• Показать страницу
  • История страницы
  • Ссылки сюда

    • Различия

    Показаны различия между двумя версиями страницы.

    Ссылка на это сравнение

    Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
    Следующая версия     		Предыдущая версия
    алгебра_3_курс_фммф_осень_2022 [15.02.2023 15:02]
    timashev     		алгебра_3_курс_фммф_осень_2022 [08.04.2025 16:43] (текущий)
    Строка 58: Строка 58:
     Вычисления в простых расширениях полей. Построение конечных полей как простых расширений полей вычетов, примитивные элементы в них. Нахождение минимального многочлена алгебраического элемента в расширении полей. Вычисления в простых расширениях полей. Построение конечных полей как простых расширений полей вычетов, примитивные элементы в них. Нахождение минимального многочлена алгебраического элемента в расширении полей.
      
    -[[https://files.teach-in.ru/s/43e8AM5GjqAXkod|Видеозапись семинара]]+[[https://teach-in.ru/lecture/2022-09-07-Timashev-2|Видеозапись семинара]]
      
     {{:staff:timashev:alg-4-1.pdf|Домашнее задание}} {{:staff:timashev:alg-4-1.pdf|Домашнее задание}}
    Строка 70: Строка 70:
     Нахождение поля разложения многочлена. Круговой многочлен, его свойства. Круговое поле **K**_n, его степень. Нахождение поля разложения многочлена. Круговой многочлен, его свойства. Круговое поле **K**_n, его степень.
      
    -[[https://files.teach-in.ru/s/3Ppzk7CKqLJEML4|Видеозапись семинара]]+[[https://teach-in.ru/lecture/2022-09-12-Timashev|Видеозапись семинара]]
      
     {{:staff:timashev:alg-4-2.pdf|Домашнее задание}} {{:staff:timashev:alg-4-2.pdf|Домашнее задание}}
    Строка 88: Строка 88:
     Неприводимость кругового многочлена. Вычисление некоторых групп Галуа: Aut(**R**/**Q**), Aut(**F**_q/**F**_p), Aut(**K**_n/**Q**). Резольвента сепарабельного многочлена по отношению к подгруппе перестановок его корней, критерий того, что группа Галуа поля разложения многочлена содержится в указанной подгруппе с точностью до сопряжённости. Неприводимость кругового многочлена. Вычисление некоторых групп Галуа: Aut(**R**/**Q**), Aut(**F**_q/**F**_p), Aut(**K**_n/**Q**). Резольвента сепарабельного многочлена по отношению к подгруппе перестановок его корней, критерий того, что группа Галуа поля разложения многочлена содержится в указанной подгруппе с точностью до сопряжённости.
      
    -[[https://files.teach-in.ru/s/g8LbWrMJjAS5si5|Видеозапись семинара]]+[[https://teach-in.ru/lecture/2022-09-14-Timashev-2|Видеозапись семинара]]
      
     {{:staff:timashev:alg-4-3.pdf|Домашнее задание}} {{:staff:timashev:alg-4-3.pdf|Домашнее задание}}
    Строка 118: Строка 118:
     Вычисление группы Галуа с помощью резольвент. Вычисление группы Галуа с помощью резольвент.
      
    -[[https://files.teach-in.ru/s/MELXDSHGHmpLtb3|Видеозапись семинара]]+[[https://teach-in.ru/lecture/2022-09-21-Timashev-2|Видеозапись семинара]]
      
     {{:staff:timashev:alg-4-4.pdf|Домашнее задание}} {{:staff:timashev:alg-4-4.pdf|Домашнее задание}}
    Строка 128: Строка 128:
     == Семинар == == Семинар ==
      
    -Присоединение единицы к ассоциативному кольцу или алгебре. Обратимые элементы и делители нуля в кольцах и алгебрах, случай конечномерных алгебр. Локальные кольца. Примеры (включая алгебру формальных степенных рядоы и кольцо целых p-адических чисел).+Присоединение единицы к ассоциативному кольцу или алгебре. Обратимые элементы и делители нуля в кольцах и алгебрах, случай конечномерных алгебр. Локальные кольца. Примеры (включая алгебру формальных степенных рядов и кольцо целых p-адических чисел).
      
