• Показать страницу
  • История страницы
  • Ссылки сюда

    • Различия

    Показаны различия между двумя версиями страницы.

    Ссылка на это сравнение

    Следующая версия     		Предыдущая версия
    алгебра_2_курс_вечерники_осень_2022 [03.01.2023 11:47]
    chubarov создано     		алгебра_2_курс_вечерники_осень_2022 [08.04.2025 16:43] (текущий)
    Строка 1: Строка 1:
     +
     +===Конспект лекций для ВСО2===
     +
     +{{:чубаров_и.а._алгебра_3_всо_2022.pdf|}}
     +
     +Набор и верстка в Tex М.С. Тимошик/
      
     == Экзаменационная программа для ВСО2 - 3 семестр 2022/23 года == == Экзаменационная программа для ВСО2 - 3 семестр 2022/23 года ==
     +Экзаменационная программа курса «Алгебра», 3 семестр, 
     +ВСО МГУ, 2 курс, 2022 год.
     +  Лектор -   И.А. Чубаров
     +1. Основные алгебраические системы: группоид, полугруппа, моноид, группа; кольца, тело, поле. Примеры.
     +2. Определение группы. Гомоморфизм и изоморфизм групп. Примеры групп.  Группы классов вычетов по модулю n, группы вращений на плоскости, группы диэдра, группа кватернионов.
     +3. Подгруппы.  Циклические группы, примеры. Классификация циклических групп. Теорема о подгруппах циклических групп. 
     +4. Смежные классы по подгруппе, их свойства. Теорема Лагранжа и ее следствия. 
     +5. Нормальные подгруппы, примеры. Произведение подгрупп.  Факторгруппа. Канонический гомоморфизм группы на факторгруппу.
     +6.
     +7. Гомоморфизмы групп. Основная теорема о гомоморфизме.  Теорема об изоморфизме. Теорема о соответствии подгрупп при гомоморфизмах. 
     +8.
     +9. Симметрические группы. Разложение подстановок в произведение транспозиций и независимых циклов. Знакопеременные группы. Группы S3, S4, A4 и подгруппы в них.
     +10. Прямые произведения и прямые суммы подгрупп и групп (внутренние и внешние). Связь между внешним и внутренним прямыми произведениями. Факторгруппа прямого произведения по прямым сомножителям.
     +11. Конечнопорожденные абелевы группы.  Свободные абелевы группы конечного ранга. Теорема о свободе подгруппы. 
     +12. Лемма о приведении целочисленной матрицы к диагональному виду (без доказательства). Теорема о согласованных базисах  свободной абелевой  группы конечного ранга и ее ненулевой подгруппы. 
     +13. Существование и единственность разложения конечнопорожденной  (аддитивной) абелевой группы  в прямую сумму циклических групп (единственность без доказательства). 
     +14. Лемма о разложении конечной циклической группы.  Разложение конечной абелевой группы в прямую сумму  примарных компонент и примарных циклических групп.
     +15. Действие групп на множествах. Стабилизаторы, орбиты. Транзитивные  действия. Теорема о разбиении множества на орбиты. Формула орбит (для действия конечной группы на конечном множестве).
     +16. Действие группы на себе левыми умножениями (левое регулярное действие) и на множестве левых смежных классов по подгруппе. Теорема Кэли. 
     +17. Действие группы на себе сопряжениями. Классы сопряженных элементов, центр группы. Формула классов. Нетривиальность центра неединичной конечной p-группы. 
     +18. Три теоремы  Силова.   Применение теорем Силова  для доказательства существования нормальных подгрупп в группе.
     +19. Коммутаторы и коммутант группы. Теорема о том, что если N – нормальная подгруппа в G, то G/N абелева группа  N содержит коммутант G. Пример вычисления коммутанта.  Простые группы (простота группы A5). 
     +20. Разрешимые группы, их свойства. Достаточное условие разрешимости. Разрешимость конечной p-группы.
     +21. Кольца, подкольца. Идеалы в кольцах и факторкольца. Гомоморфизмы колец, теорема о гомоморфизме. 
     +22. Делители нуля и обратимые элементы в кольце.  Описание делителей нуля и обратимых элементов в кольце классов вычетов по модулю n.
     +
     +23. Целостные кольца. Примеры: кольцо целых чисел и кольцо многочленов над полем.
     +24. Евклидовы кольца и кольца главных идеалов. Идеалы в кольце целых чисел и в кольце многочленов от одной переменной. НОД в евклидовом кольце. Основная теорема арифметики для евклидова кольца.
     +25. Поля. Простые поля, характеристика поля. Поле частных целостного кольца. Поле рациональных дробей.
