• Показать страницу
  • История страницы
  • Ссылки сюда

    • Различия

    Показаны различия между двумя версиями страницы.

    Ссылка на это сравнение

    Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
    Следующая версия     		Предыдущая версия
    вечерники_1курс_весна_2016 [16.02.2016 13:23]
    timashev     		вечерники_1курс_весна_2016 [08.04.2025 16:43] (текущий)
    Строка 12: Строка 12:
       - Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Теория жордановой нормальной формы.   - Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Теория жордановой нормальной формы.
       - Билинейные функции (симметрические и кососимметрические). Квадратичные формы.   - Билинейные функции (симметрические и кососимметрические). Квадратичные формы.
    -  - Евклидовы (и эрмитовы) векторные пространства, их геометрия. +  - Евклидовы векторные пространства, их геометрия. 
    -  - Операторы в евклидовых (эрмитовых) пространствах: ортогональные (унитарные), симметрические (эрмитовы). Полярное разложение. +  - Операторы в евклидовых пространствах: ортогональные, симметрические. Полярное разложение.
    -  - Аффинная геометрия.+
       - Тензоры.   - Тензоры.
      
    Строка 68: Строка 67:
       * 35.3джз, 35.10где, 35.9, 35.19, 35.22;   * 35.3джз, 35.10где, 35.9, 35.19, 35.22;
       * если матрица A размера n×n имеет ранг ≤n/2, то матричное уравнение AX=0 имеет решением ненулевую симметрическую матрицу X.   * если матрица A размера n×n имеет ранг ≤n/2, то матричное уравнение AX=0 имеет решением ненулевую симметрическую матрицу X.
     +
     +----
     +
     +=== 20 февраля 2016 ===
     +
     +== Лекция 3 ==
     +
     +__Линейные функции__ на векторном пространстве V: определение, примеры (след матрицы, вычисление значения функции в точке множества), запись в координатах на конечномерном пространстве (__линейные формы__). Сопряжённое (двойственное, дуальное) пространство V*, его размерность. Сопряжённый (двойственный, дуальный) базис пространства V*. Канонический изоморфизм пространств V и (V*)* в конечномерном случае. Двойственность между векторами и линейными функциями (__ковекторами__).
     +
     +__Аннулятор__ подмножества в векторном пространстве, его свойства. Размерность аннулятора, совпадение второго аннулятора подпространства с этим подпространством в конечномерном случае. Любое подпространство в конечномерном векторном пространстве задаётся однородной системой линейных уравнений (ОСЛУ). Критерий базисности набора линейных функций: задаваемая ими квадратная ОСЛУ имеет только нулевое решение. Интерполяционная формула Лагранжа как разложение многочлена по базису в терминах сопряжённого базиса.
     +
     +== Семинар ==
     +
     +Ядро линейной функции (36.13). Формула Тейлора как разложение многочлена по базису в терминах сопряжённого базиса. Задание подпространства однородной системой линейных уравнений ⇔ нахождение аннулятора подпространства (35.16а).
     +
     +== Домашнее задание: ==
     +  * 36.14, 36.9в, 35.16б, 36.17в.
     +
     +----
     +
     +=== 29 февраля 2016 ===
     +
     +== Лекция 4 ==
     +
     +__Линейные отображения__ векторных пространств: определение, примеры (линейные функции, поворот плоскости, проекция пространства на плоскость, транспонирование матриц, дифференцирование функций). Матрица линейного отображения: определение, примеры (матрицы поворота плоскости и проекции пространства на плоскость), запись линейного отображения в координатах. Взаимно однозначное соответствие между линейными отображениями и матрицами (при выборе базисов). Преобразование матрицы линейного отображения при замене базисов. Операции над линейными отображениями и соответствующие операции над матрицами (сложение, умножение на скаляр, произведение).
     +
     +__Образ__ и __ядро__ линейного отображения. Критерии инъективности/сюръективности/биективности линейного отображения в терминах ядра и образа. Размерность ядра и образа, __ранг__ линейного отображения. Новое доказательство теоремы о размерности пространства решений ОСЛУ. Геометрическая структура линейного отображения: подпространство, дополнительное к ядру, изоморфно отображается на образ.
     +
     +== Семинар ==
     +
     +Нахождение суммы и пересечения подпространств (35.15г).
