Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- алгебра_2_курс_вечерники_осень_2021 [11.09.2021 15:20]
kulikova
+++ алгебра_2_курс_вечерники_осень_2021 [08.04.2025 16:43] (текущий)
@@ Строка 3: / Строка 3: @@
 **Преподаватель**: Куликова О.В.
-Занятия проходят по субботам с 09:00 до 12:35 в ауд. 16-04.
+{{:вопросы_к_экзамену_алгебра_1курсвеч.отд._2021_.pdf|Вопросы к экзамену}}
+Занятия проходят по субботам с 09:00 до 12:20 в ауд. 16-04, 15-03
 == Программа курса ==
@@ Строка 69: / Строка 71: @@
 ) 6.2 б, 6.3 б,д, 6.4, 6.7д, 6.8, 6.9 б,д
+----
+=== 18 сентября 2021 ===
+== Лекция 3 ==
+) Определение векторного подпространства. Примеры.
+) Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем.
+) Линейная оболочка системы векторов. Определение множества, порождающего векторное пространство.
+Основная лемма о линейной зависимости.
+) Определение базиса. Свойства. Всякое конечномерное векторное подпространство обладает базисом. Все базисы конечномерного векторного пространства содержат одно и то же число векторов.
+Определение размерности векторного пространства. Примеры.
+== Семинар ==
+Определение векторного пространства.
+**Домашнее задание**:
+) Доказать следствия из аксиом векторного пространства V над R:
+• единственность нулевого вектора,
+• единственность противоположного вектора,
+• λ0=0, λ(-x)=-λx, λ(x-y)=λx-λy, 0x=0, (-1)x=-x, (λ-µ)x=λx-µx, где x,y∈V, λ,µ∈R.
+) 6.8,  <del>6.10</del>
+----
+=== 25 сентября 2021 ===
+== Лекция 4 ==
+Всякую линейно независимую систему векторов конечномерного векторного пространства можно дополнить до базиса.
+Определение ранга системы векторов. Определение ранга матрицы как ранга системы ее строк. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях над строками. Ранг матрицы ступенчатого вида равен числу ее ненулевых строк.
+Ранг системы столбцов матрицы не меняется при элементарных преобразованиях над строками. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях над столбцами. Ранг системы строк матрицы равен рангу системы ее столбцов.
+== Семинар ==
+) Ранг матрицы.
+**Домашнее задание**:
+) 7.1 (б,к,л) (решить методом ЭП), 7.2 (д,е,з), 7.3, 7.5
+) 6.11
+----
+----
+=== 2 октября 2021 ===
+== Лекция 5 ==
+Критерий совместности и определенности СЛАУ в терминах рангов матриц (теорема Кронекера-Капелли)....
+Однородные СЛАУ. Свойства решений однородной СЛАУ. Подпространство решений однородной СЛАУ и его базис (ФСР). Теорема о размерности подпространства решений однородной СЛАУ. Связь между множествами решений совместной системы линейных уравнений и соответствующей системы однородных линейных уравнений.
+== Семинар ==
+) Алгоритм нахождения базиса и ранга конечной системы векторов и линейных выражений всех векторов системы через найденный базис.
+Алгоритм нахождения базиса и размерности линейной оболочки.
+) Нахождение ФСР однородной СЛАУ. Связь между множествами решений совместной системы линейных уравнений и соответствующей системы однородных линейных уравнений.
+**Домашнее задание**:
+) 6.12 (б,г,д), 6.10 (б,д), 6.13, 35.11
+) 8.4 (в,г), 8.1 (в,г), ★7.19, ★8.25
+----
+=== 9 октября 2021 ===
+== Лекция 6 ==
+)Определение перестановки из n элементов. Инверсии и знак перестановки. Свойства перестановок.
+) Формула полного разложения определителя. Примеры определителя 2-го и 3-го порядка. Определитель треугольной матрицы.
+) Определитель как полилинейная кососимметрическая функция. Элементарные преобразования над строками определителя. Вычисление определителя посредством приведения к треугольному виду.
+== Семинар ==
+) Перестановки. Инверсии. Знак перестановки.
+) Задачи на формулу полного разложения определителя.
+ Свойства определителя. Метод Гаусса вычисления определителей.
+**Домашнее задание**:
+)3.5 (б,в,г,д)
+) 10.2, 10.4 г,д, 10.6, 11.1, 11.2, 11.3, 13.1 б.е, 13.2 а, б, з.
