Кафедра высшей алгебры

1) А.И. Кострикин. Введение в алгебру.

• Часть I гл. 4
• Часть III

2) Э.Б. Винберг. Курс алгебры.

Нумерация задач даётся по «Сборнику задач по алгебре» под ред. А.И.Кострикина, 2-е изд., Москва, Физматлит.

Повторение из 1-го семестра: определение группы, подгруппы, изоморфизма групп, примеры.

Повторение из 1-го семестра: Порядок элемента.

Система порождающих.

Циклические группы.

Повторение из 1-го семестра: Смежные классы по подгруппе. Теорема Лагранжа.

Домашнее задание: (2015)

1) 55.5, 55.6 (т), 56.1;

2) 56.3

3)56.32 (б), 56.16 (б),

4)55.26, 55.22, 55.32 (г),

Смежные классы. Теорема Лагранжа. Следствия из теоремы Лагранжа. Нормальные подгруппы. Факторгруппы.

Домашнее задание: (2001 год) 56.36(е-и), 58.1(в,г), 58.11(a), 58.29

1) Гомоморфизмы. Ядро, образ гомоморфизма и их свойства. Теорема о гомоморфизме. Примеры. Любая нормальная подгруппа является ядром некоторого гомоморфизма. Естественный гомоморфизм.

2) Прямые произведения групп. Z_m ≅ Z_{m_1} ⊕ … ⊕ Z_{m_s}, если m=m_1·…·m_s, где m_1, …, m_s - попарно взаимно простые числа. Связь между внешним и внутренним прямым произведением.

Домашнее задание:

1) (2015) 55.17, 58.28, 58.16, 58.32 (а,г), 58.32

(2001) 55.17, 58.7 (а), 58.27, 58.15, 58.31 (а,г), 58.32

2) (2015) 60.2, 60.5 (в), 60.9, 60.13, 60.17, 60.44, 60.45 (б)

(2001) 60.2, 60.5 (в), 60.9, 60.13, 60.17, 60.44, 60.45 (б)

0) Факторизация прямого произведения групп по прямому произведению подгрупп.

1) Конечно порожденные абелевы группы (в аддитивной записи),(целочисленные) линейные комбинации элементов абелевой группы, линейная зависимость, базисы. Свободные абелевы группы Основная лемма о линейной зависимости для абелевых групп. Во всех базисах свободной абелевой группы одинаковое число элементов. Ранг свободной абелевой группы. Изоморфизм свободных абелевых групп одного ранга. Подгруппы свободных абелевых групп.

Матрицы перехода от базиса к базису. Целочисленные элементарные матрицы. Целочисленные элементарные преобразования строк и столбцов целочисленной матрицы.

Теорема о базисе свободной абелевой группы, согласованном с базисом подгруппы (доказательство основано на лемме о приведении целочисленной матрицы к «диагональному» виду целочисленными элементарными преобразованиями строк и столбцов). Следствия.

Домашнее задание: доделать ДЗ за День 4.

0) Факторизация прямого произведения групп по прямому произведению подгрупп.

1) Универсальное свойство свободной абелевой группы.

2) Основная теорема о конечно порожденных абелевых группах.

Домашнее задание:

1) Целочисленные элементарные преобразования. (2015) 60.52 (б,в,г), 60.54

(2001) 60.52 (б,в,г), 60.54

2) Свободные абелевы группы. Универсальное свойство. Основная теорема о конечно порожденных абелевых группах.(2015) 60.39 (д-з), 60.40, 60.42, 60.43 (б), 60.31, 60.32, 60.34

(2001) 60.39 (д-з), 60.40, 60.42, 60.43 (б), 60.31, 60.32, 60.34

1) Основная теорема о конечно порожденных абелевых группах (продолжение доказательства). Экспонента конечной группы. О конечных подгруппах мультипликативной группы поля.