     +
     +== Домашнее задание: ==
     +  * 35.15в, 36.3, 36.8;
     +  * Задать системой однородных линейных уравнений сумму подпространств U+W в 4-мерном пространстве V при условии, что подпространства U и W заданы с помощью ОСЛУ:
     +  * {{:staff:timashev:sub1.jpg|}} {{:staff:timashev:sub2.jpg|}}
     +
     +----
     +
     +=== 14 марта 2016 ===
     +
     +== Лекция 5 ==
     +
     +__Линейные операторы__ на векторном пространстве (пример: единичный оператор). Матрица линейного оператора, её преобразование при замене базиса. Алгебра линейных операторов, её изоморфизм с алгеброй квадратных матриц.
     +
     +__Определитель__ и __след__ линейного оператора, их независимость от выбора базиса. Невырожденные линейные операторы, эквивалентные условия невырожденности.
     +
     +__Инвариантные подпространства__ для линейного оператора, вид матрицы оператора в базисе, согласованном с инвариантными подпространствами.
     +
     +__Собственные векторы__ и __собственные значения__ линейного оператора. __Характеристический многочлен__. Наличие собственных векторов у линейного оператора в комплексном векторном пространстве. __Собственные подпространства__, их линейная независимость. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения. Диагонализуемые операторы, эквивалентные условия диагонализуемости. Операторы с простым спектром диагонализуемы.
     +
     +== Семинар ==
     +
     +Нахождение матрицы линейного оператора (39.15вл), её преобразование при замене базиса (39.20). Вычисление коэффициентов характеристического многочлена (40.10). Вычисление собственных значений и нахождение собственных векторов (40.15е)
     +
     +== Домашнее задание: ==
     +  * 39.15ен, 39.19, 40.15бг, 40.5, 40.7, 40.9.
     +
     +----
     +
     +=== 21 марта 2016 ===
     +
     +== Лекция 6 ==
     +
     +Подстановка линейного оператора или матрицы в многочлен. __Теорема Гамильтона–Кэли__ (для линейных операторов в конечномерном комплексном векторном пространстве). Существование инвариантного подпространства размерности ≤2 для линейного оператора в конечномерном вещественном векторном пространстве.
     +
     +__Корневые векторы__ линейного оператора (пример: собственные и корневые векторы оператора дифференцирования в пространстве функций на прямой). __Корневые подпространства__, их свойства: инвариантность, размерность равна алгебраической кратности собственного значения, ограничение оператора на корневое подпространство. Линейная независимость корневых подпространств, разложение векторного пространства в прямую сумму корневых подпространств.
     +
     +== Семинар ==
     +
     +Диагонализумость линейных операторов (40.16а). Нахождение корневых подпространств (40.35а).
     +
     +== Домашнее задание: ==
     +  * 40.16вг, 40.27, 40.35бг, 40.38, 41.8.
     +
     +----
     +
     +=== 28 марта 2016 ===
     +
     +== Лекция 7 ==
     +
     +__Циклические подпространства__ для нильпотентного линейного оператора (пример: циклические подпространства оператора дифференцирования в пространстве многочленов), их свойства: инвариантность, базис и размерность, матрица нильпотентного оператора на циклическом подпространстве — нильпотентная __жорданова клетка__. Разложение векторного пространства в прямую сумму циклических подпространств, жорданов базис и жорданова нормальная форма для нильпотентного оператора. Графическое изображение действия нильпотентного оператора на жордановом базисе с помощью __диаграммы Юнга__.
     +
     +__Жорданова нормальная форма__ (ЖНФ) и __жорданов базис__ (ЖБ) для линейного оператора в комплексном векторном пространстве: существование, единственность ЖНФ с точностью до перестановки жордановых клеток, формулы для количества клеток с заданным собственным значением (всех и данного размера).
     +
     +== Семинар ==
     +
     +Выражение коэффициентов характеристического многочлена через собственные значения линейного оператора, сумма и произведение собственных значений. Нахождение ЖНФ и ЖБ (41.1е).
     +
     +== Домашнее задание: ==
     +  * 41.1ажк, 41.10вг, 41.3а, 41.7, 41.30, 41.13★.
     +
     +----
     +
     +=== 4 апреля 2016 ===
     +
     +== Лекция 8 ==
     +
     +__Билинейные функции__ на векторных пространствах: определение, примеры (скалярное произведение геометрических векторов, определитель матрицы 2×2 как билинейная функция столбцов, след произведения матриц, интеграл произведения функций). Запись билинейных функций в координатах (__билинейные формы__), матрица билинейной функции, её преобразование при замене базиса. Ранг билинейной функции, невырожденные билинейные функции. Линейное отображение в сопряжённое пространство, задаваемое билинейной функцией, его ранг и критерий биективности.
