Кафедра высшей алгебры

Лектор: Д.А.Тимашёв

Лекции читаются дистанционно в Zoom на 1-й паре (9:00-10:35) по вторникам на каждой чётной неделе и по пятницам на каждой неделе.

1. А.И.Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры.
2. Э.Б.Винберг. Курс алгебры.

Системы линейных уравнений (СЛУ) и их решения. Совместные и несовместные, определённые и неопределённые СЛУ. Матрица коэффициентов и расширенная матрица системы.

Элементарные преобразования систем линейных уравнений и их матриц. Элементарное преобразование приводит к эквивалентной СЛУ.

Метод Гаусса решения СЛУ: ведущие элементы (лидеры) строк матрицы, приведение к ступенчатому и улучшенному ступенчатому виду, ранг ступенчатой матрицы, анализ ступенчатой СЛУ, главные и свободные неизвестные, общее решение системы. Критерий совместности и определённости СЛУ в терминах рангов ступенчатых матриц. Преимущество улучшенного ступенчатого вида. Пример решения СЛУ методом Гаусса.

Видеозапись лекции

Однородные системы линейных уравнений (ОСЛУ), их совместность. ОСЛУ с числом уравнений меньше числа неизвестных имеет ненулевое решение.

Векторные пространства (вещественные): определение, примеры (геометрические векторы, арифметическое пространство R^n, пространство функций на множестве), простейшие следствия аксиом (единственность нулевого и противоположного векторов, умножение вектора на 0 и -1, умножение нулевого вектора на число).

Линейные комбинации векторов, их значения, тривиальная комбинация. Линейная зависимость, примеры (случай одного и двух векторов). Свойства линейной зависимости: сохранение линейной зависимости/независимости при увеличении/уменьшении системы векторов, эквивалентное определение (один из векторов системы линейно выражается через остальные), однозначное выражение вектора, добавление которого делает систему линейно зависимой. Основная лемма о линейной зависимости. Обобщение на бесконечные системы векторов.

Видеозапись лекции

Эквивалентность условий максимальности линейно независимой подсистемы в системе векторов и выражаемости остальных векторов системы через эту подсистему. Базис системы векторов: определение, примеры — базисы в пространствах геометрических векторов, стандартный базис в R^n. Координаты вектора в базисе, пример: координаты в стандартном базисе пространства R^n.

Любая система векторов в R^n имеет базис, и во всех базисах одинаковое число векторов (≤n). Ранг системы векторов и размерность векторного пространства. Отождествление произвольного n-мерного пространства с R^n.

Горизонтальный, вертикальный и ступенчатый ранги матрицы. Транспонированная матрица. Теорема о совпадении трёх видов ранга матрицы.

Видеозапись лекции

Свойства ранга матрицы: не превосходит каждого из размеров матрицы, не меняется при элементарных преобразованиях строк и столбцов и при транспонировании.

Теорема Кронекера–Капелли и критерий определённости СЛУ в терминах рангов её матрицы коэффициентов и расширенной матрицы.

Подпространства в векторном пространстве: определение и примеры. Линейная оболочка системы векторов. Пространство решений ОСЛУ, его размерность, фундаментальная система решений.

Структура множества решений произвольной СЛУ (сдвиг пространства решений ассоциированной ОСЛУ на фиксированный вектор — линейное многообразие в R^n), её геометрический смысл.

Видеозапись лекции

Линейные отображения векторных пространств: определение, геометрические примеры (поворот плоскости, проекция пространства на плоскость). Линейные отображения арифметических векторных пространств и их матрицы. Интерпретация СЛУ на языке линейных отображений.

Алгебраические операции над линейными отображениями и матрицами (сложение и умножение, умножение на числа). Матричная запись линейных отображений и СЛУ. Свойства матричных операций: коммутативность и ассоциативность сложения, ассоциативность и дистрибутивность умножения матриц на числа и между собой, некоммутативность умножения матриц, нулевая и противоположная матрицы, умножение на 0 и на 1. Векторное пространство матриц размера m×n.

Видеозапись лекции

Матричные операции и транспонирование.

Ранг произведения матриц.

