Лектор Гордиенко Алексей Сергеевич

Программа коллоквиума

1) 03.09.2026. Организационные вопросы. Матрицы, сложение матриц и умножение на число. Декартово произведение множеств. Векторные пространства. Примеры: функции, направленные отрезки, матрицы фиксированного размера.

Упражнение. Вывести аксиомы 4-8 векторного пространства для матриц из свойств вещественных чисел.

Умножение матриц.

Упражнение. Из свойств вещественных чисел вывести, что

$A(C+D)=AC+AD$,

$(A+B)C=AC+BC$,

$(\lambda A) C=A(\lambda C)=\lambda(AC)$,

где $A,B,C,D$ - матрицы соответствующих размеров, а $\lambda$ - вещественное число. Некоммутативность умножения матриц. Единичная матрица. Символ Кронекера.

Упражнение. Пусть $A$ - матрица размера $m \times n$. Обозначим через $E_n$ единичную матрицу размера $n \times n$. Доказать, что $A E_n = A$.

2) 04.09.2026. Арифметическое векторное пространство $\mathbb R^n$. Перестановочность символов конечного суммирования. Ассоциативность умножения матриц. Метод математической индукции (напоминание). Вывод обобщённой ассоциативности из обычной. Транспонирование матриц.

Упражнение: $(A+B)^T = A^T+B^T$,

$(\alpha A)^T = \alpha A^T$,

$(AB)^T = B^T A^T$.

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений (с.л.у.). Элементарные преобразования. Ступенчатый и улучшенный ступенчатый вид. Лидеры. Главные и свободные неизвестные. Экзотические уравнения.

3) 07.09.2026. Наличие нетривиального решения у однородной с.л.у., у которой число уравнений больше числа неизвестных. Равенство $0v=0$. Линейная зависимость и её свойства. Основная лемма о линейной зависимости. Базис множества векторов. Существование базиса у множества, которое выражается через конечное число векторов. Подпространство. Линейная оболочка. Базис и размерность подпространства. Корректность определения. Стандартный базис в $\mathbb R^n$.

4) 11.09.2026. Матричные единицы - базис в пространстве матриц. Умножение матричных единиц. Биекция. Обратное отображение. Композиция (=произведение, суперпозиция) отображений.

Упражнение. Докажите, что отображение является биекцией, если и только если к нему существует обратное.

Линейные отображения.

Упражнение. Отображение, обратное к линейному биективному отображению также является линейным, т.е. является изоморфизмом векторных пространств.

Упражнение. Композиция линейных отображений линейна.

Изоморфизм любого $n$-мерного векторного пространства пространству $\mathbb R^n$. Строчный и столбцовый ранги матрицы. Их совпадение (1-я часть теоремы о ранге). Ранг матрицы. Вычисление ранга через приведение матрицы к ступенчатому виду. Ранг транспонированной матрицы. Метод Жордана-Гаусса.

5) 14.09.2026. Фундаментальная система решений однородной с.л.у. Размерность пространства решений однородной с.л.у. Структура множества решений с.л.у. Теорема Кронекера - Капелли. Оценка сверху на ранг произведения матриц. Умножение блочных матриц. Подстановки и перестановки. Группа. Примеры групп. Единственность нейтрального и обратных элементов. Некоммутативность группы $S_n$ при $n\geqslant 3$.

6) 21.09.2026. Сказали, что первые 4 аксиомы в определении векторного пространства означают, что оно - абелева группа по сложению. Циклы и транспозиции. Разложение подстановки в произведение независимых циклов. Инверсии. Знак и чётность подстановки. Гомоморфизм групп.

Упражнение. Показать, что гомоморфизм групп переводит нейтральный элемент в нейтральный, а обратные - в обратные.

Знак произведения подстановок. Знак цикла. Знак подстановки, разложенной в произведение независимых циклов. Разложение подстановки в произведение транспозиций. Подгруппа. Ядро и образ гомоморфизма.

Упражнение. Ядро и образ гомоморфизма - подгруппы.

Знакопеременная группа $A_n$. Разложение чётной подстановки в произведение тройных циклов. Знак обратной подстановки.

(Продолжение следует.)

Лекции по алгебре, 1 семестр

Литература.

1. Кострикин А.И. Введение в алгебру.
2. Курош А.Г. Курс высшей алгебры.
3. Винберг Э.Б. Курс алгебры. (Книга может оказаться сложной для изучения в первой половине семестра, поскольку изложение линейной алгебры ведётся сразу над произвольным полем, а в нашем курсе поля появятся только в середине семестра.)
4. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. (Очень хорошая и интересная книга, можно просто взять и читать, не отрываясь, но терминология достаточно архаичная: например, факторкольцо называется кольцом классов вычетов.)