    -[[https://files.teach-in.ru/s/zCmZZwtmHdge3K4|Видеозапись семинара]]+[[https://teach-in.ru/lecture/2022-09-26-Timashev|Видеозапись семинара]]
      
     {{:staff:timashev:alg-4-5.pdf|Домашнее задание}} {{:staff:timashev:alg-4-5.pdf|Домашнее задание}}
    Строка 148: Строка 148:
     Идеалы в алгебре C(X) непрерывных функций на топологическом пространстве X. Простые кольца, алгебры и модули, примеры. Алгебра Вейля, её простота в нулевой характеристике. Идеалы в алгебре C(X) непрерывных функций на топологическом пространстве X. Простые кольца, алгебры и модули, примеры. Алгебра Вейля, её простота в нулевой характеристике.
      
    -[[https://files.teach-in.ru/s/7EzpfgrgQ8pcoji|Видеозапись семинара]]+[[https://teach-in.ru/lecture/2022-09-28-Timashev-2|Видеозапись семинара]]
      
     {{:staff:timashev:alg-4-6.pdf|Домашнее задание}} {{:staff:timashev:alg-4-6.pdf|Домашнее задание}}
    Строка 160: Строка 160:
     Полилинейные отображения модулей, универсальное свойство тензорного произведения по отношению к полилинейным отображениям. Тензорное произведение векторных пространств, его базис и размерность. Расширение скаляров. Тензорное произведение колец и алгебр. Полилинейные отображения модулей, универсальное свойство тензорного произведения по отношению к полилинейным отображениям. Тензорное произведение векторных пространств, его базис и размерность. Расширение скаляров. Тензорное произведение колец и алгебр.
      
    -Система порождающих модуля. Конечно порождённые, циклические, свободные модули. __Нётеровы модули__, условие обрыва возрастающих цепочек подмодулей. Модуль M нётеров тогда и только тонда, когда его подмодуль N и фактормодуль M/N нётеровы. Прямая сумма модулей нётерова тогда и только тонда, когда нётеровы прямые слагаемые.+Система порождающих модуля. Конечно порождённые, циклические, свободные модули. __Нётеровы модули__, условие обрыва возрастающих цепочек подмодулей. Модуль M нётеров тогда и только тогда, когда его подмодуль N и фактормодуль M/N нётеровы. Прямая сумма модулей нётерова тогда и только тогда, когда нётеровы прямые слагаемые.
      
     [[https://teach-in.ru/lecture/2022-10-03-Timashev|Видеозапись лекции]] [[https://teach-in.ru/lecture/2022-10-03-Timashev|Видеозапись лекции]]
    Строка 176: Строка 176:
     == Семинар == == Семинар ==
      
    -Тензорное произведение молулей, колец и алгебр.+Тензорное произведение модулей, колец и алгебр.
      
    -[[https://files.teach-in.ru/s/xbsD6sK8reesiQx|Видеозапись семинара]]+[[https://teach-in.ru/lecture/2022-10-05-Timashev-2|Видеозапись семинара]]
      
     {{:staff:timashev:alg-4-7.pdf|Домашнее задание}} {{:staff:timashev:alg-4-7.pdf|Домашнее задание}}
    Строка 190: Строка 190:
     Модули гомоморфизмов. Нётеровы кольца (коммутативные и некоммутативные), в том числе кольца формальных степенных рядов и косых многочленов. Примеры ненётеровых колец. Евклидовы кольца, кольца главных идеалов и факториальные кольца. Кольцо гауссовых чисел. Модули гомоморфизмов. Нётеровы кольца (коммутативные и некоммутативные), в том числе кольца формальных степенных рядов и косых многочленов. Примеры ненётеровых колец. Евклидовы кольца, кольца главных идеалов и факториальные кольца. Кольцо гауссовых чисел.
      
    -[[https://files.teach-in.ru/s/3NX65LRC9XZm7jL|Видеозапись семинара]]+[[https://teach-in.ru/lecture/2022-10-10-Timashev|Видеозапись семинара]]
      
     {{:staff:timashev:alg-4-8.pdf|Домашнее задание}} {{:staff:timashev:alg-4-8.pdf|Домашнее задание}}
    Строка 210: Строка 210:
     Пример неевклидова кольца главных идеалов: **R**[x,y]/**R**[x,y]·(x²+y²+1). Простые элементы в кольце гауссовых чисел. Пример неевклидова кольца главных идеалов: **R**[x,y]/**R**[x,y]·(x²+y²+1). Простые элементы в кольце гауссовых чисел.
      
