| Предыдущая версия справа и слева
Предыдущая версия
Следующая версия
|
Предыдущая версия
|
лекции_1_курс_1_поток_осень_2020 [18.12.2020 11:52]
timashev |
лекции_1_курс_1_поток_осень_2020 [08.04.2025 16:43] (текущий)
|
| __Метод Гаусса__ решения СЛУ: ведущие элементы (лидеры) строк матрицы, приведение к ступенчатому и улучшенному ступенчатому виду, ранг ступенчатой матрицы, анализ ступенчатой СЛУ, главные и свободные неизвестные, общее решение системы. Критерий совместности и определённости СЛУ в терминах рангов ступенчатых матриц. Преимущество улучшенного ступенчатого вида. Пример решения СЛУ методом Гаусса. | __Метод Гаусса__ решения СЛУ: ведущие элементы (лидеры) строк матрицы, приведение к ступенчатому и улучшенному ступенчатому виду, ранг ступенчатой матрицы, анализ ступенчатой СЛУ, главные и свободные неизвестные, общее решение системы. Критерий совместности и определённости СЛУ в терминах рангов ступенчатых матриц. Преимущество улучшенного ступенчатого вида. Пример решения СЛУ методом Гаусса. |
| |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2020-10-20-Timashev-2|Видеозапись лекции]] |
| |
| ---- | ---- |
| |
| Линейные комбинации векторов, их значения, тривиальная комбинация. __Линейная зависимость__, примеры (случай одного и двух векторов). Свойства линейной зависимости: сохранение линейной зависимости/независимости при увеличении/уменьшении системы векторов, эквивалентное определение (один из векторов системы линейно выражается через остальные), однозначное выражение вектора, добавление которого делает систему линейно зависимой. Основная лемма о линейной зависимости. Обобщение на бесконечные системы векторов. | Линейные комбинации векторов, их значения, тривиальная комбинация. __Линейная зависимость__, примеры (случай одного и двух векторов). Свойства линейной зависимости: сохранение линейной зависимости/независимости при увеличении/уменьшении системы векторов, эквивалентное определение (один из векторов системы линейно выражается через остальные), однозначное выражение вектора, добавление которого делает систему линейно зависимой. Основная лемма о линейной зависимости. Обобщение на бесконечные системы векторов. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2020-11-03-Timashev-2|Видеозапись лекции]] |
| |
| ---- | ---- |
| |
| Горизонтальный, вертикальный и ступенчатый ранги матрицы. Транспонированная матрица. Теорема о совпадении трёх видов ранга матрицы. | Горизонтальный, вертикальный и ступенчатый ранги матрицы. Транспонированная матрица. Теорема о совпадении трёх видов ранга матрицы. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2020-11-17-Timashev-2|Видеозапись лекции]] |
| |
| ---- | ---- |
| |
| Структура множества решений произвольной СЛУ (сдвиг пространства решений ассоциированной ОСЛУ на фиксированный вектор — линейное многообразие в **R**^n), её геометрический смысл. | Структура множества решений произвольной СЛУ (сдвиг пространства решений ассоциированной ОСЛУ на фиксированный вектор — линейное многообразие в **R**^n), её геометрический смысл. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2020-12-01-Timashev-2|Видеозапись лекции]] |
| |
| ---- | ---- |
| |
| Алгебраические операции над линейными отображениями и матрицами (сложение и умножение, умножение на числа). Матричная запись линейных отображений и СЛУ. Свойства матричных операций: коммутативность и ассоциативность сложения, ассоциативность и дистрибутивность умножения матриц на числа и между собой, некоммутативность умножения матриц, нулевая и противоположная матрицы, умножение на 0 и на 1. Векторное пространство матриц размера m×n. | Алгебраические операции над линейными отображениями и матрицами (сложение и умножение, умножение на числа). Матричная запись линейных отображений и СЛУ. Свойства матричных операций: коммутативность и ассоциативность сложения, ассоциативность и дистрибутивность умножения матриц на числа и между собой, некоммутативность умножения матриц, нулевая и противоположная матрицы, умножение на 0 и на 1. Векторное пространство матриц размера m×n. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2020-12-15-Timashev-2|Видеозапись лекции]] |
| |
| ---- | ---- |
| |
| __Элементарные матрицы__, их основное свойство. | __Элементарные матрицы__, их основное свойство. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2021-02-18-Timashev-1|Видеозапись лекции]] |
| |
| ---- | ---- |
| |
| Циклические подстановки (__циклы__), их орбиты, однорядная запись цикла. Независимость циклов, разложение произвольной подстановки в произведение независимых циклов, его единственность (с точностью до порядка сомножителей). | Циклические подстановки (__циклы__), их орбиты, однорядная запись цикла. Независимость циклов, разложение произвольной подстановки в произведение независимых циклов, его единственность (с точностью до порядка сомножителей). |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2021-02-18-Timashev-2|Видеозапись лекции]] |
| |
| ---- | ---- |
| |
| Определитель треугольной матрицы. Метод вычисления определителя приведением матрицы к треугольному виду. | Определитель треугольной матрицы. Метод вычисления определителя приведением матрицы к треугольному виду. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2020-10-08-Timashev|Видеозапись лекции]] |
