN0FKkg6uRgXlbS14RLwM7fNFzVBN1.txsrjzcphZtFse-f (Код доступа: 8Ujwvf%z)

1) Гомоморфизм. Изоморфизм групп.

Упр. Перечислить с точностью до изоморфизма все группы порядка не более 7.

2) Группа автоморфизмов.

Домашнее задание:

1) 55.17, 58.28 (в,г,д), 55.26

• доказать, что любая группа порядка 4 изоморфна либо Z_4 либо V_4;

• ★ доказать, что любая группа порядка 6 изоморфна либо Z_6 либо S_3.

2) 55.32 (б,в,г)

---

Занятие №3 (15 сентября 2020)

https://us02web.zoom.us/rec/share/qdEMSgNkOaCHzRbftraCjICH_hSX88ZveQu-Vlp4Nt6kWLtYalIgYyEE6TWQraa8.7tXxX4tRafTA5DBK (Код доступа: Tu&778rj)

1) Смежные классы. Теорема Лагранжа и ее следствия.

2) Нормальные подгруппы

3) Факторгруппы. Ядро, образ гомоморфизма и их свойства. Теорема о гомоморфизме. Канонический гомоморфизм. Нормальные подгруппы=ядра гомоморфизмов.

Домашнее задание:

1) 56.37 (е-к)

2) 58.1 (в,г), 58.2, 58.5, 58.11 (а)

3) 58.30, 58.32, 58.33

---

Занятие №4 (22 сентября 2020)

https://us02web.zoom.us/rec/share/n8r405yrXoZll1Q7zGI3o4Cnjp6YoJnMNKfee9wjodwtBP04lBZvy9ocWWynaqsE.JAQ-qH5HlPhUHyzu (Код доступа: 2NLT4#%@)

1) Циклические группы. Свойства. Подгруппы циклических групп.

2) Прямые произведения групп

Домашнее задание:

1) 56.16 (а,б,в), 56.29, 56.27

2) 60.2 (а), 60.5 (в), 60.13, 60.45 (а,б)

---

Занятие №5 (29 сентября 2020)

https://cloud.mail.ru/public/4fS2/emivm4y9K

1) Прямые произведения групп (продолжение)

2) Конечно порожденные абелевы группы. Базис. Ранг.

Домашнее задание:

1) 60.2 (б,в,г)

---

Занятие №6 (6 октября 2020)

https://cloud.mail.ru/public/3X8W/3oqvZoNPH

Подгруппы свободной абелевой группы. Разложение в прямую сумму циклических.

Домашнее задание: 60.52 (б,в, г, з), 60.53, 60.54

---

Занятие №7 (13 октября 2020)

https://cloud.mail.ru/public/2a38/2gRdaT44b

1) Основная теорема о конечно порожденных абелевых группах.

2)Мультипликативная группа конечного поля.

3) Hom (A,B). End A.

Домашнее задание:

1) 60.39 (г,д,е), 60.40, 60.41, 60.42 (а,в,г), 60.44 (б,в), 60.43 (б),

3) 60.20, 60.24 (б)

---

Занятие №8 (20 октября 2020)

https://cloud.mail.ru/public/3Gp1/27YrRmzor

1) Aut G. Int G. Out G. Центр.

2) Определение действия группы на множестве. Орбиты.

Домашнее задание:

0) задачи из ДЗ занятия №7

1) 58.24 (б,в,ж)

2) Найти орбиты: 57.1 (в,г), 57.3, 57.9 (б,в), 57.15 (а)

---

Занятие №9 (27 октября 2020)

https://cloud.mail.ru/public/2GZJ/4sqY1vMk5

1) Действия группы на множестве. Орбиты и стабилизатор. Действие группы на себе левыми сдвигами, правыми сдвигами, сопряжением.

2) Классы сопряженности. Классы сопряженности в S_n

Домашнее задание:

1) 57.1 (г)+57.2(б), 57.3, 57.9 (б,в), 57.15 (а), 57.12 (в), 57.13 (в), 55.34 (б,в)

2) 57.30 (б,в), 57.32 (б), 57.35 (б,в,г), 58.4(б,в), 58.11 (б), 58.12+58.20(в), 58.7

---

Занятие №10 (3 ноября 2020)

1) Централизатор элемента

2) Нормализатор подгруппы

3) Действие группы на множестве смежных классов по подгруппе. Подгруппа, индекс которой наименьший простой делитель порядка группы, нормальна.

4) Центр р-группы. Группа порядка р^2 абелева

5) Силовские р-группы. Определение.

Домашнее задание:

1) 57.23(б), 57.24(б,в,г), 57.25, 57.28, 57.31(б,в)

2) 57.38

3) 57.21(б)

5) 59.3(б), 59.5, 59.9, 59.10