Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- алгебра_2_курс_казахстанский_филиал_2025_куликова [04.05.2025 22:06]
kulikova
+++ алгебра_2_курс_казахстанский_филиал_2025_куликова [04.05.2025 22:14] (текущий)
kulikova
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+ Лекции+семинары по "Алгебре", Казахстанский филиал
+**Лектор**: Куликова О.В.
+== Основная литература ==
+) А.И. Кострикин. Введение в алгебру.
+      * Часть I гл. 4
+      * Часть III
+) Э.Б. Винберг. Курс алгебры.
+----
+Нумерация задач даётся по «Сборнику задач по алгебре» под ред. А.И.Кострикина, 2-е изд., Москва, Физматлит.
+----
+== День 1, пн (1 пара) ==
+Повторение из 1-го семестра: определение группы, подгруппы, изоморфизма групп, примеры.
+== День 2, вт (3 пары) ==
+Повторение из 1-го семестра:  Порядок элемента.
+Система порождающих.
+Циклические группы.
+Повторение из 1-го семестра:  Смежные классы по подгруппе. Теорема Лагранжа.
+**Домашнее задание**: (2015)
+) 55.5, 55.6 (т), 56.1;
+) 56.3
+)56.32 (б), 56.16 (б),
+)55.26, 55.22, 55.32 (г),
+== День 3, ср (1 пара) ==
+Смежные классы. Теорема Лагранжа. Следствия из теоремы Лагранжа.
+Нормальные подгруппы. Факторгруппы.
+ **Домашнее задание**: (2001 год) 56.36(е-и), 58.1(в,г), 58.11(a), 58.29
+== День 4, чт (3 пары) ==
+) Гомоморфизмы. Ядро, образ гомоморфизма и их свойства. Теорема о гомоморфизме. Примеры. Любая нормальная подгруппа является ядром некоторого гомоморфизма. Естественный гомоморфизм.
+) Прямые произведения групп.  **Z**_m ≅ **Z**_{m_1} ⊕ … ⊕ **Z**_{m_s}, если m=m_1·…·m_s, где m_1, …, m_s - попарно взаимно простые числа.   Связь между внешним и внутренним прямым произведением.
+**Домашнее задание**:
+) (2015) 55.17, 58.28, 58.16, 58.32 (а,г), 58.32
+(2001) 55.17, 58.7 (а), 58.27, 58.15, 58.31 (а,г), 58.32
+) (2015) 60.2, 60.5 (в), 60.9, 60.13, 60.17, 60.44, 60.45 (б)
+(2001) 60.2, 60.5 (в), 60.9, 60.13, 60.17, 60.44, 60.45 (б)
+== День 5, пт (3 пары) ==
+) Факторизация прямого произведения групп по прямому произведению подгрупп.
+) Конечно порожденные абелевы группы (в аддитивной записи),(целочисленные) линейные комбинации элементов абелевой группы, линейная зависимость, базисы. Свободные абелевы группы
+ Основная лемма о линейной зависимости для абелевых групп. Во всех базисах свободной абелевой группы одинаковое число элементов. Ранг свободной абелевой группы. Изоморфизм свободных абелевых групп одного ранга. Подгруппы свободных абелевых групп.
+Матрицы перехода от базиса к базису. Целочисленные элементарные матрицы. Целочисленные элементарные преобразования строк и столбцов целочисленной матрицы.
+Теорема о базисе свободной абелевой группы, согласованном с базисом подгруппы (доказательство основано на лемме о приведении целочисленной матрицы к "диагональному" виду целочисленными элементарными преобразованиями строк и столбцов). Следствия.
+**Домашнее задание:** доделать ДЗ за День 4.
+== День 6, пт (2 пары) ==
+) Факторизация прямого произведения групп по прямому произведению подгрупп.
+) Универсальное свойство свободной абелевой группы.
+) Основная теорема о конечно порожденных абелевых группах.
+**Домашнее задание:**
+) Целочисленные элементарные преобразования. (2015) 60.52 (б,в,г), 60.54
+(2001) 60.52 (б,в,г), 60.54
+) Свободные абелевы группы. Универсальное свойство. Основная теорема о конечно порожденных абелевых группах.(2015) 60.39 (д-з), 60.40, 60.42, 60.43 (б), 60.31, 60.32, 60.34
+(2001) 60.39 (д-з), 60.40, 60.42, 60.43 (б), 60.31, 60.32, 60.34
+== День 7, пн (4 пары) ==
+) Основная теорема о конечно порожденных абелевых группах (продолжение доказательства). Экспонента конечной группы. О конечных подгруппах мультипликативной группы поля.
+)
+Действие группы на множестве. Орбиты. Стабилизаторы. Стабилизаторы разных точек из одной орбиты. Взаимно однозначное соответствие между точками орбиты и смежными классами по стабилизатору, число точек в орбите. Группа вращений куба: её порядок (из транзитивного действия на вершинах куба) и изоморфизм с S_4 (из действия на диагоналях).
+) Действие группы на себе левыми сдвигами. Теорема Кэли.
+**Домашнее задание:**
+) Группа гомоморфизмов абелевых групп. Кольцо эндоморфизмов абелевой группы. (2015) 60.19, 60.20, 60.21; 60.22, 60.24
+(2001) 60.19, 60.20, 60.21; 60.22, 60.24
+) Действие группы на множестве. Орбиты и стабилизаторы.
+(2015) 57.1(г)+57.2(б), 57.3, 57.9(б,в), 57.12(в), 57.15, 55.27.
+(2001) 57.1(г)+57.2(б), 57.3, 57.9(б,в), 57.12(в), 57.15, 55.27.
