Кафедра высшей алгебры

Экзаменационная программа курса «Алгебра», 3 семестр, ВСО МГУ, 2 курс, 2022 год.

Лектор -   И.А. Чубаров

| 1. | Основные алгебраические системы: группоид, полугруппа, моноид, группа; кольца, тело, поле. Примеры. |

2.	Определение группы. Гомоморфизм и изоморфизм групп. Примеры групп. Группы классов вычетов по модулю n, группы вращений на плоскости, группы диэдра, группа кватернионов.
3.	Подгруппы. Циклические группы, примеры. Классификация циклических групп. Теорема о подгруппах циклических групп.
4.	Смежные классы по подгруппе, их свойства. Теорема Лагранжа и ее следствия.
5.	Нормальные подгруппы, примеры. Произведение подгрупп. Факторгруппа. Канонический гомоморфизм группы на факторгруппу.
6.
7.	Гомоморфизмы групп. Основная теорема о гомоморфизме. Теорема об изоморфизме. Теорема о соответствии подгрупп при гомоморфизмах.
8.
9.	Симметрические группы. Разложение подстановок в произведение транспозиций и независимых циклов. Знакопеременные группы. Группы S3, S4, A4 и подгруппы в них.
10.	Прямые произведения и прямые суммы подгрупп и групп (внутренние и внешние). Связь между внешним и внутренним прямыми произведениями. Факторгруппа прямого произведения по прямым сомножителям.
11.	Конечнопорожденные абелевы группы. Свободные абелевы группы конечного ранга. Теорема о свободе подгруппы.
12.	Лемма о приведении целочисленной матрицы к диагональному виду (без доказательства). Теорема о согласованных базисах свободной абелевой группы конечного ранга и ее ненулевой подгруппы.
13.	Существование и единственность разложения конечнопорожденной (аддитивной) абелевой группы в прямую сумму циклических групп (единственность без доказательства).
14.	Лемма о разложении конечной циклической группы. Разложение конечной абелевой группы в прямую сумму примарных компонент и примарных циклических групп.
15.	Действие групп на множествах. Стабилизаторы, орбиты. Транзитивные действия. Теорема о разбиении множества на орбиты. Формула орбит (для действия конечной группы на конечном множестве).
16.	Действие группы на себе левыми умножениями (левое регулярное действие) и на множестве левых смежных классов по подгруппе. Теорема Кэли.
17.	Действие группы на себе сопряжениями. Классы сопряженных элементов, центр группы. Формула классов. Нетривиальность центра неединичной конечной p-группы.
18.	Три теоремы Силова. Применение теорем Силова для доказательства существования нормальных подгрупп в группе.
19.	Коммутаторы и коммутант группы. Теорема о том, что если N – нормальная подгруппа в G, то G/N абелева группа  N содержит коммутант G. Пример вычисления коммутанта. Простые группы (простота группы A5).
20.	Разрешимые группы, их свойства. Достаточное условие разрешимости. Разрешимость конечной p-группы.
21.	Кольца, подкольца. Идеалы в кольцах и факторкольца. Гомоморфизмы колец, теорема о гомоморфизме.
22.	Делители нуля и обратимые элементы в кольце. Описание делителей нуля и обратимых элементов в кольце классов вычетов по модулю n.