     +
     +__Симметрические__ и __кососимметрические__ билинейные функции, примеры. __Ортогональное дополнение__ к подпространству относительно симметрической или кососимметрической билинейной функции, его свойства, связь с аннулятором.
     +
     +__Квадратичные функции__ на векторном пространстве, ассоциированные с симметрическими билинейными функциями, их запись в координатах (__квадратичные формы__). Восстановление симметрической билинейной функции по ассоциированной квадратичной функции (__формула поляризации__). Канонический вид симметрических билинейных и квадратичных функций, __алгоритм Лагранжа__ приведения к каноническому виду. Угловые миноры матрицы симметрической билинейной (или квадратичной) функции, __метод Якоби__ приведения к каноническому виду.
     +
     +== Семинар ==
     +
     +Приведение квадратичной функции к каноническому виду алгоритмом Лагранжа (38.18а). Приведение симметрической билинейной функции к каноническому виду методом Якоби (38.8б).
     +
     +== Домашнее задание: ==
     +  * 38.18вгз, 38.8а, 38.9, 38.4, 37.6а.
     +
     +----
     +
     +=== 11 апреля 2016 ===
     +
     +== Лекция 9 ==
     +
     +Нормальный вид симметрических билинейных и квадратичных функций над полями **C** и **R**. Сигнатура и индексы инерции квадратичной функции над **R**, __закон инерции__. __Положительно определённые__ симметрические билинейные и квадратичные функции, __критерий Сильвестра__.
     +
     +__Евклидовы__ векторные пространства: определение, примеры (геометрические векторы, **R**^n со стандартным скалярным умножением, конечномерные подпространства в пространстве непрерывных функций на отрезке). Изоморфизм евклидовых пространств. Все евклидовы пространства одной размерности изоморфны друг другу.
     +
     +__Длина__ вектора в евклидовом пространстве, её простейшие свойства. __Неравенство Коши–Буняковского__. Неравенство треугольника. __Угол__ между векторами.
     +
     +__Ортогональность__ векторов в евклидовом пространстве. Обобщённая теорема Пифагора. Ортогональные и ортонормированные базисы, ортогональные системы координат. Ортогональные матрицы, их характеризация как матриц перехода от одного ортонормированного базиса к другому. 
     +
     +Ортогональное дополнение к подпространству в евклиловом пространстве, его свойства. __Ортогональная проекция__ и __ортогональная составляющая__ вектора относительно подпространства.
     +
     +== Семинар ==
     +
     +Эквивалентность квадратичных форм над **R** (38.17а). При каких значениях параметра квадратичная функция положительно определена (38.11б). Нахождение ортогональной проекции и ортогональной составляющей вектора (43.19а)
     +
     +== Домашнее задание: ==
     +  * 38.17б, 38.19а, 38.11в, 38.14а, 43.19б.
     +
     +----
     +
     +=== 18 апреля 2016 ===
     +
     +== Лекция 10 ==
     +
     +__Процесс ортогонализации Грама–Шмидта__ (пример: многочлены Лежандра). __Матрица__ и __определитель Грама__, их свойства. __Расстояние__ между векторами в евклидовом пространстве, его свойства. Расстояние и угол между вектором и подпространством достигаются на ортогональной проекции вектора. Формула для расстояния от вектора до подпространства в терминах определителей Грама. __Объём__ многомерного __параллелепипеда__ в евклидовом пространстве: индуктивное определение, выражение через определитель Грама и через определитель матрицы координат порождающих векторов в ортонормированном базисе. 
     +
     +Взаимно однозначное соответствие между линейными операторами и билинейными функциями на евклидовом пространстве. __Сопряжённый оператор__, его матрица в ортонормированном базисе.
     +
     +== Семинар ==
     +
     +Ортогонализация системы векторов (43.15а). Нахождение расстояния и угла между вектором и подпространством (43.38б). Вычисление объёма параллелепипеда (43.36б). Линейная независимость системы векторов с попарными углами π/3 (43.39).
     +
     +== Домашнее задание: ==
     +  * 43.15б, 43.38а, 43.21б, 43.40, 43.45а (при n=3).
     +
     +----
     +
     +=== 25 апреля 2016 ===
     +
     +== Лекция 11 ==
     +
     +Оператор, сопряжённый к произведению операторов. Ортогональное дополнение к инвариантному подпространству инвариантно относительно сопряжённого оператора. 
