Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- лекции_1_курс_1_поток_осень_2016 [19.11.2016 15:59]
timashev
+++ лекции_1_курс_1_поток_осень_2016 [08.04.2025 16:43] (текущий)
@@ Строка 235: / Строка 235: @@
 __Простые элементы__ целостного кольца, примеры: простые числа и __неприводимые многочлены__. Разложение элемента евклидова кольца на простые множители, его единственность с точностью до перестановки множителей и ассоциированности. __Факториальные кольца__, факториальность евклидовых колец. Выяснение делимости элементов факториального кольца друг на друга, нахождение их НОД и НОК в терминах разложения на простые множители.
+----
+=== 21 ноября 2016 ===
+== Лекция 18 ==
+Неприводимость многочлена зависит от поля коэффициентов. Многочлены 1-й степени неприводимы над любым полем. Неприводимые многочлены степени >1 не имеют корней (над данным полем).
+__Основная теорема алгебры комплексных чисел__ (ОТА): любой многочлен положительной степени над полем **C** имеет комплексный корень. Её следствия: неприводимые многочлены над полем **C** — это многочлены 1-й степени, разложение многочлена над полем **C** на линейные множители, число комплексных корней многочлена, с учётом кратностей, равно степени многочлена. Алгебраически замкнутые поля.
+Основные понятия и факты математического анализа над полем **C**: ε-окрестности, пределы последовательностей и функций, непрерывность, существование минимума **R**-значной непрерывной функции на компакте. Лемма о неограниченном возрастании модуля многочлена. Лемма Д'Алабмера. Доказательство ОТА.
+Комплексные корни многочлена с действительными коэффициентами, их разбиение на пары сопряжённых друг другу корней одинаковой кратности. Разложение многочлена над неприводимые множители (линейные и квадратичные с отрицательным дискриминантом) над полем **R**.
+----
+=== 28 ноября 2016 ===
+== Лекция 19 ==
+Проблема приближённого вычисления действительных (комплексных) корней многочлена сводится к нахождению количества корней в заданном интервале (заданной области). Теорема Декарта (правило знаков), оценка числа действительных корней (с учётом кратности) по одну сторону от заданной границы. Избавление от кратных корней (над полем характеристики 0).
+__Поле дробей__ целостного кольца.
+----
+=== 30 ноября 2016 ===
+== Лекция 20 ==
+Поле рациональных дробей K(x). Интерпретация рациональных дробей как функций.
+__Несократимые дроби__. Представление элемента поля K(x) несократимой дробью, его единственность.
+__Правильные дроби__. Представление рациональной дроби в виде суммы многочлена и правильной дроби, его единственность.
+__Простейшие дроби__, их описание над полями **C** и **R**. Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей.
+Кольцо K[x_1,...,x_n] __многочленов от нескольких переменных__ над ассоциативным коммутативным кольцом K с единицей: аксиоматическое определение, единственность с точностью до изоморфизма, индуктивное построение.
+----
+=== 5 декабря 2016 ===
+== Лекция 21 ==
+Полиномиальные функции от нескольких переменных. Эквивалентность формального и функционального равенства многочленов от нескольких переменных над бесконечным полем.
+Степень одночлена и многочлена (полная и по отдельным переменным), __однородные многочлены__, разложение многочлена в сумму однородных компонент.
+__Лексикографический порядок__ на одночленах, его свойства. __Старший член__ ненулевого многочлена. Старший член произведения многочленов над целостным кольцом K, целостность кольца K[x_1,...,x_n].
+Многочлены от одной переменной над факториальным кольцом A, __примитивные многочлены__, лемма Гаусса. Факториальность кольца многочленов A[x], факториальность колец **Z**[x] и K[x_1,...,x_n], где K — поле.
+----
+=== 12 декабря 2016 ===
+== Лекция 22 ==
+__Симметрические многочлены__: определение и примеры. Степенные суммы и элементарные симметрические многочлены.
+Теорема Виета: выражение значений элементарных симметрических многочленов на корнях многочлена от одной переменной через его коэффициенты.
+Основная теорема о симметрических многочленах: существование и единственность выражения произвольного симметрического многочлена через элементарные симметрические многочлены.
+Выражение значения симметрического многочлена на корнях многочлена от одной переменной через его коэффициенты.
+__Дискриминант__ многочлена от одной переменной, его основное свойство: дискриминант равен 0 тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратные корни. Вычисление дискриминанта через определитель из степенных сумм корней многочлена.
+----
+=== 14 декабря 2016 ===
+== Лекция 23 ==
+Инвариантность дискриминанта относительно сдвига переменной на константу, сведение к дискриминанту неполного многочлена. Дискриминант неполного кубического трёхчлена, его связь с количеством вещественных корней.
+__Результант__ двух многочленов от одной переменной, его свойства, вычисление результанта через определитель из коэффициентов многочленов. Связь дискриминанта многочлена c результантом многочлена и его производной.
+Возведение элемента группы в целую степень, свойства степени.
+----
+=== 19 декабря 2016 ===
+== Лекция 24 ==
+__Порядок__ элемента группы, его свойства. Пример: порядок подстановки.
+Циклическая подгруппа, порождённая элементом группы, __циклические группы__, примеры: аддитивные группы колец **Z** и **Z**_m. Порядок циклической группы, все циклические группы одного порядка изоморфны (пример: группа комплексных корней степени m из 1 изоморфна **Z**_m). Описание подгрупп циклической группы.
+Смежность элементов группы G слева по подгруппе H — отношение эквивалентности. Левые __смежные классы__ в G по H, __индекс__ подгруппы. Пример: смежность и смежные классы в **Z** по m**Z**. Смежность справа и правые смежные классы.
+__Теорема Лагранжа__ о подгруппах в конечных группах и её следствия: порядок подгруппы и порядок элемента делят порядок группы, тождество g^n=e в группе порядка n. Теорема Эйлера о вычетах.