+) Теорема Кэли (2015)  55.34 (б,в)
+(2001)  55.33 (б,в)
+== День 8, вт (3 пары) ==
+Действие группы на себе.
+Группа автоморфизмов. Группа внутренних автоморфизмов.
+Классы сопряженности. Централизаторы. Центр. Классы сопряженности и центр группы S_n.
+Центр конечной p-группы. Группы порядка p^2.
+Нормализаторы подгрупп.
+**Домашнее задание:**
+)
+Классы сопряженности (2015) 57.30 (б,в), 57.32 (б), 57.35 (в,г), 58.4 (б,в), 58.12
+(2001) 57.30 (б,в), 57.32 (б), 57.35 (в,г), 58.4 (б,в), 58.12
+Централизатор (2015) 57.23 (б), 57.24 (б,в), 57.25 (а), 57.28, 57.31 (в)
+(2001) 57.23 (б), 57.24 (б,в), 57.25 (а), 57.28, 57.31 (в)
+Центр (2015)  58.11 (б), 58.20 (б,в), 58.24 (б,в,ж)
+(2001) 58.11 (б), 58.19 (б,в), 58.23 (б,в)
+Нормализатор (2015) 57.38 (б,в)
+(2001) 57.38 (б,в)
+Разное (2015) 57.20, 57.21, 58.36, 58.37
+(2001) 57.20, 57.21, 58.35, 58.36
+== День 9, ср (2 пары) ==
+Силовские подгруппы. Теоремы Силова
+**Домашнее задание:**
+) Силовские подгруппы (2015) 59.3 (б), 59.5, 59.10, 59.17
+(2001) 59.3 (б), 59.5, 59.10, 59.17
+) Теоремы Силова (2015) 59.20 (б,в), 59.19, 59.23
+(2001) 59.20 (б,в), 59.19, 59.23
+== День 10, чт (3 пары) ==
+) 3-я теорема Силова (доказательство). Следствие.
+) Простые группы (утверждения пока без доказательства).
+) Коммутаторы и коммутант.  Связь между коммутантом и нормальными подгруппами, факторгруппы по которым абелевы.
+Системы порождающих групп A_n. Коммутанты групп S_n, A_n.
+**Домашнее задание:**
+) Простые группы (2015)  59.22 (б,в,г,д)
+ (2001) 59.22 (б,в,г,д)
+) Коммутаторы. Коммутант (2015) 62.1 (б,в), 62.8 (б), 62.9
+(2001) 62.1 (б,г), 62.8 (б), 62.9
+) Разрешимые группы (2015) 62.12 (г,д), 62.18(в,г,д,е)
+(2001) 62.12 (г,д), 62.18(в,г,д,е)
+== День 11, пт  (3 пары) ==
+)
+Системы порождающих групп SL_n (F). Коммутанты групп GL_n (F) и SL_n (F) при |F|>3.
+) Кратные коммутанты. Разрешимые группы. Свойства.
+При каких n группа S_n разрешима?
+Неразрешимость групп GL_n (F) и SL_n (F) (|F|>3).  Разрешимость конечной  p-группы, где p  – простое.
+Разрешимость группы невырожденных треугольных матриц над полем. Разрешимость группы порядка pq, где p,q  – простые.
+) Простые группы
+**ДЗ:** подготовиться к контрольной работе
+== День 12, сб (2 пары) ==
+Контрольная  работа
+ Семинар:
+) Линейные и матричные представления. Эквивалентность.
+)Инвариантные подпространства
+)Неприводимые представления
+<del> 4)Сумма представлений. Вполне приводимость </del>
+<del>5)Одномерные комплексные представления групп.
+</del>
+**Домашнее задание:** (2015)
+)69.4 (в-е), 69.9, 69.14
+)69.5 (ж,з,и), 69.8
+)69.15
+<del> 4)69.2, 69.12 </del>
+<del>5)70.2 (д,ж,з), 70.16</del>
+(2001):
+)69.4 (в-е), 69.9, 69.14
+)69.5 (ж,з,и), 69.8
+) 69.15
+<del> 4)69.2, 69.12 </del>
+<del>5)70.2 (д,ж,з), 70.16</del>
+----
+**Дистант день 13** - две пары (28 апреля,пн)
+Линейные и матричные представления групп. Инвариантные подпространства. Неприводимые представления.
+Примеры. Лемма Шура.
+----
+**Дистант день 14** - две пары (5 мая, пн)
+)Сумма представлений. Вполне приводимость
+)Одномерные комплексные представления групп.
+) Теорема Машке (без док-ва). Количество и размерность неприводимых комплексных представлений  (без док-ва). Следствие. Примеры.
+) Повторение: Кольца, поля. Идеал. Факторкольца. Гомоморфизмы
+**Домашнее задание:** (2015)
+)69.2, 69.12
+)70.2 (д,ж,з), 70.16
+) 70.10 (в), 70.34 (в,г), 70.37
+)  повторение: 63.1,2,3+66.1, 63.11 (б,д - только про делители нуля),
+идеалы: 64.5, 64.6, 64.7,
+факторкольца, гомоморфизмы: 64.38, 64.41 (а,в), 64.42, 64.37, 64.39, 64.55 (а,б), 64.43
+(2001):
+))69.2, 69.12
+)70.2 (д,ж,з), 70.16
+) 70.10 (в), 70.34 (в,г), 70.37
+)   повторение: 63.1,2,3+66.1, 63.11 (б,д - только про делители нуля),
+идеалы: 64.5, 64.6, 64.7,
+факторкольца, гомоморфизмы: 64.38, 64.41 (а,в), 64.42, 64.37, 64.39, 64.55 (а,б), 64.43