| Предыдущая версия справа и слева
Предыдущая версия
Следующая версия
|
Предыдущая версия
|
лекции_1_курс_1_поток_осень_2016 [27.10.2016 21:00]
timashev |
лекции_1_курс_1_поток_осень_2016 [08.04.2025 16:43] (текущий)
|
| |
| Лекции проходят **по понедельникам** на **2**-й паре (10:45-12:20) в ауд. **П4** и **по средам** на каждой //чётной// неделе на **3**-й паре (13:15-14:50) в ауд. **П11**. | Лекции проходят **по понедельникам** на **2**-й паре (10:45-12:20) в ауд. **П4** и **по средам** на каждой //чётной// неделе на **3**-й паре (13:15-14:50) в ауд. **П11**. |
| |
| <fc #FF0000>**Замена лекций:**</fc> вместо лекций по теории чисел **20**, **27 октября** и **17 ноября** (четверг) на **3**-й паре (13:15-14:50) в ауд. **П4** пройдут лекции по алгебре. Вместо лекций по алгебре **31 октября** (понедельник), **2** (среда) и **7 ноября** (понедельник) пройдут лекции по теории чисел. | |
| |
| == Литература == | == Литература == |
| __Многочлены__: неформальное определение, функциональная точка зрения на многочлены, её недостаток на примере поля вычетов **Z**_p (разные многочлены x и x^p задают одинаковые функции). Аксиоматическое определение кольца многочленов K[x] от одной переменной над коммутативным ассоциативным кольцом с единицей K (как коммутативного ассоциативного кольца с единицей K[x]⊃K, содержащего элемент x∉K, в виде линейной комбинации степеней которого с коэффициентами из K однозначно представляется любой элемент кольца K[x]). Единственность кольца многочленов с точностью до изоморфизма. | __Многочлены__: неформальное определение, функциональная точка зрения на многочлены, её недостаток на примере поля вычетов **Z**_p (разные многочлены x и x^p задают одинаковые функции). Аксиоматическое определение кольца многочленов K[x] от одной переменной над коммутативным ассоциативным кольцом с единицей K (как коммутативного ассоциативного кольца с единицей K[x]⊃K, содержащего элемент x∉K, в виде линейной комбинации степеней которого с коэффициентами из K однозначно представляется любой элемент кольца K[x]). Единственность кольца многочленов с точностью до изоморфизма. |
| |
| | ---- |
| | |
| | === 14 ноября 2016 === |
| | |
| | == Лекция 15 == |
| | |
| | Модель кольца многочленов — множество K^∞ финитных последовательностей элементов кольца K. |
| | |
| | __Целостные кольца__ (__области целостности__). Кольцо многочленов над областью целостности целостно. Аддитивность степени многочлена. Обратимые элементы в кольце многочленов над областью целостности. |
| | |
| | Многочлены над полем и полиномиальные функции. __Задача о (полиномиальной) интерполяции__. Теорема об интерполяции, интерполяционная формула Лагранжа. Эквивалентность формального и функционального равенства многочленов над бесконечным полем. Число различных корней многочлена не превосходит его степени. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 16 ноября 2016 === |
| | |
| | == Лекция 16 == |
| | |
| | __Деление с остатком__ в кольце многочленов. Теорема Безу. Корни многочленов, __кратность__ корня, простые и кратные корни. Число корней многочлена, с учётом их кратностей, не превосходит его степени. |
| | |
| | __Производная__ многочлена, её свойства. Высшие производные. Связь кратности корня со значениями производных. |
| | |
| | Разложение многочлена по степеням линейного двучлена. __Формула Тейлора__. |
| | |
| | Делимость в целостных кольцах. Ассоциированные элементы. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 17 ноября 2016 === |
| | |
| | == Лекция 17 == |
| | |
| | __Наибольший общий делитель__ (НОД) двух элементов целостного кольца, его единственность с точностью до ассоциированности. __Евклидовы кольца__, примеры. Существование НОД в евклидовом кольце, __алгоритм Евклида__ для его нахождения. Линейное выражение НОД через исходные элементы. |
| | |
| | __Простые элементы__ целостного кольца, примеры: простые числа и __неприводимые многочлены__. Разложение элемента евклидова кольца на простые множители, его единственность с точностью до перестановки множителей и ассоциированности. __Факториальные кольца__, факториальность евклидовых колец. Выяснение делимости элементов факториального кольца друг на друга, нахождение их НОД и НОК в терминах разложения на простые множители. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 21 ноября 2016 === |
| | |
| | == Лекция 18 == |
| | |
| | Неприводимость многочлена зависит от поля коэффициентов. Многочлены 1-й степени неприводимы над любым полем. Неприводимые многочлены степени >1 не имеют корней (над данным полем). |
| | |
| | __Основная теорема алгебры комплексных чисел__ (ОТА): любой многочлен положительной степени над полем **C** имеет комплексный корень. Её следствия: неприводимые многочлены над полем **C** — это многочлены 1-й степени, разложение многочлена над полем **C** на линейные множители, число комплексных корней многочлена, с учётом кратностей, равно степени многочлена. Алгебраически замкнутые поля. |
| | |
| | Основные понятия и факты математического анализа над полем **C**: ε-окрестности, пределы последовательностей и функций, непрерывность, существование минимума **R**-значной непрерывной функции на компакте. Лемма о неограниченном возрастании модуля многочлена. Лемма Д'Алабмера. Доказательство ОТА. |