+----
+=== 16 октября 2021 ===
+== Лекция 7 ==
+Определитель транспонированной матрицы. К какому виду можно привести матрицу с помощью элементарных преобразований, если определитель матрицы равен нулю (отличен от нуля)? Определитель матрицы с углом нулей. Разложение определителя по строке (столбцу). Фальшивое разложение. Определитель Вандермонда.
+== Семинар ==
+Определители. Разложение по строке (по столбцу). Рекуррентные соотношения.
+**Домашнее задание**:  12.2, 12.3 д,и, 14.1 г-ж, 4.1, 4.2 б
+----
+=== 23 октября 2021 ===
+== Лекция 8 ==
+) Умножение матриц, свойства. Транспонирование матриц, свойства.
+)  Связь операций над матрицами и ранга. Ранг суммы матриц. Ранг произведения матриц.
+== Семинар ==
+) Умножение матриц, свойства. Транспонирование матриц, свойства.
+)  Связь операций над матрицами и ранга. Ранг суммы матриц. Ранг произведения матриц.
+**Домашнее задание**: 17.1 в,ж, 17.2 б, 17.4 а, 17.5а, 7.7, 7.10, 7.11, 7.12,
+----
+----
+=== 30 октября 2021 ===
+== Лекция 9 ==
+) Элементарные матрицы, их связь с элементарными преобразованиями над строками и столбцами матрицы.
+) Определитель произведения матриц.
+) Критерий равенства определителя нулю. Теорема о ранге матрицы (характеризация ранга в терминах миноров).
+) Обратные матрицы. Определение. Свойства
+== Семинар ==
+) Определитель произведения матриц.
+) Метод окаймляющих миноров.
+) Обратные матрицы (определение).
+**Домашнее задание**:
+) 15.1, 15.2 (а, б, в),
+) 7.1 (б,з,к) (решить методом окаймляющих миноров),
+) 18.10 (б), ★18.17, 18.18
+----
+=== 6 ноября 2021 ===
+== Лекция 10 ==
+) Критерий существования обратной матрицы. Обоснование метода элементарных преобразований для нахождения обратной матрицы.
+) Матричные уравнения. Правило Крамера.
+== Семинар ==
+) Обратные матрицы. Методы вычислений.
+) Матричные уравнения. Правило Крамера.
+**Домашнее задание**:
+) 18.8 (г,ж,з,л), 18.9 (е,ж,л), 18.10 (б), ★17.26
+) 18.3 (а,д,в,г,з,и), 8.6 (б, д)
+----
+=== 13 ноября 2021 ===
+== Лекция 11 ==
+) Бинарные операции. Определение коммутативности, ассоциативности бинарной операции, нейтрального
+элемента, обратного элемента, обратимого элемента. Примеры. Утверждение об единственности нейтрального элемента. Утверждение об единственности обратного элемента. Определение группоида, полугруппы, моноида, группы. Примеры.
+) Группа преобразований. Группа подстановок (операции над подстановками)
+== Семинар ==
+) Бинарные операции. Определение коммутативности, ассоциативности бинарной операции, нейтрального
+элемента, обратного элемента, обратимого элемента. Определение группоида, полугруппы, моноида, группы.
+) Группа подстановок (операции над подстановками)
+**Домашнее задание**:
+) 54.1(в, г, д), 54.3, 55.1 (г,д,е)
+) 3.1
+----
+=== 20 ноября 2021 ===
+== Лекция 12 ==
+Группа подстановок. Разложение на независимые циклы. Свойства. Умножение на транспозицию. Доказательство утверждения о разложении подстановки в виде произведения транспозиций. Четность. Свойства.
+== Семинар ==
+Группа подстановок.
+**Домашнее задание**:
+.2, 3.3, 3.4, 3.6, 3.7, 3.8
+----
+=== 27 ноября 2021 ===
+== Лекция 13 ==
+) Определение кольца. Определение коммутативного (ассоциативного, с единицей) кольца. Примеры.
+Простейшие свойства. Определение обратимых элементов и делителей нуля. Простейшие свойства.
+Определение поля. Примеры. В поле нет делителей нуля.
+) Кольцо вычетов по модулю n. Утверждение о том, когда кольцо вычетов по модулю n является полем.
+) Мультипликативная группа ассоциативного кольца с единицей.
+) Определение характеристики поля. Свойство характеристики.
+== Семинар ==
+) Определение кольца и поля. Делители нуля и обратимые элементы.
+**Домашнее задание**:
+) 63.1 (а-ж), 63.3 (а,б), 63.13 ...
+----
+=== 4 декабря 2021 ===
+== Лекция 14 ==
+) Поле комплексных чисел. Операции в алгебраической форме. Свойства. Операции в тригонометрической форме.