2) Действие группы на множестве. Орбиты. Стабилизаторы. Стабилизаторы разных точек из одной орбиты. Взаимно однозначное соответствие между точками орбиты и смежными классами по стабилизатору, число точек в орбите. Группа вращений куба: её порядок (из транзитивного действия на вершинах куба) и изоморфизм с S_4 (из действия на диагоналях).

3) Действие группы на себе левыми сдвигами. Теорема Кэли.

Домашнее задание:

1) Группа гомоморфизмов абелевых групп. Кольцо эндоморфизмов абелевой группы. (2015) 60.19, 60.20, 60.21; 60.22, 60.24

(2001) 60.19, 60.20, 60.21; 60.22, 60.24

2) Действие группы на множестве. Орбиты и стабилизаторы.

(2015) 57.1(г)+57.2(б), 57.3, 57.9(б,в), 57.12(в), 57.15, 55.27.

(2001) 57.1(г)+57.2(б), 57.3, 57.9(б,в), 57.12(в), 57.15, 55.27.

3) Теорема Кэли (2015) 55.34 (б,в)

(2001) 55.33 (б,в)

Действие группы на себе.

Группа автоморфизмов. Группа внутренних автоморфизмов.

Классы сопряженности. Централизаторы. Центр. Классы сопряженности и центр группы S_n. Центр конечной p-группы. Группы порядка p^2.

Нормализаторы подгрупп.

Домашнее задание:

1) Классы сопряженности (2015) 57.30 (б,в), 57.32 (б), 57.35 (в,г), 58.4 (б,в), 58.12

(2001) 57.30 (б,в), 57.32 (б), 57.35 (в,г), 58.4 (б,в), 58.12

Централизатор (2015) 57.23 (б), 57.24 (б,в), 57.25 (а), 57.28, 57.31 (в)

(2001) 57.23 (б), 57.24 (б,в), 57.25 (а), 57.28, 57.31 (в)

Центр (2015) 58.11 (б), 58.20 (б,в), 58.24 (б,в,ж)

(2001) 58.11 (б), 58.19 (б,в), 58.23 (б,в)

Нормализатор (2015) 57.38 (б,в)

(2001) 57.38 (б,в)

Разное (2015) 57.20, 57.21, 58.36, 58.37

(2001) 57.20, 57.21, 58.35, 58.36

Силовские подгруппы. Теоремы Силова

Домашнее задание:

1) Силовские подгруппы (2015) 59.3 (б), 59.5, 59.10, 59.17

(2001) 59.3 (б), 59.5, 59.10, 59.17

2) Теоремы Силова (2015) 59.20 (б,в), 59.19, 59.23

(2001) 59.20 (б,в), 59.19, 59.23

ПЛАН

0) 3-я теорема Силова (доказательство). Следствие.

1) Простые группы (утверждения пока без доказательства).

2) Коммутаторы и коммутант. Связь между коммутантом и нормальными подгруппами, факторгруппы по которым абелевы. Системы порождающих групп A_n, SL_n (F). Коммутанты групп S_n, A_n. Коммутанты групп GL_n (F) и SL_n (F) при |F|>3.

3) Кратные коммутанты. Разрешимые группы. Свойства.

При каких n группа S_n разрешима? Неразрешимость групп GL_n (F) и SL_n (F) (|F|>3). Разрешимость конечной p-группы, где p – простое. Разрешимость группы невырожденных треугольных матриц над полем. Разрешимость группы порядка pq, где p,q – простые.

Домашнее задание:

1) Простые группы (2015) 59.22 (б,в,г,д)

(2001) 59.22 (б,в,г,д)

2) Коммутаторы. Коммутант (2015) 62.1 (б,в), 62.8 (б), 62.9

(2001) 62.1 (б,г), 62.8 (б), 62.9

3) Разрешимые группы (2015) 62.12 (г,д), 62.18(в,г,д,е)

(2001) 62.12 (г,д), 62.18(в,г,д,е)