Тождественное отображение и единичная матрица. Символы Кронекера. Обратная матрица: определение, единственность, связь с обратным линейным отображением. Произведение обратимых матриц обратимо. Невырожденные квадратные матрицы. Матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырождена. Алгоритм нахождения обратной матрицы (с примером).

Элементарные матрицы, их основное свойство.

Видеозапись лекции

Обратимость элементарных матриц. Разложение произвольной невырожденной матрицы в произведение элементарных матриц.

Перестановки, их количество. Подстановки степени n, их двухрядная запись. Взаимно однозначное соответствие между перестановками и подстановками, количество подстановок степени n равно n!.

Умножение подстановок, его ассоциативность. Тождественная подстановка и подстановка, обратная к данной. Некоммутативность умножения подстановок.

Циклические подстановки (циклы), их орбиты, однорядная запись цикла. Независимость циклов, разложение произвольной подстановки в произведение независимых циклов, его единственность (с точностью до порядка сомножителей).

Видеозапись лекции

Транспозиции, разложение произвольной подстановки в произведение транспозиций.

Инверсии в перестановке, чётность и знак перестановки и подстановки. Изменение чётности перестановки при транспозиции двух её элементов. Количество чётных и нечётных перестановок n элементов (или подстановок степени n) одинаково и равно n!/2. Определение знака подстановки по числу сомножителей в её разложении на транспозиции. Знак произведения подстановок. Знак обратной подстановки.

Определители квадратных матриц: определение по развёрнутой формуле. Свойства определителя как функции от набора строк матрицы: полилинейность, кососимметричность, определитель матрицы с нулевой строкой, с одинаковыми и с пропорциональными строками, неизменность при элементарных преобразованиях 1-го типа.

Определитель транспонированной матрицы, свойства определителя как функции от набора столбцов.

Определитель треугольной матрицы. Метод вычисления определителя приведением матрицы к треугольному виду.

Видеозапись лекции

Определитель матрицы — единственная, с точностью до пропорциональности, полилинейная кососимметрическая функция от её строк.

Квадратная матрица невырождена тогда и только тогда, когда её определитель не равен 0.

Определитель матрицы с углом нулей. Определитель Вандермонда, его основное свойство. Определитель произведения матриц.

Миноры прямоугольной матрицы. Дополнительный минор и алгебраическое дополнение к элементу квадратной матрицы. Разложение определителя по строке и по столбцу. Лемма о фальшивом разложении определителя.

Видеозапись лекции

Присоединённая матрица, её основное свойство. Формула для обратной матрицы. Пример: формула для обратной к матрице размера 2×2.

Правило Крамера для решения квадратных СЛУ.

Теорема о ранге матрицы (его совпадение с наибольшим порядком ненулевого минора), метод окаймляющих миноров для вычисления ранга матрицы.

Видеозапись лекции

Группы: определение, единственность нейтрального и обратного элемента.

Примеры групп (в т.ч. симметрическая группа S_n). Абелевы группы. Сравнение мультипликативной и аддитивной терминологий в теории групп. Подгруппы: определение и примеры (в т.ч. знакопеременная группа A_n).

Кольца: определение, аддитивная группа кольца. Классы колец: ассоциативные, коммутативные, кольца с единицей. Примеры колец (кольцо целых чисел Z, кольцо квадратных матриц Mat_n, кольцо геометрических векторов в пространстве с векторным умножением). Простейшие следствия аксиом кольца (единственность 0, 1 и противоположного элемента, умножение на 0 и на -1).

Обратимые элементы в ассоциативных кольцах с единицей, примеры: 1 обратима, 0 не обратим в кольцах с числом элементов >1. Мультипликативная группа кольца, примеры (в т.ч. полная матричная группа GL_n).

Делители нуля, их необратимость. Возможность сокращения на множитель, не являющийся делителем нуля.

Поля: определение и примеры. Подкольца и подполя: определение и примеры (Z⊂Q⊂R). Перенос теории линейных уравнений, векторов, матриц и определителей с поля R на произвольное поле.

Видеозапись лекции

Сравнимость целых чисел по модулю m, классы вычетов. Операции над вычетами, корректность их определения. Кольцо вычетов Z_m.

Делители нуля и обратимые элементы в кольцах вычетов. Z_m — поле тогда и только тогда, когда m — простое число.

