Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- лекции_1_курс_141_142_группы_осень_2026 [03.09.2026 13:32]
gordienko
+++ лекции_1_курс_141_142_группы_осень_2026 [13.10.2026 07:26] (текущий)
gordienko
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 ==== Алгебра, 1 семестр, лекции, мехмат МГУ, 141 и 142 группы, осенний семестр 2026/2027 ====
 **Лектор [[:staff:gordienko|Гордиенко Алексей Сергеевич]]**
+**[[https://disk.yandex.ru/i/NzUh_o02bVsD-g|Программа коллоквиума]]**
 ) **03.09.2026.** Организационные вопросы. Матрицы, сложение матриц и умножение на число. Декартово произведение множеств. Векторные пространства. Примеры: функции, направленные отрезки, матрицы фиксированного размера.
@@ Строка 19: / Строка 21: @@
 Некоммутативность умножения матриц.
  Единичная матрица. Символ Кронекера.
+ __Упражнение.__ Пусть $A$ - матрица размера $m \times n$. Обозначим через $E_n$ единичную матрицу размера $n \times n$. Доказать, что $A E_n = A$.
+) **04.09.2026.**
+ Арифметическое векторное пространство $\mathbb R^n$.
+Перестановочность символов конечного суммирования. Ассоциативность умножения матриц. Метод математической индукции (напоминание). Вывод обобщённой ассоциативности из обычной. Транспонирование матриц.
+__Упражнение:__ $(A+B)^T = A^T+B^T$,
+$(\alpha A)^T = \alpha A^T$,
+$(AB)^T = B^T A^T$.
+Метод Гаусса решения систем линейных уравнений (с.л.у.). Элементарные преобразования. Ступенчатый и улучшенный ступенчатый вид. Лидеры. Главные и свободные неизвестные. Экзотические уравнения.
+) **07.09.2026.**
+Наличие нетривиального решения у однородной с.л.у., у которой число уравнений больше числа неизвестных.
+ Равенство $0v=0$.
+Линейная зависимость и её свойства. Основная лемма о линейной зависимости. Базис множества векторов. Существование базиса у множества, которое выражается через конечное число векторов. Подпространство. Линейная оболочка. Базис и размерность подпространства. Корректность определения. Стандартный базис в $\mathbb R^n$.
+) **11.09.2026.** Матричные единицы - базис в пространстве матриц. Умножение матричных единиц. Биекция. Обратное отображение. Композиция (=произведение, суперпозиция) отображений.
+__Упражнение.__ Докажите, что отображение является биекцией, если и только если к нему существует обратное.
+Линейные отображения.
+__Упражнение.__ Отображение, обратное к линейному биективному отображению также является линейным, т.е. является изоморфизмом векторных пространств.
+__Упражнение.__ Композиция линейных отображений линейна.
+Изоморфизм любого $n$-мерного векторного пространства пространству $\mathbb R^n$. Строчный и столбцовый ранги матрицы. Их совпадение (1-я часть теоремы о ранге). Ранг матрицы. Вычисление ранга через приведение матрицы к ступенчатому виду. Ранг транспонированной матрицы. Метод Жордана-Гаусса.
+) **14.09.2026.** Фундаментальная система решений однородной с.л.у. Размерность пространства решений однородной с.л.у. Структура множества решений с.л.у.
+ Теорема Кронекера - Капелли. Оценка сверху на ранг произведения матриц. Умножение блочных матриц. Подстановки и перестановки. Группа. Примеры групп. Единственность нейтрального и обратных элементов.
+Некоммутативность группы  $S_n$ при $n\geqslant 3$.
+) **21.09.2026.** Сказали, что первые 4 аксиомы в определении векторного пространства означают, что оно - абелева группа по сложению. Циклы и транспозиции. Разложение подстановки в произведение независимых циклов. Инверсии. Знак и чётность подстановки. Гомоморфизм групп.
+__Упражнение.__ Показать, что гомоморфизм групп переводит нейтральный элемент в нейтральный, а обратные - в обратные.
+Знак произведения подстановок. Знак цикла. Знак подстановки, разложенной в произведение независимых циклов. Разложение подстановки в произведение транспозиций. Подгруппа. Ядро и образ гомоморфизма.
+__Упражнение.__ Ядро и образ гомоморфизма - подгруппы.
+Знакопеременная группа $A_n$. Разложение чётной подстановки в произведение тройных циклов. Знак обратной подстановки.
+) **28.09.2026.** Дизъюнктное объединение множеств. Разложение $S_n$ в дизъюнктное объединение $A_n$ и $\sigma A_n$, где $\sigma$ - произвольная нечётная подстановка.
+ Определитель матрицы. Определители матриц $1\times 1$, $2\times 2$, $3\times 3$.
+ Определитель верхнетреугольной матрицы. Полилинейные и кососимметричные отображения (эквивалентные определения кососимметричности). Свойства определителя матрицы: линейность, кососимметричность по строкам и столбцам, определитель транспонированной матрицы, определитель единичной матрицы.  Поведение определителя при элементарных преобразованиях. Элементарные матрицы и их определители. Определитель и линейная зависимость.  Аксиоматическое определение определителя. Определитель произведения матриц.
+) ** 01.10.2026.**
+Невырожденные матрицы. Определитель с углом нулей.
+__Упражнение.__ Показать, что формула вычисления определителя $\det A \det D-\det B \det C$ в общем случае неверна для определителей блочных матриц
+ $$\begin{pmatrix} A B  \\
+ C D \end{pmatrix}$$
+даже в случае квадратных блоков $A$, $B$, $C$, $D$ одинакового размера.
+Подматрицы. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке и по столбцу. Определитель Вандермонда. Минорный ранг. Теорема о ранге матрицы (2-я часть). Окаймление миноров.
+__Упражнение.__ $(ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1}$ для всех $a,b \in G$, где $G$ --- произвольная группа.
+Обратная матрица. Группы $\mathrm{GL}_n(\mathbb R) $ и $\mathrm{SL}_n(\mathbb R)$.
+) **05.10.2026.** __Упражнение:__ $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$.
+Нахождение обратной матрицы при помощи элементарных преобразований.  Фальшивое разложение определителя. Формула для элементов обратной матрицы. Правило Крамера. Отношение эквивалентности. Фактормножество. Смежные классы по подгруппе. Индекс подгруппы. Теорема Лагранжа.
+Группа вычетов по модулю $n$.
+) **12.10.2026.**  Подгруппы, порождённые подмножествами. Циклические группы. Порядок элемента группы. Подгруппы циклических групп.
+__Упражнение:__ найти все порождающие в группах $\mathbb Z$ и $\mathbb Z_n$.
+Группы простого порядка циклические. Кольца. Ассоциативные, коммутативные кольца, кольца с единицей. Примеры. Кольцо вычетов по модулю $n$. Кольцо квадратных матриц над ассоциативным кольцом с $1$.
 (Продолжение следует.)