23.	Целостные кольца. Примеры: кольцо целых чисел и кольцо многочленов над полем.
24.	Евклидовы кольца и кольца главных идеалов. Идеалы в кольце целых чисел и в кольце многочленов от одной переменной. НОД в евклидовом кольце. Основная теорема арифметики для евклидова кольца.
25.	Поля. Простые поля, характеристика поля. Поле частных целостного кольца. Поле рациональных дробей.
26.	Расширения полей, степень расширения. Конечное, алгебраическое расширения. Мультипликативность степени в башне расширений.
27.	Кольцо вычетов кольца многочленов по идеалу, порожденному многочленом (когда оно является полем?). Простое алгебраическое расширение. Поле разложения многочлена: построение и формулировка единственности.
28.	Конечные поля: число элементов, построение, единственность (без доказательства). Цикличность мультипликативной группы. Подполя конечного поля.
29.	Линейные представления групп. Матричные представления. Инвариантные подпространства. Приводимые и неприводимые представления.
30.	Вполне приводимые представления. Теорема Машке (формулировки для комплексных/вещественных представлений и над произвольным полем)*.
31.	*Гомоморфизмы и изоморфизмы представлений. Лемма Шура (без доказательства) и ее следствие для комплексных представлений.
32.	Неприводимые комплексные представления абелевых групп. Одномерные комплексные представления произвольной конечной группы.

Литература.

1.	Винберг Э.Б. Курс алгебры.
2.	Винберг Э.Б. Линейные представления групп.
3.	Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч. I. Основы алгебры. Ч. II. Линейная алгебра.

Ч. III. Основные структуры алгебры. М., 2000 и другие издания.

4.	Чубаров И.А. Основы алгебры и теории представлений. – МФТИ, 1998.
5.	Сборник задач по алгебре (п.р.Кострикина А.И.). Конспекты лекций Чубарова И.А.

Билеты к экзамену 6 января 2023 года, 14:00, 1205

Алгебра, 3 семестр, ВСО МГУ, 2 курс, 2022/23

Билет 1

1.	Определения группы, подгруппы. Примеры групп. Группы классов вычетов по модулю n, группы вращений на плоскости, группы диэдра, группа кватернионов.
2.	Изоморфны ли группы и ?

Алгебра, 3 семестр, ВСО МГУ, 2 курс, 2022/23

Билет 2

1.	изоморфизм групп. Циклические группы и порядки элементов. Теорема о подгруппах циклической группы. Группы классов вычетов по модулю n. Классификация циклических групп.
2.	Определить строение группы A, которая является гомоморфным образом свободной абелевой группы с ядром , .

Алгебра, 3 семестр, ВСО МГУ, 2 курс, 2022/23

Билет 3

1.	Смежные классы по подгруппе, их свойства. Теорема Лагранжа и ее следствия.
2.	Доказать, что факторгруппа группы по изоморфна .

Алгебра, 3 семестр, ВСО МГУ, 2 курс, 2022/23

Билет 4

1.	Нормальные подгруппы, примеры. Факторгруппа: определение и пример. Канонический гомоморфизм группы на факторгруппу.
2.	Доказать, что любая группа порядка 185 абелева.

      Алгебра, 3 семестр, ВСО МГУ, 2 курс, 2022/23

Билет 5

1.	Гомоморфизмы групп. Основная теорема о гомоморфизме. Теорема о соответствии подгрупп при гомоморфизмах.
2.	Построить поле, содержащее 9 элементов.

.

Алгебра, 3 семестр, ВСО МГУ, 2 курс, 2022/23

Билет 6

1.	Симметрические группы. Разложение подстановок в произведение независимых циклов и транспозиций. Знакопеременные группы.
2.	Найти порядок группы, порожденной матрицами . Доказать, что эта группа изоморфна некоторой группе диэдра.

      Алгебра, 3 семестр, ВСО МГУ, 2 курс, 2022/23

Билет 7

1.	Прямые произведения и прямые суммы групп и подгрупп. Связь определений внешнего и внутреннего прямого произведения. Факторгруппа прямого произведения по прямым сомножителям.
2.	Указать базис и степень над поля разложения многочлена .

      Алгебра, 3 семестр, ВСО МГУ, 2 курс, 2022/23

Билет 8

1.	Свободные абелевы группы конечного ранга. Теорема о свободе подгруппы свободной группы.
2.	Пусть с операцией сложения, (множество четных чисел) с операцией сложения. Является ли отображение

, : (а) гомоморфизмом групп, (б) инъективным, (в) сюръективным, (г) изоморфизмом групп? Алгебра, 3 семестр, ВСО МГУ, 2 курс, 2022/23

Билет 9

1.	Лемма о приведении целочисленной матрицы к диагональному виду – к нормальной форме Смита (без доказательства). Теорема о согласованных базисах свободной абелевой группы конечного ранга и ее ненулевой подгруппы.
2.	Построить поле из 8 элементов. Указать его подполя.