     +
     +__Ортогональные операторы__, эквивалентные условия ортогональности, примеры: поворот плоскости и осевая симметрия. Канонический вид матрицы ортогонального оператора. 
     +
     +__Симметрические (самосопряжённые) операторы__. Наличие собственного вектора у симметрического оператора. Канонический вид матрицы симметрического оператора. Приведение симметрических билинейных и квадратичных функций к главным осям. Неотрицательные и положительно определённые симметрические операторы, пример: A*·A, где A — произвольный оператор. Критерий неотрицательности и положительной определённости симметрического оператора в терминах собственных значений. Извлечение квадратного корня из неотрицательного и положительно определённого оператора.
     +
     +__Полярное разложение__ невырожденного линейного оператора в евклидовом пространстве.
     +
     +== Семинар ==
     +
     +Ортогональность собственных подпространств ортогонального или симметрического оператора. Приведение ортогонального оператора к каноническому виду (46.6в). Приведение квадратичной функции к главным осям (45.19и).
     +
     +== Домашнее задание: ==
     +  * 46.6гж, 46.14, 45.19е, 45.4г, 45.14, 45.15★.
     +
     +----
     +
     +=== 16 мая 2016 ===
     +
     +== Лекция 12 ==
     +
     +__Тензоры__: определение, примеры тензоров малых валентностей (скаляры, ковекторы, векторы, билинейные функции, сопоставление линейному оператору тензора типа (1,1)), определитель как тензор типа (n,0). Операции над тензорами: сложение, умножение на скаляры, __тензорное умножение__, их свойства.
     +
     +__Тензорный базис__ пространства тензоров типа (p,q), его размерность. __Компоненты__ тензора, их преобразование при замене координат в основном пространстве. Правило Эйнштейна. Операции над тензорами в координатах. Изоморфизм пространств линейных операторов и тензоров типа (1,1) над основным пространством.
     +
     +__Свёртка__ тензора по паре индексов, её действие на вполне разложимых тензорах, компоненты свёрнутого тензора. Свёртка по нескольким парам индексов. Примеры свёртки (спаривание вектора с ковектором, значение билинейной функции на паре векторов, след линейного оператора, применение оператора к вектору, произведение линейных операторов).
     +
     +== Семинар ==
     +
     +Полярное разложение линейного оператора. Вычисление значений тензоров (47.3а).
     +
     +== Домашнее задание: ==
     +  * 46.16бв (полярное разложение в обоих порядках), 47.3б, 47.4.
     +
     +----
     +
     +=== 23 мая 2016 ===
     +
     +== Лекция 13 ==
     +
     +__Ковариантные__ и __контравариантные__ тензоры. __Симметрические__ и __кососимметрические__ тензоры. Операции симметризации и альтернирования тензоров, их свойства. 
     +
     +__Внешнее умножение__ кососимметрических тензоров, его свойства: антикоммутативность, ассоциативность, внешнее произведение ковекторов, его геометрический смысл. Базис и размерность пространства кососимметрических тензоров данной валентности. 
     +
     +Канонический вид кососимметрической билинейной функции, алгоритм приведения к каноническому виду с использованием внешнего умножения.
     +
     +== Семинар ==
     +
     +Вычисление компонент тензора при переходе к новому базису (47.5). Соответствие между тензорами типа (1,1) и линейными операторами (47.14а). Приведение кососимметрической билинейной функции к каноническому виду (37.33б).
     +
     +== Домашнее задание: ==
     +  * 47.7бв, 47.13, 47.14б, 37.33авг.
     +
     +----
     +
     +== Итоговая контрольная работа: ==
     +26 мая, 18:30, ауд. 14-02.
     +
     +== Зачёты: ==
     +  * 30 мая, 18:30, ауд. 13-03;
     +  * 6 июня, 18:30, ауд. 13-03.
     +
     +----
     +
     +== Экзамен по курсу: ==
     +25 июня, 10:00.
     +
     +== Консультация: ==
     +23 июня, 18:30.
     +
     +{{:staff:timashev:linalg-16.pdf|Программа экзамена}}
    вечерники_1курс_весна_2016.1455618206.txt.gz · Последнее изменение: 08.04.2025 16:42 (внешнее изменение)

  • Показать страницу
  • История страницы
  • Ссылки сюда
  • Недавние изменения