    -[[https://files.teach-in.ru/s/caaMP5WbM4bLg9A|Видеозапись семинара]]+[[https://teach-in.ru/lecture/2022-10-12-Timashev-2|Видеозапись семинара]]
      
     {{:staff:timashev:alg-4-9.pdf|Домашнее задание}} {{:staff:timashev:alg-4-9.pdf|Домашнее задание}}
    Строка 240: Строка 240:
     Разложение натурального числа в сумму двух и четырёх квадратов, связь с гауссовыми числами и целыми кватернионами. Нормальная форма Фробениуса линейного оператора. Разложение натурального числа в сумму двух и четырёх квадратов, связь с гауссовыми числами и целыми кватернионами. Нормальная форма Фробениуса линейного оператора.
      
    -[[https://files.teach-in.ru/s/pzTrP8qFxXDXPQK|Видеозапись семинара]]+[[https://teach-in.ru/lecture/2022-10-19-Timashev-2|Видеозапись семинара]]
      
     {{:staff:timashev:alg-4-10.pdf|Домашнее задание}} {{:staff:timashev:alg-4-10.pdf|Домашнее задание}}
    Строка 269: Строка 269:
     Классификация двумерных коммутативных ассоциативных алгебр над **C**. Существование точного конечномерного представления у конечномерной ассоциативной алгебры. Запись линейного представления нильпотентной алгебры нильтреугольными матрицами, её неприводимые представления. Стандартное скалярное умножение на алгебре матриц. Контрпример к совпадению радикала с ядром стандартного скалярного умножения в положительной характеристике. Классификация двумерных коммутативных ассоциативных алгебр над **C**. Существование точного конечномерного представления у конечномерной ассоциативной алгебры. Запись линейного представления нильпотентной алгебры нильтреугольными матрицами, её неприводимые представления. Стандартное скалярное умножение на алгебре матриц. Контрпример к совпадению радикала с ядром стандартного скалярного умножения в положительной характеристике.
      
    -[[https://files.teach-in.ru/s/B8YCSbG8GDG3EA7|Видеозапись семинара]]+[[https://teach-in.ru/lecture/2022-10-26-Timashev-2|Видеозапись семинара]]
      
     {{:staff:timashev:alg-4-11.pdf|Домашнее задание}} {{:staff:timashev:alg-4-11.pdf|Домашнее задание}}
    Строка 297: Строка 297:
     Стандартное скалярное умножение на простом расширении поля и дискриминант многочлена. Тензорное произведение полупростых алгебр. Стандартное скалярное умножение на простом расширении поля и дискриминант многочлена. Тензорное произведение полупростых алгебр.
      
    -[[https://files.teach-in.ru/s/dfp9P994Jgpijtz|Видеозапись семинара]]+[[https://teach-in.ru/lecture/2022-11-02-Timashev-2|Видеозапись семинара]]
      
     {{:staff:timashev:alg-4-12.pdf|Домашнее задание}} {{:staff:timashev:alg-4-12.pdf|Домашнее задание}}
    Строка 309: Строка 309:
     Центральные простые алгебры и алгебры с делением. Группа Брауэра. Обобщённые кватернионы. Центральные простые алгебры и алгебры с делением. Группа Брауэра. Обобщённые кватернионы.
      
    -[[https://files.teach-in.ru/s/FopGzKeTFXJDCHB|Видеозапись семинара]]+[[https://teach-in.ru/lecture/2022-11-07-Timashev|Видеозапись семинара]]
      
     {{:staff:timashev:alg-4-13.pdf|Домашнее задание}} {{:staff:timashev:alg-4-13.pdf|Домашнее задание}}
    Строка 325: Строка 325:
     == Семинар == == Семинар ==
      
    -Свойства обобщённых кватернионных алгебр. Расширение скаляров, расщепление и степень центральной алгебры с делением. Групповые алгебры, их структура. Групповая алгебры над полем характеристики, делящей порядок группы, не полупроста. Конечную группу нельзя, вообще говоря, восстановить по её групповой алгебре над алгебраически замкнутым полем.+Свойства обобщённых кватернионных алгебр. Расширение скаляров, расщепление и степень центральной алгебры с делением. Групповые алгебры, их структура. Групповая алгебра над полем характеристики, делящей порядок группы, не полупроста. Конечную группу нельзя, вообще говоря, восстановить по её групповой алгебре над алгебраически замкнутым полем.
      