     +26. Расширения полей, степень расширения. Конечное, алгебраическое  расширения. Мультипликативность степени в башне расширений. 
     +27. Кольцо вычетов кольца многочленов по идеалу, порожденному многочленом (когда оно является полем?). Простое алгебраическое расширение. Поле разложения многочлена: построение и формулировка единственности. 
     +28. Конечные поля: число элементов, построение, единственность (без доказательства). Цикличность мультипликативной группы. Подполя конечного поля.
     +29. Линейные представления групп. Матричные представления. Инвариантные подпространства. Приводимые и неприводимые представления.
     +30. Вполне приводимые представления. Теорема Машке (формулировки для комплексных/вещественных представлений и над произвольным полем)*. 
     +31. *Гомоморфизмы и изоморфизмы представлений. Лемма Шура (без доказательства) и ее следствие для комплексных представлений.
     +32. Неприводимые комплексные представления абелевых групп. Одномерные комплексные представления произвольной конечной группы.
     +
     +Литература.
     +1. Винберг Э.Б. Курс алгебры. 
     +2. Винберг Э.Б. Линейные представления групп. 
     +3. Кострикин  А.И. Введение в алгебру. Ч. I. Основы алгебры. Ч. II. Линейная алгебра. 
     +Ч. III. Основные структуры алгебры. М., 2000 и другие издания.
     +4. Чубаров И.А. Основы алгебры и теории представлений. – МФТИ,  1998. 
     +5. Сборник задач по алгебре (п.р.Кострикина А.И.). Конспекты лекций  Чубарова И.А.
     +
     +
     +** Билеты к экзамену ** 6 января 2023 года, 14:00, 1205
     +
     +Алгебра, 3 семестр, ВСО МГУ, 2 курс, 2022/23
     +
     +Билет 1
     +1. Определения группы, подгруппы. Примеры групп.  Группы классов вычетов по модулю n, группы вращений на плоскости, группы диэдра, группа кватернионов.
     +2. Изоморфны ли группы   и  ?
     +
     +
     +
     +
     +Алгебра, 3 семестр, ВСО МГУ, 2 курс, 2022/23
     +  
     +Билет 2
     +1. изоморфизм групп. Циклические группы и порядки элементов. Теорема о подгруппах циклической группы. Группы классов вычетов по модулю n. Классификация циклических групп.
     +2. Определить строение группы A, которая является гомоморфным образом свободной абелевой группы   с ядром  ,   .
     +
     +
     +
     +
     +
     +
     +Алгебра, 3 семестр, ВСО МГУ, 2 курс, 2022/23
     +  
     +Билет 3
     +1. Смежные классы по подгруппе, их свойства. Теорема Лагранжа  и ее следствия. 
     +2. Доказать, что факторгруппа группы   по  изоморфна  .
     +
     +  
     +
     +
     +
     +Алгебра, 3 семестр, ВСО МГУ, 2 курс, 2022/23
     +
     +Билет 4
     +1. Нормальные подгруппы, примеры. Факторгруппа: определение и пример. Канонический гомоморфизм группы на факторгруппу.
     +
     +2. Доказать, что любая группа порядка 185 абелева.
     +        Алгебра, 3 семестр, ВСО МГУ, 2 курс, 2022/23
     +
     +Билет 5
     +1. Гомоморфизмы групп. Основная теорема о гомоморфизме. Теорема о соответствии подгрупп при гомоморфизмах. 
     +2. Построить поле, содержащее 9 элементов.  
     +
     +. 
     +     
     +Алгебра, 3 семестр, ВСО МГУ, 2 курс, 2022/23
     +
     +Билет 6
     +1. Симметрические группы. Разложение подстановок в произведение  независимых циклов  и транспозиций. Знакопеременные группы. 
     +2. Найти порядок группы, порожденной матрицами  . Доказать, что эта группа изоморфна некоторой группе диэдра.
     +
     +
     +
     +
     +        Алгебра, 3 семестр, ВСО МГУ, 2 курс, 2022/23
     +
     +Билет 7
     +1. Прямые произведения и прямые суммы групп и подгрупп. Связь  определений внешнего и внутреннего прямого произведения. Факторгруппа прямого произведения по прямым сомножителям.
     +
     +2.   Указать базис и степень над   поля разложения многочлена  .
     +
     +
     +        Алгебра, 3 семестр, ВСО МГУ, 2 курс, 2022/23
     +Билет 8
     +1. Свободные абелевы группы конечного ранга. Теорема о свободе подгруппы свободной группы. 
     +2. Пусть   с операцией сложения,  (множество четных чисел) с операцией сложения. Является ли отображение
     + , : (а) гомоморфизмом групп, (б) инъективным,       (в) сюръективным, (г) изоморфизмом групп?
