• Показать страницу
  • История страницы
  • Ссылки сюда

    • Различия

    Показаны различия между двумя версиями страницы.

    Ссылка на это сравнение

    Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
    Следующая версия     		Предыдущая версия
    лекции_1_курс_1_поток_осень_2020 [01.12.2020 12:38]
    timashev     		лекции_1_курс_1_поток_осень_2020 [08.04.2025 16:43] (текущий)
    Строка 4: Строка 4:
      
     Лекции читаются **дистанционно** в Zoom на **1**-й паре (9:00-10:35) **по вторникам** на каждой //чётной// неделе и **по пятницам** на каждой неделе. Лекции читаются **дистанционно** в Zoom на **1**-й паре (9:00-10:35) **по вторникам** на каждой //чётной// неделе и **по пятницам** на каждой неделе.
    - 
    -**Ссылки на подключение к лекциям** (подключение доступно //для зарегистрированных студентов// с **8:55**):  
    -  * **по вторникам**: [[https://us02web.zoom.us/j/81713957955?pwd=Vy9wT0FxMmJQOVpObEkraGJ4SktDQT09]] 
    -  * **по пятницам**: [[https://us02web.zoom.us/j/87533324504?pwd=YjJIdE1BdWk4UlBhWkFPaFdDZlp0UT09]] 
      
     == Литература == == Литература ==
    Строка 25: Строка 21:
     __Метод Гаусса__ решения СЛУ: ведущие элементы (лидеры) строк матрицы, приведение к ступенчатому и улучшенному ступенчатому виду, ранг ступенчатой матрицы, анализ ступенчатой СЛУ, главные и свободные неизвестные, общее решение системы. Критерий совместности и определённости СЛУ в терминах рангов ступенчатых матриц. Преимущество улучшенного ступенчатого вида. Пример решения СЛУ методом Гаусса. __Метод Гаусса__ решения СЛУ: ведущие элементы (лидеры) строк матрицы, приведение к ступенчатому и улучшенному ступенчатому виду, ранг ступенчатой матрицы, анализ ступенчатой СЛУ, главные и свободные неизвестные, общее решение системы. Критерий совместности и определённости СЛУ в терминах рангов ступенчатых матриц. Преимущество улучшенного ступенчатого вида. Пример решения СЛУ методом Гаусса.
      
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2020-10-20-Timashev-2|Видеозапись лекции]]
      
     ---- ----
    Строка 37: Строка 34:
      
     Линейные комбинации векторов, их значения, тривиальная комбинация. __Линейная зависимость__, примеры (случай одного и двух векторов). Свойства линейной зависимости: сохранение линейной зависимости/независимости при увеличении/уменьшении системы векторов, эквивалентное определение (один из векторов системы линейно выражается через остальные), однозначное выражение вектора, добавление которого делает систему линейно зависимой. Основная лемма о линейной зависимости. Обобщение на бесконечные системы векторов. Линейные комбинации векторов, их значения, тривиальная комбинация. __Линейная зависимость__, примеры (случай одного и двух векторов). Свойства линейной зависимости: сохранение линейной зависимости/независимости при увеличении/уменьшении системы векторов, эквивалентное определение (один из векторов системы линейно выражается через остальные), однозначное выражение вектора, добавление которого делает систему линейно зависимой. Основная лемма о линейной зависимости. Обобщение на бесконечные системы векторов.
     +
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2020-11-03-Timashev-2|Видеозапись лекции]]
      
     ---- ----
    Строка 49: Строка 48:
      
     Горизонтальный, вертикальный и ступенчатый ранги матрицы. Транспонированная матрица. Теорема о совпадении трёх видов ранга матрицы. Горизонтальный, вертикальный и ступенчатый ранги матрицы. Транспонированная матрица. Теорема о совпадении трёх видов ранга матрицы.
     +
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2020-11-17-Timashev-2|Видеозапись лекции]]
      
     ---- ----
    Строка 63: Строка 64:
      
     Структура множества решений произвольной СЛУ (сдвиг пространства решений ассоциированной ОСЛУ на фиксированный вектор — линейное многообразие в **R**^n), её геометрический смысл. Структура множества решений произвольной СЛУ (сдвиг пространства решений ассоциированной ОСЛУ на фиксированный вектор — линейное многообразие в **R**^n), её геометрический смысл.
     +
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2020-12-01-Timashev-2|Видеозапись лекции]]
      
     ---- ----
    Строка 73: Строка 76:
      