    -[[https://files.teach-in.ru/s/xmPqbKLjk4sntQk|Видеозапись семинара]]+[[https://teach-in.ru/lecture/2022-11-09-Timashev-2|Видеозапись семинара]]
      
     {{:staff:timashev:alg-4-14.pdf|Домашнее задание}} {{:staff:timashev:alg-4-14.pdf|Домашнее задание}}
    Строка 355: Строка 355:
     Разложение групповой алгебры в прямую сумму простых идеалов, явное описание одномерных идеалов в общем случае и всех простых идеалов для группы S_3. Группа обратимых кватернионных матриц как вещественная группа Ли. Разложение групповой алгебры в прямую сумму простых идеалов, явное описание одномерных идеалов в общем случае и всех простых идеалов для группы S_3. Группа обратимых кватернионных матриц как вещественная группа Ли.
      
    -[[https://files.teach-in.ru/s/3DZP2zYeg9HTJiy|Видеозапись семинара]]+[[https://teach-in.ru/lecture/2022-11-16-Timashev-2|Видеозапись семинара]]
      
     {{:staff:timashev:alg-4-15.pdf|Домашнее задание}} {{:staff:timashev:alg-4-15.pdf|Домашнее задание}}
    Строка 367: Строка 367:
     Псевдоортогональная и симплектическая группы Ли. Связность групп Ли GL_n(**C**) и SO_n(**C**). Псевдоортогональная и симплектическая группы Ли. Связность групп Ли GL_n(**C**) и SO_n(**C**).
      
    -[[https://files.teach-in.ru/s/WEkKwBM7NCQmSFp|Видеозапись семинара]]+[[https://teach-in.ru/lecture/2022-11-21-Timashev|Видеозапись семинара]]
      
     {{:staff:timashev:alg-4-16.pdf|Домашнее задание}} {{:staff:timashev:alg-4-16.pdf|Домашнее задание}}
    Строка 377: Строка 377:
     == Лекция 18 == == Лекция 18 ==
      
    -Линейные представления алгебр Ли и модули над алгебрами Ли. Дифференциал линейного прдставления группы Ли есть линейное представление её касательной алгебры Ли. __Присоединённое представление__ группы Ли и алгебры Ли, связь между ними. Двулистные накрытия SU_2(**C**) → SO_3(**R**) и SL_2(**C**) → SO_3(**C**). Связь между линейным представлением группы Ли и его дифференциалом посредством экспоненциального отображения. Эквивалентность теоретико-представленческих свойств (приводимость, неприводимость, полная приводимость) для линейных представлений связных групп Ли и соответствующих линейных представлений их касательных алгебр Ли.+Линейные представления алгебр Ли и модули над алгебрами Ли. Дифференциал линейного представления группы Ли есть линейное представление её касательной алгебры Ли. __Присоединённое представление__ группы Ли и алгебры Ли, связь между ними. Двулистные накрытия SU_2(**C**) → SO_3(**R**) и SL_2(**C**) → SO_3(**C**). Связь между линейным представлением группы Ли и его дифференциалом посредством экспоненциального отображения. Эквивалентность теоретико-представленческих свойств (приводимость, неприводимость, полная приводимость) для линейных представлений связных групп Ли и соответствующих линейных представлений их касательных алгебр Ли.
      