     +Алгебра, 3 семестр, ВСО МГУ, 2 курс, 2022/23
     +
     +Билет 9
     +1. Лемма о приведении целочисленной матрицы к диагональному виду – к нормальной форме Смита (без доказательства). Теорема о согласованных базисах  свободной абелевой  группы конечного ранга и ее ненулевой подгруппы. 
     +2. Построить поле из 8 элементов. Указать его подполя.
     +
     +
     +
     +Алгебра, 3 семестр, ВСО МГУ, 2 курс, 2022/23
     + Билет 10
     +1. Разложение конечнопорожденной абелевой группы в прямую сумму циклических групп. Теорема единственности (без доказательства).
     +2. Показать, что группа диэдра   действует  транзитивно на множестве  больших диагоналей правильного 24-угольника,  . Определить стабилизатор одной орбиты.
     +
     +
     +
     +
     +
     +Алгебра, 3 семестр, ВСО МГУ, 2 курс, 2022/23
     +
     +Билет 11
     +1. Лемма о разложении конечной циклической группы. Разложение конечной абелевой группы в прямую сумму  примарных компонент и примарных циклических групп. 
     +
     +2. Доказать, что  целые гауссовы числа, т.е. комплексные числа вида  , образуют кольцо относительно обычных операций сложения и умножения. Найти обратимые элементы в этом кольце. 
     +
     +
     +
     +
     +
     +        Алгебра, 3 семестр, ВСО МГУ, 2 курс, 2022/23
     +
     +Билет 12
     +1. Действие групп на множествах. Стабилизаторы, орбиты. Теорема о разбиении множества на орбиты. Формула орбит.
     +
     +2. Определить число неизоморфных абелевых групп порядка 144
     +
     +Алгебра, 3 семестр, ВСО МГУ, 2 курс, 2022/23
     +
     +Билет 13
     +1. Транзитивные действия. Действие группы на себе левыми умножениями (левое регулярное действие) и на множестве левых смежных классов по подгруппе. Теорема Кэли. 
     +2. Пусть   - группа невырожденных действительных матриц порядка n,  - подмножество матриц с определителем 1. Проверить, что  , и доказать изоморфизм  - группе ненулевых действительных чисел.
     +
     +
     +
     +Алгебра, 3 семестр, ВСО МГУ, 2 курс, 2022/23
     +Билет 14
     +1. Действие группы на себе сопряжениями. Классы сопряженных элементов, центр группы. Формула классов. Доказать нетривиальность центра конечной p-группы. Факторгруппа некоммутативной группы по центру не может быть циклической.
     +2. Может ли группа А порядка  8 быть изоморфной аддитивной или мультипликативной группе какого-либо поля? Определить в каждом случае структуру группы А.
     +
     +
     +
     +Алгебра, 3 семестр, ВСО МГУ, 2 курс, 2022/23
     +
     +Билет 15
     +1. Действие конечной группы сопряжениями  ее подгрупп. Первая и вторая теоремы Силова.
     +
     +2. Определить коммутант группы A4.
     +
     +
     +
     +
     +
     +Алгебра, 3 семестр, ВСО МГУ, 2 курс, 2022/23
     +
     +Билет 16
     +1. Третья теорема Силова. Следствия теорем Силова. Пример применения теорем Силова  для доказательства существования нормальных подгрупп в группе.
     +
     +2. Доказать, что факторкольцо Q[x]/ <x4 + x2 – 2> не является полем (найти делители нуля).  
     +
     +Алгебра, 3 семестр, ВСО МГУ, 2 курс, 2022/23
     +
     +Билет 17
     +1. Коммутаторы и коммутант. Доказать теорему о том, что если N – нормальная подгруппа в G, то G/N абелева группа  N содержит коммутант G. Пример вычисления коммутанта. 
     +
     +2. Определить характеристику поля F512. Найти все подполя этого поля.
     +                                                    
     +
     +
     +
     +                            Алгебра, 3 семестр, ВСО МГУ, 2 курс, 2022/23
     +
     +Билет 18
     +1. Разрешимые группы, их свойства. Достаточное условие разрешимости. Разрешимость конечной  p-группы.
     +
     +2. Определить центр группы D8 и факторгруппу по центру.
     +      
     +
     +
     +
     +
     +  Алгебра, 3 семестр, ВСО МГУ, 2 курс, 2022/23
     +
     +Билет 19
     +1. Кольца, подкольца. Идеалы в кольцах и факторкольца. Теорема о гомоморфизме для колец. 
     +2. В группе   классов вычетов по модулю 168 найти:  а) все элементы g такие, что 28g =0; б) все элементы g такие, что  , и в обоих случаях подсчитать их количество.
     +
     +
     +
     +
     +
     +  Алгебра, 3 семестр, ВСО МГУ, 2 курс, 2022/23