+Утверждение о произведении и делении в тригонометрической форме. Следствие о возведении в степень.
+Утверждение об извлечении корня из ненулевого комплексного числа.
+== Семинар ==
+) Комплексные числа. Операции в алгебраической форме. Операции в тригонометрической форме.
+**Домашнее задание**:
+) 20.1 (б,г,к), 20.3 (а), 20.4 (а), 21.1 (г,и,ф,х), 21.2 (а,б,ж), 22.7 (б,в,п), 23.1 (б), 23.2 (б)
+----
+=== 11 декабря 2021 ===
+== Лекция 15 ==
+) Кольцо многочленов от одной переменной над полем. Степень многочлена. Отсутствие делителей нуля и обратимые элементы в кольце многочленов над полем.
+) Деление с остатком в кольце многочленов над полем. Существование наибольшего общего делителя в кольце многочленов от одной переменной над полем (и в кольце целых чисел) и его представление в виде НОД(f,g)=fu+gv (алгоритм Евклида).
+) Многочлены как функции. Разные многочлены над бесконечным полем задают разные функции.
+) Теорема Безу. Схема Горнера. Корни многочлена, кратность корня. Следствие из теоремы Безу. Число корней многочлена.
+) Формальная производная многочлена от одной переменной. Кратные корни. Понижение кратности при дифференцировании многочленов над полем характеристики 0.
+) Теорема об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел (основная теорема алгебры) (б/д). Следствия. Комплексные корни многочленов с вещественными коэффициентами. Разложение многочлена с вещественными коэффициентами на линейные множители и квадратичные множители с отрицательным дискриминантом.
+) Неприводимые многочлены. Неприводимые многочлены над полем комплексных и полем действительных чисел. Факториальность кольца многочленов от одной переменной над полем.
+== Семинар ==
+) Деление с остатком в кольце многочленов над полем. Существование наибольшего общего делителя в кольце многочленов от одной переменной над полем (и в кольце целых чисел) и его представление в виде НОД(f,g)=fu+gv (алгоритм Евклида).
+) Многочлены как функции. Корни многочлена, кратность корня. Теорема Безу, следствие о корнях. Схема Горнера.  Формальная производная многочлена от одной переменной. Определение кратности корней многочленов над полем характеристики 0 путем дифференцирования.
+) Неприводимые многочлены. Неприводимые многочлены над полем комплексных и полем действительных чисел. Разложение многочлена с комплексными коэффициентами на линейные множители. Разложение многочлена с вещественными коэффициентами на линейные множители и квадратичные множители с отрицательным дискриминантом.
+) Примеры неприводимых многочленов над конечными полями. Разложение на неприводимые над полем вычетов.
+**Домашнее задание**:
+) 25.1, 25.3, 25.7 (а,б)
+) 26.1 (в), 26.2 (в), 26.3 (б), 26.6
+) 27.1 (б,в), 27.2 (б),
+) 28.22 (а,б),
+) многочлены над полем рациональных чисел: 28.1, 28.2, 28.6, 28.8, 28.9 (б)
+----
+=== 18 декабря 2021 ===
+== Лекция 16 ==
+) Кратные неприводимые множители. Отделение кратных множителей.
+)  Поле частных. Поле рациональных функций. Простейшие и правильные дроби. Примеры. Теорема о разложении правильной дроби в сумму простейших дробей (б/д).
+) Кольцо многочленов от нескольких переменных. Степень многочлена от нескольких переменных. Одночлены. Однородные многочлены. Лексикографический порядок. Старший член многочлена. Лемма о старшем члене произведения многочленов.
+Симметрические многочлены. Лемма о старшем члене симметрического многочлена. Элементарные симметрические многочлены. Лемма об одночлене от симметрических многочленов.
+Теорема о симметрических многочленах (б/д). Формулы Виета.
+== Семинар ==
+) Кратные неприводимые множители. Отделение кратных множителей.
+) Поле рациональных функций. Простейшие и правильные дроби. Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей.
+) Кольцо многочленов от нескольких переменных. Лексикографический порядок. Старший член многочлена.
+Симметрические многочлены. Элементарные симметрические многочлены. Представление симметрического многочлена в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов.
+) Формулы Виета.
+**Домашнее задание**:
+) 25.8 (а)
+) 29.1 (в,г,и), 29.2 (в,г), ★(д,е), ★29.3
+) 31.9 (б), 31.10 (б)
+) 31.1 (б), 31.2 (б), 31.21 (б)
 ----