Алгебра, 3 семестр, ВСО МГУ, 2 курс, 2022/23 Билет 10

1.	Разложение конечнопорожденной абелевой группы в прямую сумму циклических групп. Теорема единственности (без доказательства).
2.	Показать, что группа диэдра действует транзитивно на множестве больших диагоналей правильного 24-угольника, . Определить стабилизатор одной орбиты.

Алгебра, 3 семестр, ВСО МГУ, 2 курс, 2022/23

Билет 11

1.	Лемма о разложении конечной циклической группы. Разложение конечной абелевой группы в прямую сумму примарных компонент и примарных циклических групп.
2.	Доказать, что целые гауссовы числа, т.е. комплексные числа вида , образуют кольцо относительно обычных операций сложения и умножения. Найти обратимые элементы в этом кольце.

      Алгебра, 3 семестр, ВСО МГУ, 2 курс, 2022/23

Билет 12

1.	Действие групп на множествах. Стабилизаторы, орбиты. Теорема о разбиении множества на орбиты. Формула орбит.
2.	Определить число неизоморфных абелевых групп порядка 144

Алгебра, 3 семестр, ВСО МГУ, 2 курс, 2022/23

Билет 13

1.	Транзитивные действия. Действие группы на себе левыми умножениями (левое регулярное действие) и на множестве левых смежных классов по подгруппе. Теорема Кэли.
2.	Пусть - группа невырожденных действительных матриц порядка n, - подмножество матриц с определителем 1. Проверить, что , и доказать изоморфизм - группе ненулевых действительных чисел.

Алгебра, 3 семестр, ВСО МГУ, 2 курс, 2022/23 Билет 14

1.	Действие группы на себе сопряжениями. Классы сопряженных элементов, центр группы. Формула классов. Доказать нетривиальность центра конечной p-группы. Факторгруппа некоммутативной группы по центру не может быть циклической.
2.	Может ли группа А порядка 8 быть изоморфной аддитивной или мультипликативной группе какого-либо поля? Определить в каждом случае структуру группы А.

Алгебра, 3 семестр, ВСО МГУ, 2 курс, 2022/23

Билет 15

1.	Действие конечной группы сопряжениями ее подгрупп. Первая и вторая теоремы Силова.
2.	Определить коммутант группы A4.

Алгебра, 3 семестр, ВСО МГУ, 2 курс, 2022/23

Билет 16

1.	Третья теорема Силова. Следствия теорем Силова. Пример применения теорем Силова для доказательства существования нормальных подгрупп в группе.
2.	Доказать, что факторкольцо Q[x]/ <x4 + x2 – 2> не является полем (найти делители нуля).

Алгебра, 3 семестр, ВСО МГУ, 2 курс, 2022/23

Билет 17

1.	Коммутаторы и коммутант. Доказать теорему о том, что если N – нормальная подгруппа в G, то G/N абелева группа  N содержит коммутант G. Пример вычисления коммутанта.
2.	Определить характеристику поля F512. Найти все подполя этого поля.

                          Алгебра, 3 семестр, ВСО МГУ, 2 курс, 2022/23

Билет 18

1.	Разрешимые группы, их свойства. Достаточное условие разрешимости. Разрешимость конечной p-группы.
2.	Определить центр группы D8 и факторгруппу по центру.

Алгебра, 3 семестр, ВСО МГУ, 2 курс, 2022/23

Билет 19

1.	Кольца, подкольца. Идеалы в кольцах и факторкольца. Теорема о гомоморфизме для колец.
2.	В группе классов вычетов по модулю 168 найти: а) все элементы g такие, что 28g =0; б) все элементы g такие, что , и в обоих случаях подсчитать их количество.