     +
     +Билет 20
     +1. Делители нуля и обратимые элементы в кольце. Описание делителей нуля и обратимых элементов в кольце классов вычетов по модулю n.
     +
     +2. Определить классы сопряженных элементов в группе диэдра порядка 14.
     +
     +  Алгебра, 3 семестр, ВСО МГУ, 2 курс, 2022/23
     +
     +Билет 21
     +1. Целостное кольцо. Примеры целостных колец: кольцо целых чисел и кольцо многочленов над полем. Поле частных целостного кольца. Поле рациональных дробей.
     +
     +2. Доказать, что подгруппа Клейна   является нормальной подгруппой в   и  . 
     +
     +
     + Алгебра, 3 семестр, ВСО МГУ, 2 курс, 2022/23
     +
     +Билет 22
     +1. Евклидовы кольца и кольца главных идеалов. Доказать, что кольцо целых чисел и кольцо многочленов над полем являются кольцами главных идеалов. 
     +2. Разложить в прямую сумму циклических групп факторгруппу  , где A – свободная абелева группа с базисом  , а B – ее подгруппа с образующими  , причем  .
     +
     +
     +
     +          Алгебра, 3 семестр, ВСО МГУ, 2 курс, 2022/23
     +
     +Билет 23
     +1. Наибольший общий делитель и разложение на простые множители элементов евклидова кольца.
     +
     +2. Перечислить все попарно неизоморфные абелевы группы порядка 216. Сколько существует таких групп?
     +
     +
     +
     +
     +          Алгебра, 3 семестр, ВСО МГУ, 2 курс, 2022/23
     +
     +Билет 24
     +1. Поля и подполя. Примеры полей. Простые поля, характеристика поля (доказать, что любое поле содержит простое подполе и что характеристика поля либо 0, либо простое число). 
     +2. Определить  коммутант группы   (порядка 16) и факторгруппу группы G по коммутанту.
     +
     +Алгебра, 3 семестр, ВСО МГУ, 2 курс, 2022/23
     +
     +Билет 25
     +1. Расширения полей. Степень расширения. Конечное, алгебраическое  расширения. Мультипликативность степени в башне расширений. 
     +
     +     2. Пусть  - группа ненулевых комплексных чисел по умножению,   ее подгруппа корней степени n из 1. Установить изоморфизм   .
     +
     +
     +
     +
     +
     +                 Алгебра, 3 семестр, ВСО МГУ, 2 курс, 2022/23
     +
     +Билет 26
     +1. Кольцо вычетов кольца многочленов по идеалу, порожденному многочленом (когда оно является полем?). Простое алгебраическое расширение.
     +
     +2. Доказать, что группа S4 разрешима (определить ее ряд коммутантов).
     +
     +
     +
     +
     +
     +                     Алгебра, 3 семестр, ВСО МГУ, 2 курс, 2022/23
     +Билет 27
     +1. Поле разложения многочлена: построение и формулировка единственности.
     + 
     +2. Является ли: (а) группоидом, (б) полугруппой, (в) моноидом, (г) группой множество     по операции    ?  Ответ обосновать.
     +
     +
     +
     +
     +Алгебра, 3 семестр, ВСО МГУ, 2 курс, 2022/23
     +
     +Билет 28
     +1. Конечные поля: число элементов, построение. Единственность (только формулировка). Цикличность мультипликативной группы  конечного поля. Подполя конечного поля.
     +
     +2. В группе    найти: а) все элементы g такие, что 55g =1; б) все элементы порядка 55,  и в обоих случаях подсчитать их количество.  
     +                        Алгебра, 3 семестр, ВСО МГУ, 2 курс, 2022/23
     +
     +Билет 29
     +1. Линейные представления групп. Матричные представления. Инвариантные подпространства. Приводимые и неприводимые представления. Вполне приводимые представления. 
     +
     +2. Пусть U – группа (по умножению) комплексных чисел модуля 1. Доказать, что  C*/R* ♡ U (изоморфны).
     +
     +
     +
     +Алгебра, 3 семестр, ВСО МГУ, 2 курс, 2022/23
     +
     +Билет 30
     +1. Неприводимые комплексные представления абелевых групп. Одномерные комплексные представления произвольной конечной группы.
     +
     +2. Разложить подстановку  в произведение независимых  циклов. Определить порядок этой подстановки в группе S8 .  
     +
     +
     +
      
      
    -** Билеты к экзамену ** 6 января 2023 года, 14:00 
    алгебра_2_курс_вечерники_осень_2022.1672735642.txt.gz · Последнее изменение: 08.04.2025 16:42 (внешнее изменение)

  • Показать страницу
  • История страницы
  • Ссылки сюда
  • Недавние изменения