     Алгебраические операции над линейными отображениями и матрицами (сложение и умножение, умножение на числа). Матричная запись линейных отображений и СЛУ. Свойства матричных операций: коммутативность и ассоциативность сложения, ассоциативность и дистрибутивность умножения матриц на числа и между собой, некоммутативность умножения матриц, нулевая и противоположная матрицы, умножение на 0 и на 1. Векторное пространство матриц размера m×n. Алгебраические операции над линейными отображениями и матрицами (сложение и умножение, умножение на числа). Матричная запись линейных отображений и СЛУ. Свойства матричных операций: коммутативность и ассоциативность сложения, ассоциативность и дистрибутивность умножения матриц на числа и между собой, некоммутативность умножения матриц, нулевая и противоположная матрицы, умножение на 0 и на 1. Векторное пространство матриц размера m×n.
     +
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2020-12-15-Timashev-2|Видеозапись лекции]]
      
     ---- ----
    Строка 87: Строка 92:
      
     __Элементарные матрицы__, их основное свойство. __Элементарные матрицы__, их основное свойство.
     +
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2021-02-18-Timashev-1|Видеозапись лекции]]
      
     ---- ----
    Строка 101: Строка 108:
      
     Циклические подстановки (__циклы__), их орбиты, однорядная запись цикла. Независимость циклов, разложение произвольной подстановки в произведение независимых циклов, его единственность (с точностью до порядка сомножителей). Циклические подстановки (__циклы__), их орбиты, однорядная запись цикла. Независимость циклов, разложение произвольной подстановки в произведение независимых циклов, его единственность (с точностью до порядка сомножителей).
     +
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2021-02-18-Timashev-2|Видеозапись лекции]]
      
     ---- ----
    Строка 117: Строка 126:
      
     Определитель треугольной матрицы. Метод вычисления определителя приведением матрицы к треугольному виду. Определитель треугольной матрицы. Метод вычисления определителя приведением матрицы к треугольному виду.
     +
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2020-10-08-Timashev|Видеозапись лекции]]
      
     ---- ----
    Строка 131: Строка 142:
      
     __Миноры__ прямоугольной матрицы. Дополнительный минор и алгебраическое дополнение к элементу квадратной матрицы. Разложение определителя по строке и по столбцу. Лемма о фальшивом разложении определителя. __Миноры__ прямоугольной матрицы. Дополнительный минор и алгебраическое дополнение к элементу квадратной матрицы. Разложение определителя по строке и по столбцу. Лемма о фальшивом разложении определителя.
     +
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2020-10-09-Timashev|Видеозапись лекции]]
      
     ---- ----
    Строка 143: Строка 156:
      
     Теорема о ранге матрицы (его совпадение с наибольшим порядком ненулевого минора), метод окаймляющих миноров для вычисления ранга матрицы. Теорема о ранге матрицы (его совпадение с наибольшим порядком ненулевого минора), метод окаймляющих миноров для вычисления ранга матрицы.
     +
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2020-10-16-Timashev|Видеозапись лекции]]
      
     ---- ----
    Строка 161: Строка 176:
      
     __Поля__: определение и примеры.  Подкольца и подполя: определение и примеры (**Z**⊂**Q**⊂**R**). Перенос теории линейных уравнений, векторов, матриц и определителей с поля **R** на произвольное поле. __Поля__: определение и примеры.  Подкольца и подполя: определение и примеры (**Z**⊂**Q**⊂**R**). Перенос теории линейных уравнений, векторов, матриц и определителей с поля **R** на произвольное поле.
     +
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2020-10-20-Timashev-1|Видеозапись лекции]]
      
     ---- ----
    Строка 175: Строка 192:
      
     __Комплексные числа__: аксиоматическое определение поля **C**, как минимального расширения поля **R**, содержащего квадратный корень из -1. Алгебраическая форма записи комплексных чисел: существование и единственность, действительная и мнимая части комплексного числа. __Комплексные числа__: аксиоматическое определение поля **C**, как минимального расширения поля **R**, содержащего квадратный корень из -1. Алгебраическая форма записи комплексных чисел: существование и единственность, действительная и мнимая части комплексного числа.
     +
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2020-10-23-Timashev-1|Видеозапись лекции]]
      
     ---- ----
    Строка 185: Строка 204:
      