| | |
| | Комплексные корни многочлена с действительными коэффициентами, их разбиение на пары сопряжённых друг другу корней одинаковой кратности. Разложение многочлена над неприводимые множители (линейные и квадратичные с отрицательным дискриминантом) над полем **R**. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 28 ноября 2016 === |
| | |
| | == Лекция 19 == |
| | |
| | Проблема приближённого вычисления действительных (комплексных) корней многочлена сводится к нахождению количества корней в заданном интервале (заданной области). Теорема Декарта (правило знаков), оценка числа действительных корней (с учётом кратности) по одну сторону от заданной границы. Избавление от кратных корней (над полем характеристики 0). |
| | |
| | __Поле дробей__ целостного кольца. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 30 ноября 2016 === |
| | |
| | == Лекция 20 == |
| | |
| | Поле рациональных дробей K(x). Интерпретация рациональных дробей как функций. |
| | |
| | __Несократимые дроби__. Представление элемента поля K(x) несократимой дробью, его единственность. |
| | |
| | __Правильные дроби__. Представление рациональной дроби в виде суммы многочлена и правильной дроби, его единственность. |
| | |
| | __Простейшие дроби__, их описание над полями **C** и **R**. Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей. |
| | |
| | Кольцо K[x_1,...,x_n] __многочленов от нескольких переменных__ над ассоциативным коммутативным кольцом K с единицей: аксиоматическое определение, единственность с точностью до изоморфизма, индуктивное построение. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 5 декабря 2016 === |
| | |
| | == Лекция 21 == |
| | |
| | Полиномиальные функции от нескольких переменных. Эквивалентность формального и функционального равенства многочленов от нескольких переменных над бесконечным полем. |
| | |
| | Степень одночлена и многочлена (полная и по отдельным переменным), __однородные многочлены__, разложение многочлена в сумму однородных компонент. |
| | |
| | __Лексикографический порядок__ на одночленах, его свойства. __Старший член__ ненулевого многочлена. Старший член произведения многочленов над целостным кольцом K, целостность кольца K[x_1,...,x_n]. |
| | |
| | Многочлены от одной переменной над факториальным кольцом A, __примитивные многочлены__, лемма Гаусса. Факториальность кольца многочленов A[x], факториальность колец **Z**[x] и K[x_1,...,x_n], где K — поле. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 12 декабря 2016 === |
| | |
| | == Лекция 22 == |
| | |
| | __Симметрические многочлены__: определение и примеры. Степенные суммы и элементарные симметрические многочлены. |
| | |
| | Теорема Виета: выражение значений элементарных симметрических многочленов на корнях многочлена от одной переменной через его коэффициенты. |
| | |
| | Основная теорема о симметрических многочленах: существование и единственность выражения произвольного симметрического многочлена через элементарные симметрические многочлены. |
| | |
| | Выражение значения симметрического многочлена на корнях многочлена от одной переменной через его коэффициенты. |
| | |
| | __Дискриминант__ многочлена от одной переменной, его основное свойство: дискриминант равен 0 тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратные корни. Вычисление дискриминанта через определитель из степенных сумм корней многочлена. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 14 декабря 2016 === |
| | |
| | == Лекция 23 == |
| | |
| | Инвариантность дискриминанта относительно сдвига переменной на константу, сведение к дискриминанту неполного многочлена. Дискриминант неполного кубического трёхчлена, его связь с количеством вещественных корней. |
| | |
| | __Результант__ двух многочленов от одной переменной, его свойства, вычисление результанта через определитель из коэффициентов многочленов. Связь дискриминанта многочлена c результантом многочлена и его производной. |
| | |
| | Возведение элемента группы в целую степень, свойства степени. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 19 декабря 2016 === |
| | |
| | == Лекция 24 == |
| | |
| | __Порядок__ элемента группы, его свойства. Пример: порядок подстановки. |
| | |
| | Циклическая подгруппа, порождённая элементом группы, __циклические группы__, примеры: аддитивные группы колец **Z** и **Z**_m. Порядок циклической группы, все циклические группы одного порядка изоморфны (пример: группа комплексных корней степени m из 1 изоморфна **Z**_m). Описание подгрупп циклической группы. |
| | |
| | Смежность элементов группы G слева по подгруппе H — отношение эквивалентности. Левые __смежные классы__ в G по H, __индекс__ подгруппы. Пример: смежность и смежные классы в **Z** по m**Z**. Смежность справа и правые смежные классы. |
| | |
| | __Теорема Лагранжа__ о подгруппах в конечных группах и её следствия: порядок подгруппы и порядок элемента делят порядок группы, тождество g^n=e в группе порядка n. Теорема Эйлера о вычетах. |