Алгебра, 3 семестр, ВСО МГУ, 2 курс, 2022/23

Билет 20

1.	Делители нуля и обратимые элементы в кольце. Описание делителей нуля и обратимых элементов в кольце классов вычетов по модулю n.
2.	Определить классы сопряженных элементов в группе диэдра порядка 14.

Алгебра, 3 семестр, ВСО МГУ, 2 курс, 2022/23

Билет 21

1.	Целостное кольцо. Примеры целостных колец: кольцо целых чисел и кольцо многочленов над полем. Поле частных целостного кольца. Поле рациональных дробей.
2.	Доказать, что подгруппа Клейна является нормальной подгруппой в и .

Алгебра, 3 семестр, ВСО МГУ, 2 курс, 2022/23

Билет 22

1.	Евклидовы кольца и кольца главных идеалов. Доказать, что кольцо целых чисел и кольцо многочленов над полем являются кольцами главных идеалов.
2.	Разложить в прямую сумму циклических групп факторгруппу , где A – свободная абелева группа с базисом , а B – ее подгруппа с образующими , причем .

        Алгебра, 3 семестр, ВСО МГУ, 2 курс, 2022/23

Билет 23

1.	Наибольший общий делитель и разложение на простые множители элементов евклидова кольца.
2.	Перечислить все попарно неизоморфные абелевы группы порядка 216. Сколько существует таких групп?

        Алгебра, 3 семестр, ВСО МГУ, 2 курс, 2022/23

Билет 24

1.	Поля и подполя. Примеры полей. Простые поля, характеристика поля (доказать, что любое поле содержит простое подполе и что характеристика поля либо 0, либо простое число).
2.	Определить коммутант группы (порядка 16) и факторгруппу группы G по коммутанту.

Алгебра, 3 семестр, ВСО МГУ, 2 курс, 2022/23

Билет 25

1.	Расширения полей. Степень расширения. Конечное, алгебраическое расширения. Мультипликативность степени в башне расширений.

   2. Пусть  - группа ненулевых комплексных чисел по умножению,   ее подгруппа корней степени n из 1. Установить изоморфизм   .

               Алгебра, 3 семестр, ВСО МГУ, 2 курс, 2022/23

Билет 26

1.	Кольцо вычетов кольца многочленов по идеалу, порожденному многочленом (когда оно является полем?). Простое алгебраическое расширение.
2.	Доказать, что группа S4 разрешима (определить ее ряд коммутантов).

                   Алгебра, 3 семестр, ВСО МГУ, 2 курс, 2022/23

Билет 27

1.	Поле разложения многочлена: построение и формулировка единственности.

| 2. | Является ли: (а) группоидом, (б) полугруппой, (в) моноидом, (г) группой множество по операции ? Ответ обосновать. |

Алгебра, 3 семестр, ВСО МГУ, 2 курс, 2022/23

Билет 28

1.	Конечные поля: число элементов, построение. Единственность (только формулировка). Цикличность мультипликативной группы конечного поля. Подполя конечного поля.
2.	В группе найти: а) все элементы g такие, что 55g =1; б) все элементы порядка 55, и в обоих случаях подсчитать их количество.

                      Алгебра, 3 семестр, ВСО МГУ, 2 курс, 2022/23

Билет 29

1.	Линейные представления групп. Матричные представления. Инвариантные подпространства. Приводимые и неприводимые представления. Вполне приводимые представления.
2.	Пусть U – группа (по умножению) комплексных чисел модуля 1. Доказать, что C*/R* ♡ U (изоморфны).

Алгебра, 3 семестр, ВСО МГУ, 2 курс, 2022/23

Билет 30

1.	Неприводимые комплексные представления абелевых групп. Одномерные комплексные представления произвольной конечной группы.
2.	Разложить подстановку в произведение независимых циклов. Определить порядок этой подстановки в группе S8 .