     Геометрическая интерпретация комплексных чисел как точек или векторов на координатной плоскости. Геометрический смысл операций сложения и вычитания комплексных чисел. __Модуль__ комплексного числа и __сопряжённое число__, их геометрический смысл, свойства операции сопряжения. Деление комплексных чисел в алгебраической форме. Геометрическая интерпретация комплексных чисел как точек или векторов на координатной плоскости. Геометрический смысл операций сложения и вычитания комплексных чисел. __Модуль__ комплексного числа и __сопряжённое число__, их геометрический смысл, свойства операции сопряжения. Деление комплексных чисел в алгебраической форме.
     +
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2020-10-30-Timashev-1|Видеозапись лекции]]
      
     ---- ----
    Строка 197: Строка 218:
      
     __Многочлены__: неформальное определение, функциональная точка зрения на многочлены, её недостаток на примере поля вычетов **Z**_p (разные многочлены x и x^p задают одинаковые функции). Аксиоматическое определение кольца многочленов K[x] от одной переменной над коммутативным ассоциативным кольцом с единицей K (как коммутативного ассоциативного кольца с единицей K[x]⊃K, содержащего элемент x∉K, в виде линейной комбинации степеней которого с коэффициентами из K однозначно представляется любой элемент кольца K[x]). __Многочлены__: неформальное определение, функциональная точка зрения на многочлены, её недостаток на примере поля вычетов **Z**_p (разные многочлены x и x^p задают одинаковые функции). Аксиоматическое определение кольца многочленов K[x] от одной переменной над коммутативным ассоциативным кольцом с единицей K (как коммутативного ассоциативного кольца с единицей K[x]⊃K, содержащего элемент x∉K, в виде линейной комбинации степеней которого с коэффициентами из K однозначно представляется любой элемент кольца K[x]).
     +
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2020-11-03-Timashev-1|Видеозапись лекции]]
      
     ---- ----
    Строка 209: Строка 232:
      
     Многочлены над полем и полиномиальные функции. __Задача о (полиномиальной) интерполяции__. Теорема об интерполяции, интерполяционная формула Лагранжа. Многочлены над полем и полиномиальные функции. __Задача о (полиномиальной) интерполяции__. Теорема об интерполяции, интерполяционная формула Лагранжа.
     +
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2020-11-06-Timashev-1|Видеозапись лекции]]
      
     ---- ----
    Строка 223: Строка 248:
      
     Разложение многочлена по степеням линейного двучлена. __Формула Тейлора__. Разложение многочлена по степеням линейного двучлена. __Формула Тейлора__.
     +
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2020-11-13-Timashev|Видеозапись лекции]]
      
     ---- ----
    Строка 233: Строка 260:
      
     __Простые элементы__ целостного кольца, примеры: простые числа и __неприводимые многочлены__. Разложение элемента евклидова кольца на простые множители, его единственность с точностью до перестановки множителей и ассоциированности. __Факториальные кольца__, факториальность евклидовых колец. Выяснение делимости элементов факториального кольца друг на друга, нахождение их НОД и НОК в терминах разложения на простые множители. __Простые элементы__ целостного кольца, примеры: простые числа и __неприводимые многочлены__. Разложение элемента евклидова кольца на простые множители, его единственность с точностью до перестановки множителей и ассоциированности. __Факториальные кольца__, факториальность евклидовых колец. Выяснение делимости элементов факториального кольца друг на друга, нахождение их НОД и НОК в терминах разложения на простые множители.
     +
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2020-11-17-Timashev-1|Видеозапись лекции]]
      
     ---- ----
    Строка 249: Строка 278:
      
     Комплексные корни многочлена с действительными коэффициентами, их разбиение на пары сопряжённых друг другу корней одинаковой кратности. Разложение многочлена над неприводимые множители (линейные и квадратичные с отрицательным дискриминантом) над полем **R**. Комплексные корни многочлена с действительными коэффициентами, их разбиение на пары сопряжённых друг другу корней одинаковой кратности. Разложение многочлена над неприводимые множители (линейные и квадратичные с отрицательным дискриминантом) над полем **R**.
     +
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2020-11-20-Timashev-1|Видеозапись лекции]]
      
     ---- ----
    Строка 259: Строка 290:
      
     Дроби над целостным кольцом как классы эквивалентности пар элементов кольца, определение алгебраических операций над дробями. Дроби над целостным кольцом как классы эквивалентности пар элементов кольца, определение алгебраических операций над дробями.
     +
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2020-11-27-Timashev-1|Видеозапись лекции]]
      
     ---- ----
    Строка 277: Строка 310:
      
