Лектор Гордиенко Алексей Сергеевич

Программа коллоквиума

1) 03.09.2026. Организационные вопросы. Матрицы, сложение матриц и умножение на число. Декартово произведение множеств. Векторные пространства. Примеры: функции, направленные отрезки, матрицы фиксированного размера.

Упражнение. Вывести аксиомы 4-8 векторного пространства для матриц из свойств вещественных чисел.

Умножение матриц.

Упражнение. Из свойств вещественных чисел вывести, что

$A(C+D)=AC+AD$,

$(A+B)C=AC+BC$,

$(\lambda A) C=A(\lambda C)=\lambda(AC)$,

где $A,B,C,D$ - матрицы соответствующих размеров, а $\lambda$ - вещественное число. Некоммутативность умножения матриц. Единичная матрица. Символ Кронекера.

Упражнение. Пусть $A$ - матрица размера $m \times n$. Обозначим через $E_n$ единичную матрицу размера $n \times n$. Доказать, что $A E_n = A$.

2) 04.09.2026. Арифметическое векторное пространство $\mathbb R^n$. Перестановочность символов конечного суммирования. Ассоциативность умножения матриц. Метод математической индукции (напоминание). Вывод обобщённой ассоциативности из обычной. Транспонирование матриц.

Упражнение: $(A+B)^T = A^T+B^T$,

$(\alpha A)^T = \alpha A^T$,

$(AB)^T = B^T A^T$.

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений (с.л.у.). Элементарные преобразования. Ступенчатый и улучшенный ступенчатый вид. Лидеры. Главные и свободные неизвестные. Экзотические уравнения.

3) 07.09.2026. Наличие нетривиального решения у однородной с.л.у., у которой число уравнений больше числа неизвестных. Равенство $0v=0$. Линейная зависимость и её свойства. Основная лемма о линейной зависимости. Базис множества векторов. Существование базиса у множества, которое выражается через конечное число векторов. Подпространство. Линейная оболочка. Базис и размерность подпространства. Корректность определения. Стандартный базис в $\mathbb R^n$.

4) 11.09.2026. Матричные единицы - базис в пространстве матриц. Умножение матричных единиц. Биекция. Обратное отображение. Композиция (=произведение, суперпозиция) отображений.

Упражнение. Докажите, что отображение является биекцией, если и только если к нему существует обратное.

Линейные отображения.

Упражнение. Отображение, обратное к линейному биективному отображению также является линейным, т.е. является изоморфизмом векторных пространств.

Упражнение. Композиция линейных отображений линейна.

Изоморфизм любого $n$-мерного векторного пространства пространству $\mathbb R^n$. Строчный и столбцовый ранги матрицы. Их совпадение (1-я часть теоремы о ранге). Ранг матрицы. Вычисление ранга через приведение матрицы к ступенчатому виду. Ранг транспонированной матрицы. Метод Жордана-Гаусса.

5) 14.09.2026. Фундаментальная система решений однородной с.л.у. Размерность пространства решений однородной с.л.у. Структура множества решений с.л.у. Теорема Кронекера - Капелли. Оценка сверху на ранг произведения матриц. Умножение блочных матриц. Подстановки и перестановки. Группа. Примеры групп. Единственность нейтрального и обратных элементов. Некоммутативность группы $S_n$ при $n\geqslant 3$.

6) 21.09.2026. Сказали, что первые 4 аксиомы в определении векторного пространства означают, что оно - абелева группа по сложению. Циклы и транспозиции. Разложение подстановки в произведение независимых циклов. Инверсии. Знак и чётность подстановки. Гомоморфизм групп.

Упражнение. Показать, что гомоморфизм групп переводит нейтральный элемент в нейтральный, а обратные - в обратные.

Знак произведения подстановок. Знак цикла. Знак подстановки, разложенной в произведение независимых циклов. Разложение подстановки в произведение транспозиций. Подгруппа. Ядро и образ гомоморфизма.

Упражнение. Ядро и образ гомоморфизма - подгруппы.

Знакопеременная группа $A_n$. Разложение чётной подстановки в произведение тройных циклов. Знак обратной подстановки.

7) 28.09.2026. Дизъюнктное объединение множеств. Разложение $S_n$ в дизъюнктное объединение $A_n$ и $\sigma A_n$, где $\sigma$ - произвольная нечётная подстановка. Определитель матрицы. Определители матриц $1\times 1$, $2\times 2$, $3\times 3$. Определитель верхнетреугольной матрицы. Полилинейные и кососимметричные отображения (эквивалентные определения кососимметричности). Свойства определителя матрицы: линейность, кососимметричность по строкам и столбцам, определитель транспонированной матрицы, определитель единичной матрицы. Поведение определителя при элементарных преобразованиях. Элементарные матрицы и их определители. Определитель и линейная зависимость. Аксиоматическое определение определителя. Определитель произведения матриц.

8) 01.10.2026. Невырожденные матрицы. Определитель с углом нулей.

Упражнение. Показать, что формула вычисления определителя $\det A \det D-\det B \det C$ в общем случае неверна для определителей блочных матриц $$\begin{pmatrix} A B \\ C D \end{pmatrix}$$ даже в случае квадратных блоков $A$, $B$, $C$, $D$ одинакового размера.

Подматрицы. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке и по столбцу. Определитель Вандермонда. Минорный ранг. Теорема о ранге матрицы (2-я часть). Окаймление миноров.

Упражнение. $(ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1}$ для всех $a,b \in G$, где $G$ — произвольная группа.

Обратная матрица. Группы $\mathrm{GL}_n(\mathbb R) $ и $\mathrm{SL}_n(\mathbb R)$.

9) 05.10.2026. Упражнение: $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$.

Нахождение обратной матрицы при помощи элементарных преобразований. Фальшивое разложение определителя. Формула для элементов обратной матрицы. Правило Крамера. Отношение эквивалентности. Фактормножество. Смежные классы по подгруппе. Индекс подгруппы. Теорема Лагранжа. Группа вычетов по модулю $n$.

10) 12.10.2026. Подгруппы, порождённые подмножествами. Циклические группы. Порядок элемента группы. Подгруппы циклических групп.

Упражнение: найти все порождающие в группах $\mathbb Z$ и $\mathbb Z_n$.

Группы простого порядка циклические. Кольца. Ассоциативные, коммутативные кольца, кольца с единицей. Примеры. Кольцо вычетов по модулю $n$. Кольцо квадратных матриц над ассоциативным кольцом с $1$.

(Продолжение следует.)

Лекции по алгебре, 1 семестр

Литература.

1. Кострикин А.И. Введение в алгебру.
2. Курош А.Г. Курс высшей алгебры.
3. Винберг Э.Б. Курс алгебры. (Книга может оказаться сложной для изучения в первой половине семестра, поскольку изложение линейной алгебры ведётся сразу над произвольным полем, а в нашем курсе поля появятся только в середине семестра.)
4. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. (Очень хорошая и интересная книга, можно просто взять и читать, не отрываясь, но терминология достаточно архаичная: например, факторкольцо называется кольцом классов вычетов.)