Лектор: Д.А.Тимашёв

Лекции проходят по понедельникам на 2-й паре (10:45-12:20) в ауд. П4 и по средам на каждой чётной неделе на 3-й паре (13:15-14:50) в ауд. П11.

1. А.И.Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры.
2. Э.Б.Винберг. Курс алгебры.

Системы линейных уравнений (СЛУ) и их решения. Совместные и несовместные, определённые и неопределённые СЛУ. Матрица коэффициентов и расширенная матрица системы.

Элементарные преобразования систем линейных уравнений и их матриц. Элементарное преобразование приводит к эквивалентной СЛУ.

Метод Гаусса решения СЛУ: ведущие элементы (лидеры) строк матрицы, приведение к ступенчатому и улучшенному ступенчатому виду, ранг ступенчатой матрицы, анализ ступенчатой СЛУ, главные и свободные неизвестные, общее решение системы. Критерий совместности и определённости СЛУ в терминах рангов ступенчатых матриц. Преимущество улучшенного ступенчатого вида.

Однородные системы линейных уравнений (ОСЛУ), их совместность. ОСЛУ с числом уравнений меньше числа неизвестных имеет ненулевое решение.

Пример решения СЛУ методом Гаусса.

Векторные пространства (вещественные): определение, примеры (геометрические векторы, арифметическое пространство R^n, пространство функций на множестве), простейшие следствия аксиом (единственность нулевого и противоположного векторов, умножение вектора на 0 и -1, умножение нулевого вектора на число).

Линейные комбинации векторов, их значения, тривиальная комбинация. Линейная зависимость, примеры (случай одного и двух векторов). Свойства линейной зависимости: сохранение линейной зависимости/независимости при увеличении/уменьшении системы векторов, эквивалентное определение (один из векторов системы линейно выражается через остальные), однозначное выражение вектора, добавление которого делает систему линейно зависимой. Обобщение на бесконечные системы векторов.

Основная лемма о линейной зависимости.

Эквивалентность условий максимальности линейно независимой подсистемы в системе векторов и выражаемости остальных векторов системы через эту подсистему. Базис системы векторов: определение, примеры — базисы в пространствах геометрических векторов, стандартный базис в R^n. Координаты вектора в базисе, пример: координаты в стандартном базисе пространства R^n.

Любая система векторов в R^n имеет базис, и во всех базисах одинаковое число векторов (≤n). Ранг системы векторов и размерность векторного пространства. Отождествление произвольного n-мерного пространства с R^n.

Горизонтальный, вертикальный и ступенчатый ранги матрицы. Транспонированная матрица. Теорема о совпадении трёх видов ранга матрицы (только формулировка), определение ранга матрицы.

Доказательство теоремы о совпадении трёх видов ранга матрицы. Свойства ранга матрицы (не превосходит каждого из её размеров, не меняется при элементарных преобразованиях строк и столбцов и при транспонировании).

Теорема Кронекера–Капелли и критерий определённости СЛУ в терминах рангов её матрицы коэффициентов и расширенной матрицы.

Подпространства в векторном пространстве: определение и примеры. Линейная оболочка системы векторов. Пространство решений ОСЛУ, его размерность, фундаментальная система решений.

Структура множества решений произвольной СЛУ (сдвиг пространства решений ассоциированной ОСЛУ на фиксированный вектор — линейное многообразие в R^n), её геометрический смысл (только формулировка).

Доказательство теоремы о структуре множества решений СЛУ.

Линейные отображения векторных пространств: определение, геометрические примеры (поворот плоскости, проекция пространства на плоскость). Линейные отображения арифметических векторных пространств и их матрицы. Интерпретация СЛУ на языке линейных отображений.

Алгебраические операции над линейными отображениями и матрицами (сложение и умножение, умножение на числа). Матричная запись линейных отображений и СЛУ.

Свойства матричных операций: коммутативность и ассоциативность сложения, ассоциативность и дистрибутивность умножения матриц на числа и между собой, некоммутативность умножения матриц, нулевая и противоположная матрицы, умножение на 0 и на 1. Векторное пространство матриц размера m×n. Матричные операции и транспонирование.

Ранг произведения матриц.

Тождественное отображение и единичная матрица. Символы Кронекера. Обратная матрица: определение, единственность, связь с обратным линейным отображением. Произведение обратимых матриц обратимо. Невырожденные квадратные матрицы. Матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырождена. Алгоритм нахождения обратной матрицы (с примером).

Элементарные матрицы, их основное свойство. Обратимость элементарных матриц. Разложение произвольной невырожденной матрицы в произведение элементарных матриц.

Перестановки, их количество. Подстановки степени n, их двухрядная запись. Взаимно однозначное соответствие между перестановками и подстановками, количество подстановок степени n равно n!.

Умножение подстановок, его ассоциативность. Тождественная подстановка и подстановка, обратная к данной. Некоммутативность умножения подстановок.

Циклические подстановки (циклы), их орбиты, однорядная запись цикла. Независимость циклов, разложение произвольной подстановки в произведение независимых циклов, его единственность.

Транспозиции, разложение произвольной подстановки в произведение транспозиций.

Инверсии в перестановке, чётность и знак перестановки и подстановки. Изменение чётности перестановки при транспозиции двух её элементов. Количество чётных и нечётных перестановок n элементов (или подстановок степени n) одинаково и равно n!/2. Определение знака подстановки по числу сомножителей в её разложении на транспозиции. Знак произведения подстановок. Знак обратной подстановки.

Определители квадратных матриц: определение по развёрнутой формуле. Свойства определителя как функции от набора строк матрицы: полилинейность, кососимметричность, определитель матрицы с нулевой строкой, с одинаковыми и с пропорциональными строками, неизменность при элементарных преобразованиях 1-го типа.

Определитель транспонированной матрицы, свойства определителя как функции от набора столбцов.

Определитель треугольной матрицы. Метод вычисления определителя приведением матрицы к треугольному виду.