     [[https://teach-in.ru/lecture/2022-11-23-Timashev-1|Видеозапись лекции]] [[https://teach-in.ru/lecture/2022-11-23-Timashev-1|Видеозапись лекции]]
    Строка 383: Строка 383:
     == Семинар == == Семинар ==
      
    -Связность симплектической группы и компоненты связности псевдоортогонадьной группы. Присоединённая алгебра Ли и группа Ли обратимых элементов конечномерной ассоциативной алгебры с единицей. Структура группы Ли обратимых кватернионов.+Связность симплектической группы и компоненты связности псевдоортогональной группы. Присоединённая алгебра Ли и группа Ли обратимых элементов конечномерной ассоциативной алгебры с единицей. Структура группы Ли обратимых кватернионов.
      
    -[[https://files.teach-in.ru/s/EHQ5Hj4wQw7D7XD|Видеозапись семинара]]+[[https://teach-in.ru/lecture/2022-11-23-Timashev-2|Видеозапись семинара]]
      
     {{:staff:timashev:alg-4-17.pdf|Домашнее задание}} {{:staff:timashev:alg-4-17.pdf|Домашнее задание}}
    Строка 395: Строка 395:
     == Лекция 19 == == Лекция 19 ==
      
    -__Центр масс__ выпуклого множества. Компактность выпуклой оболочки компактного множества. Существование инваривнтного скалярного умножения и полная приводимость линейных представлений компактных групп Ли. Линейные представления группы вращений плоскости и многочлены Фурье. __Вещественные формы__ комплексных групп Ли. Совпадение инвариантных подпространств у комплексной группы Ли и её вещественной формы в комплексном линейном представлении.+__Центр масс__ выпуклого множества. Компактность выпуклой оболочки компактного множества. Существование инвариантного скалярного умножения и полная приводимость линейных представлений компактных групп Ли. Линейные представления группы вращений плоскости и многочлены Фурье. __Вещественные формы__ комплексных групп Ли. Совпадение инвариантных подпространств у комплексной группы Ли и её вещественной формы в комплексном линейном представлении.
      
     [[https://teach-in.ru/lecture/2022-11-28-Timashev|Видеозапись лекции]] [[https://teach-in.ru/lecture/2022-11-28-Timashev|Видеозапись лекции]]
    Строка 405: Строка 405:
     == Лекция 20 == == Лекция 20 ==
      
    -Редуктивные группы Ли. __Унитарный трюк Вейля__: полная приводимость представлений редуктивных групп. Описание неприводимых комплексных линейных представлений алгебры Ли sl_2(**C**) и групп Ли SL_2(**C**), SU_2(**C**), SO_3(**C**), SO_3(**R**). Гармонический анализ на 2-мерной сфере — постановка задачи.+__Редуктивные группы Ли__. __Унитарный трюк Вейля__: полная приводимость представлений редуктивных групп. Описание неприводимых комплексных линейных представлений алгебры Ли sl_2(**C**) и групп Ли SL_2(**C**), SU_2(**C**), SO_3(**C**), SO_3(**R**). Гармонический анализ на 2-мерной сфере — постановка задачи.
      
     [[https://teach-in.ru/lecture/2022-11-30-Timashev-1|Видеозапись лекции]] [[https://teach-in.ru/lecture/2022-11-30-Timashev-1|Видеозапись лекции]]
    Строка 413: Строка 413:
     Вычисление экспоненциального отображения. Представления группы Ли **R**. Прообраз подгруппы Ли при дифференцируемом гомоморфизме — подгруппа Ли, её касательная алгебра Ли. Стабилизатор вектора в линейном представлении группы Ли и группа автоморфизмов конечномерной алгебры — группы Ли, их касательные алгебры Ли. Вычисление экспоненциального отображения. Представления группы Ли **R**. Прообраз подгруппы Ли при дифференцируемом гомоморфизме — подгруппа Ли, её касательная алгебра Ли. Стабилизатор вектора в линейном представлении группы Ли и группа автоморфизмов конечномерной алгебры — группы Ли, их касательные алгебры Ли.
      
    -[[https://files.teach-in.ru/s/fLyWZbF5xDoYGRP|Видеозапись семинара]]+[[https://teach-in.ru/lecture/2022-11-30-Timashev-2|Видеозапись семинара]]
      
     {{:staff:timashev:alg-4-18.pdf|Домашнее задание}} {{:staff:timashev:alg-4-18.pdf|Домашнее задание}}
    Строка 425: Строка 425:
     Линейные представления группы Ли SL_2 и алгебры Ли sl_2: структура неприводимых представлений, характеры, формула Клебша-Гордана. Линейные представления группы Ли SL_2 и алгебры Ли sl_2: структура неприводимых представлений, характеры, формула Клебша-Гордана.
      