     Кольцо K[x_1,...,x_n] __многочленов от нескольких переменных__ над ассоциативным коммутативным кольцом K с единицей: аксиоматическое определение, существование и единственность с точностью до изоморфизма (без доказательства). Кольцо K[x_1,...,x_n] __многочленов от нескольких переменных__ над ассоциативным коммутативным кольцом K с единицей: аксиоматическое определение, существование и единственность с точностью до изоморфизма (без доказательства).
     +
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2020-12-01-Timashev-1|Видеозапись лекции]]
     +
     +----
     +
     +=== 4 декабря 2020 ===
     +
     +== Лекция 21 ==
     +
     +Доказательство существования кольца многочленов от нескольких переменных (путём индуктивного построения) и его единственности (с точностью до изоморфизма).
     +
     +Полиномиальные функции от нескольких переменных. Эквивалентность формального и функционального равенства многочленов от нескольких переменных над бесконечным полем.
     +
     +Степень одночлена и многочлена (полная и по отдельным переменным), __однородные многочлены__, разложение многочлена в сумму однородных компонент.
     +
     +__Лексикографический порядок__ на одночленах, его свойства. __Старший член__ ненулевого многочлена. Старший член произведения многочленов над целостным кольцом K, целостность кольца K[x_1,...,x_n].
     +
     +Многочлены от одной переменной над факториальным кольцом A, __примитивные многочлены__, лемма Гаусса. Факториальность кольца многочленов A[x], факториальность колец **Z**[x] и K[x_1,...,x_n], где K — поле.
     +
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2020-12-04-Timashev-1|Видеозапись лекции]]
     +
     +----
     +
     +=== 11 декабря 2020 ===
     +
     +== Лекция 22 ==
     +
     +__Симметрические многочлены__: определение и примеры. Степенные суммы и элементарные симметрические многочлены. 
     +
     +Теорема Виета: выражение значений элементарных симметрических многочленов на корнях многочлена от одной переменной через его коэффициенты. 
     +
     +Основная теорема о симметрических многочленах: существование и единственность выражения произвольного симметрического многочлена через элементарные симметрические многочлены.
     +
     +Выражение значения симметрического многочлена на корнях многочлена от одной переменной через его коэффициенты.
     +
     +__Дискриминант__ многочлена от одной переменной, его основное свойство: дискриминант равен 0 тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратные корни. Вычисление дискриминанта через определитель из степенных сумм корней многочлена.
     +
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2020-12-11-Timashev-1|Видеозапись лекции]]
     +
     +----
     +
     +=== 15 декабря 2020 ===
     +
     +== Лекция 23 ==
     +
     +Инвариантность дискриминанта относительно сдвига переменной на константу, сведение к дискриминанту неполного многочлена. Дискриминант неполного кубического трёхчлена, его связь с количеством вещественных корней.
     +
     +__Результант__ двух многочленов от одной переменной, его свойства, вычисление результанта через определитель из коэффициентов многочленов. Связь дискриминанта многочлена c результантом многочлена и его производной.
     +
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2020-12-15-Timashev-1|Видеозапись лекции]]
     +
     +----
     +
     +=== 18 декабря 2020 ===
     +
     +== Лекция 24 ==
     +
     +Возведение элемента группы в целую степень, свойства степени.
     +
     +__Порядок__ элемента группы, его свойства. Пример: порядок подстановки.
     +
     +Циклическая подгруппа, порождённая элементом группы, __циклические группы__, примеры: аддитивные группы колец **Z** и **Z**_m. Порядок циклической группы, все циклические группы одного порядка изоморфны (пример: группа комплексных корней степени m из 1 изоморфна **Z**_m). Описание подгрупп циклической группы.
     +
     +Смежность элементов группы G слева по подгруппе H — отношение эквивалентности. Левые __смежные классы__ в G по H, __индекс__ подгруппы. Пример: смежность и смежные классы в **Z** по m**Z**. Смежность справа и правые смежные классы. 
     +
     +__Теорема Лагранжа__ о подгруппах в конечных группах и её следствия: порядок подгруппы и порядок элемента делят порядок группы, тождество g^n=e в группе порядка n. Теорема Эйлера о вычетах.
     +
     +[[https://teach-in.ru/lecture/2020-12-18-Timashev|Видеозапись лекции]]
    лекции_1_курс_1_поток_осень_2020.1606815505.txt.gz · Последнее изменение: 08.04.2025 16:42 (внешнее изменение)

  • Показать страницу
  • История страницы
  • Ссылки сюда
  • Недавние изменения