Характеристика поля, примеры. Если характеристика поля положительна, то это простое число. Возведение суммы в степень, равную характеристике поля. Малая теорема Ферма.

Комплексные числа: аксиоматическое определение поля C, как минимального расширения поля R, содержащего квадратный корень из -1. Алгебраическая форма записи комплексных чисел: существование и единственность, действительная и мнимая части комплексного числа.

Видеозапись лекции

Понятие изоморфизма математических структур. Изоморфизм групп, колец и полей (пример: изоморфизм групп (R,+)≅(R^+,•)). Единственность поля комплексных чисел с точностью до изоморфизма. Модель поля комплексных чисел: C=R^2.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел как точек или векторов на координатной плоскости. Геометрический смысл операций сложения и вычитания комплексных чисел. Модуль комплексного числа и сопряжённое число, их геометрический смысл, свойства операции сопряжения. Деление комплексных чисел в алгебраической форме.

Видеозапись лекции

Аргумент комплексного числа, его главная ветвь. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел, её экспоненциальная версия. Свойства модуля и аргумента комплексного числа, умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме, геометрический смысл этих операций, формула Муавра.

Извлечение корней из комплексных чисел. Корни из единицы, первообразные корни.

Многочлены: неформальное определение, функциональная точка зрения на многочлены, её недостаток на примере поля вычетов Z_p (разные многочлены x и x^p задают одинаковые функции). Аксиоматическое определение кольца многочленов K[x] от одной переменной над коммутативным ассоциативным кольцом с единицей K (как коммутативного ассоциативного кольца с единицей K[x]⊃K, содержащего элемент x∉K, в виде линейной комбинации степеней которого с коэффициентами из K однозначно представляется любой элемент кольца K[x]).

Видеозапись лекции

Единственность кольца многочленов с точностью до изоморфизма. Модель кольца многочленов — множество K^∞ финитных последовательностей элементов кольца K.

Целостные кольца (области целостности). Кольцо многочленов над областью целостности целостно. Аддитивность степени многочлена. Обратимые элементы в кольце многочленов над областью целостности.

Многочлены над полем и полиномиальные функции. Задача о (полиномиальной) интерполяции. Теорема об интерполяции, интерполяционная формула Лагранжа.

Видеозапись лекции

Эквивалентность формального и функционального равенства многочленов над бесконечным полем.

Деление с остатком в кольце многочленов. Теорема Безу. Корни многочленов, кратность корня, простые и кратные корни. Число корней многочлена, с учётом их кратностей, не превосходит его степени.

Производная многочлена, её свойства. Высшие производные. Связь кратности корня со значениями производных.

Разложение многочлена по степеням линейного двучлена. Формула Тейлора.

Видеозапись лекции

Делимость в целостных кольцах. Ассоциированные элементы. Наибольший общий делитель (НОД) двух элементов целостного кольца, его единственность с точностью до ассоциированности. Евклидовы кольца, примеры. Существование НОД в евклидовом кольце, алгоритм Евклида для его нахождения. Линейное выражение НОД через исходные элементы.

Простые элементы целостного кольца, примеры: простые числа и неприводимые многочлены. Разложение элемента евклидова кольца на простые множители, его единственность с точностью до перестановки множителей и ассоциированности. Факториальные кольца, факториальность евклидовых колец. Выяснение делимости элементов факториального кольца друг на друга, нахождение их НОД и НОК в терминах разложения на простые множители.

Видеозапись лекции

Пример нефакториального целостного кольца.

Неприводимость многочлена зависит от поля коэффициентов. Многочлены 1-й степени неприводимы над любым полем. Неприводимые многочлены степени >1 не имеют корней (над данным полем).

Основная теорема алгебры комплексных чисел (ОТА): любой многочлен положительной степени над полем C имеет комплексный корень. Её следствия: неприводимые многочлены над полем C — это многочлены 1-й степени, разложение многочлена над полем C на линейные множители, число комплексных корней многочлена, с учётом кратностей, равно степени многочлена. Алгебраически замкнутые поля.

Основные понятия и факты математического анализа над полем C: ε-окрестности, пределы последовательностей и функций, непрерывность, существование минимума R-значной непрерывной функции на компакте. Лемма о неограниченном возрастании модуля многочлена. Лемма Д'Алабмера. Доказательство ОТА.