    -[[https://files.teach-in.ru/s/FXtKsLWNfQNnaQX|Видеозапись семинара]]+[[https://teach-in.ru/lecture/2022-12-05-Timashev|Видеозапись семинара]]
      
     {{:staff:timashev:alg-4-19.pdf|Домашнее задание}} {{:staff:timashev:alg-4-19.pdf|Домашнее задание}}
    Строка 445: Строка 445:
     Вычисление старших векторов в простых подмодулях тензорного произведения простых sl_2-модулей. Вычисление сферических функций Лапласа, многочлены Лежандра. Вычисление старших векторов в простых подмодулях тензорного произведения простых sl_2-модулей. Вычисление сферических функций Лапласа, многочлены Лежандра.
      
    -[[https://files.teach-in.ru/s/X7Adqxzc3pLr6d8|Видеозапись семинара]]+[[https://teach-in.ru/lecture/2022-12-07-Timashev-2|Видеозапись семинара]]
      
     {{:staff:timashev:alg-4-20.pdf|Домашнее задание}} {{:staff:timashev:alg-4-20.pdf|Домашнее задание}}
    Строка 473: Строка 473:
     Вычисления в алгебре Клиффорда. Алгебры Клиффорда размерностей 1 и 2. Отщепление двумерного подпространства. Вычисления в алгебре Клиффорда. Алгебры Клиффорда размерностей 1 и 2. Отщепление двумерного подпространства.
      
    -[[https://files.teach-in.ru/s/s6Rg6XNfg93kJtw|Видеозапись семинара]]+[[https://teach-in.ru/lecture/2022-12-14-Timashev-2|Видеозапись семинара]]
      
     {{:staff:timashev:alg-4-21.pdf|Домашнее задание}} {{:staff:timashev:alg-4-21.pdf|Домашнее задание}}
    Строка 483: Строка 483:
     == Контрольная работа == == Контрольная работа ==
       - Вычисление матрицы стандартного скалярного умножения (//1 вариант//) и нахождение радикала (//2 вариант//)  конечномерной ассоциативной алгебры.   - Вычисление матрицы стандартного скалярного умножения (//1 вариант//) и нахождение радикала (//2 вариант//)  конечномерной ассоциативной алгебры.
    -  - Изоморфизм алгебр обобщённых кватернионов над **Q** (//1 вариант//); вычисление касательной алгебры Ли и жкспоненциального отображения для группы Ли (//2 вариант//).+  - Изоморфизм алгебр обобщённых кватернионов над **Q** (//1 вариант//); вычисление касательной алгебры Ли и экспоненциального отображения для группы Ли (//2 вариант//).
       - Задаёт ли матричная кривая линейное представление группы **R** (//1 вариант//); разложение тензорного произведения неприводимых представлений SL_2 на неприводимые слагаемые (//2 вариант//).   - Задаёт ли матричная кривая линейное представление группы **R** (//1 вариант//); разложение тензорного произведения неприводимых представлений SL_2 на неприводимые слагаемые (//2 вариант//).
       - Нахождение старшего вектора заданного веса в sl_2-модуле (//1 вариант//); нахождение центральных элементов ограниченной степени в универсальной обёртывающей алгебре (//2 вариант//).   - Нахождение старшего вектора заданного веса в sl_2-модуле (//1 вариант//); нахождение центральных элементов ограниченной степени в универсальной обёртывающей алгебре (//2 вариант//).
       - Вычисление в алгебре Клиффорда (//1 вариант//); нахождение матрицы элемента спинорной группы в спинорном представлении (//2 вариант//).   - Вычисление в алгебре Клиффорда (//1 вариант//); нахождение матрицы элемента спинорной группы в спинорном представлении (//2 вариант//).
    алгебра_3_курс_фммф_осень_2022.1676462574.txt.gz · Последнее изменение: 08.04.2025 16:42 (внешнее изменение)

  • Показать страницу
  • История страницы
  • Ссылки сюда
  • Недавние изменения