Комплексные корни многочлена с действительными коэффициентами, их разбиение на пары сопряжённых друг другу корней одинаковой кратности. Разложение многочлена над неприводимые множители (линейные и квадратичные с отрицательным дискриминантом) над полем R.

Видеозапись лекции

Проблема приближённого вычисления действительных (комплексных) корней многочлена сводится к нахождению количества корней в заданном интервале (заданной области). Теорема Декарта (правило знаков), оценка числа действительных корней (с учётом кратности) по одну сторону от заданной границы. Избавление от кратных корней (над полем характеристики 0).

Дроби над целостным кольцом как классы эквивалентности пар элементов кольца, определение алгебраических операций над дробями.

Видеозапись лекции

Свойства алгебраических операций над дробями, поле дробей целостного кольца.

Поле рациональных дробей K(x). Интерпретация рациональных дробей как функций.

Несократимые дроби. Представление элемента поля K(x) несократимой дробью, его единственность.

Правильные дроби. Представление рациональной дроби в виде суммы многочлена и правильной дроби, его единственность.

Простейшие дроби, их описание над полями C и R. Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей.

Кольцо K[x_1,…,x_n] многочленов от нескольких переменных над ассоциативным коммутативным кольцом K с единицей: аксиоматическое определение, существование и единственность с точностью до изоморфизма (без доказательства).

Видеозапись лекции

Доказательство существования кольца многочленов от нескольких переменных (путём индуктивного построения) и его единственности (с точностью до изоморфизма).

Полиномиальные функции от нескольких переменных. Эквивалентность формального и функционального равенства многочленов от нескольких переменных над бесконечным полем.

Степень одночлена и многочлена (полная и по отдельным переменным), однородные многочлены, разложение многочлена в сумму однородных компонент.

Лексикографический порядок на одночленах, его свойства. Старший член ненулевого многочлена. Старший член произведения многочленов над целостным кольцом K, целостность кольца K[x_1,…,x_n].

Многочлены от одной переменной над факториальным кольцом A, примитивные многочлены, лемма Гаусса. Факториальность кольца многочленов A[x], факториальность колец Z[x] и K[x_1,…,x_n], где K — поле.

Видеозапись лекции

Симметрические многочлены: определение и примеры. Степенные суммы и элементарные симметрические многочлены.

Теорема Виета: выражение значений элементарных симметрических многочленов на корнях многочлена от одной переменной через его коэффициенты.

Основная теорема о симметрических многочленах: существование и единственность выражения произвольного симметрического многочлена через элементарные симметрические многочлены.

Выражение значения симметрического многочлена на корнях многочлена от одной переменной через его коэффициенты.

Дискриминант многочлена от одной переменной, его основное свойство: дискриминант равен 0 тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратные корни. Вычисление дискриминанта через определитель из степенных сумм корней многочлена.

Видеозапись лекции

Инвариантность дискриминанта относительно сдвига переменной на константу, сведение к дискриминанту неполного многочлена. Дискриминант неполного кубического трёхчлена, его связь с количеством вещественных корней.

Результант двух многочленов от одной переменной, его свойства, вычисление результанта через определитель из коэффициентов многочленов. Связь дискриминанта многочлена c результантом многочлена и его производной.

Видеозапись лекции

Возведение элемента группы в целую степень, свойства степени.

Порядок элемента группы, его свойства. Пример: порядок подстановки.

Циклическая подгруппа, порождённая элементом группы, циклические группы, примеры: аддитивные группы колец Z и Z_m. Порядок циклической группы, все циклические группы одного порядка изоморфны (пример: группа комплексных корней степени m из 1 изоморфна Z_m). Описание подгрупп циклической группы.

Смежность элементов группы G слева по подгруппе H — отношение эквивалентности. Левые смежные классы в G по H, индекс подгруппы. Пример: смежность и смежные классы в Z по mZ. Смежность справа и правые смежные классы.

Теорема Лагранжа о подгруппах в конечных группах и её следствия: порядок подгруппы и порядок элемента делят порядок группы, тождество g^n=e в группе порядка n. Теорема Эйлера о вычетах.

Видеозапись лекции