| |
| ---- | ---- |
| |
| __Миноры__ прямоугольной матрицы. Дополнительный минор и алгебраическое дополнение к элементу квадратной матрицы. Разложение определителя по строке и по столбцу. Лемма о фальшивом разложении определителя. | __Миноры__ прямоугольной матрицы. Дополнительный минор и алгебраическое дополнение к элементу квадратной матрицы. Разложение определителя по строке и по столбцу. Лемма о фальшивом разложении определителя. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2020-10-09-Timashev|Видеозапись лекции]] |
| |
| ---- | ---- |
| |
| Теорема о ранге матрицы (его совпадение с наибольшим порядком ненулевого минора), метод окаймляющих миноров для вычисления ранга матрицы. | Теорема о ранге матрицы (его совпадение с наибольшим порядком ненулевого минора), метод окаймляющих миноров для вычисления ранга матрицы. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2020-10-16-Timashev|Видеозапись лекции]] |
| |
| ---- | ---- |
| |
| __Поля__: определение и примеры. Подкольца и подполя: определение и примеры (**Z**⊂**Q**⊂**R**). Перенос теории линейных уравнений, векторов, матриц и определителей с поля **R** на произвольное поле. | __Поля__: определение и примеры. Подкольца и подполя: определение и примеры (**Z**⊂**Q**⊂**R**). Перенос теории линейных уравнений, векторов, матриц и определителей с поля **R** на произвольное поле. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2020-10-20-Timashev-1|Видеозапись лекции]] |
| |
| ---- | ---- |
| |
| __Комплексные числа__: аксиоматическое определение поля **C**, как минимального расширения поля **R**, содержащего квадратный корень из -1. Алгебраическая форма записи комплексных чисел: существование и единственность, действительная и мнимая части комплексного числа. | __Комплексные числа__: аксиоматическое определение поля **C**, как минимального расширения поля **R**, содержащего квадратный корень из -1. Алгебраическая форма записи комплексных чисел: существование и единственность, действительная и мнимая части комплексного числа. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2020-10-23-Timashev-1|Видеозапись лекции]] |
| |
| ---- | ---- |
| |
| Геометрическая интерпретация комплексных чисел как точек или векторов на координатной плоскости. Геометрический смысл операций сложения и вычитания комплексных чисел. __Модуль__ комплексного числа и __сопряжённое число__, их геометрический смысл, свойства операции сопряжения. Деление комплексных чисел в алгебраической форме. | Геометрическая интерпретация комплексных чисел как точек или векторов на координатной плоскости. Геометрический смысл операций сложения и вычитания комплексных чисел. __Модуль__ комплексного числа и __сопряжённое число__, их геометрический смысл, свойства операции сопряжения. Деление комплексных чисел в алгебраической форме. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2020-10-30-Timashev-1|Видеозапись лекции]] |
| |
| ---- | ---- |
| |
| __Многочлены__: неформальное определение, функциональная точка зрения на многочлены, её недостаток на примере поля вычетов **Z**_p (разные многочлены x и x^p задают одинаковые функции). Аксиоматическое определение кольца многочленов K[x] от одной переменной над коммутативным ассоциативным кольцом с единицей K (как коммутативного ассоциативного кольца с единицей K[x]⊃K, содержащего элемент x∉K, в виде линейной комбинации степеней которого с коэффициентами из K однозначно представляется любой элемент кольца K[x]). | __Многочлены__: неформальное определение, функциональная точка зрения на многочлены, её недостаток на примере поля вычетов **Z**_p (разные многочлены x и x^p задают одинаковые функции). Аксиоматическое определение кольца многочленов K[x] от одной переменной над коммутативным ассоциативным кольцом с единицей K (как коммутативного ассоциативного кольца с единицей K[x]⊃K, содержащего элемент x∉K, в виде линейной комбинации степеней которого с коэффициентами из K однозначно представляется любой элемент кольца K[x]). |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2020-11-03-Timashev-1|Видеозапись лекции]] |
| |
| ---- | ---- |
| |
| Многочлены над полем и полиномиальные функции. __Задача о (полиномиальной) интерполяции__. Теорема об интерполяции, интерполяционная формула Лагранжа. | Многочлены над полем и полиномиальные функции. __Задача о (полиномиальной) интерполяции__. Теорема об интерполяции, интерполяционная формула Лагранжа. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2020-11-06-Timashev-1|Видеозапись лекции]] |
| |
| ---- | ---- |
| |
| Разложение многочлена по степеням линейного двучлена. __Формула Тейлора__. | Разложение многочлена по степеням линейного двучлена. __Формула Тейлора__. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2020-11-13-Timashev|Видеозапись лекции]] |
| |
| ---- | ---- |
| |
| __Простые элементы__ целостного кольца, примеры: простые числа и __неприводимые многочлены__. Разложение элемента евклидова кольца на простые множители, его единственность с точностью до перестановки множителей и ассоциированности. __Факториальные кольца__, факториальность евклидовых колец. Выяснение делимости элементов факториального кольца друг на друга, нахождение их НОД и НОК в терминах разложения на простые множители. | __Простые элементы__ целостного кольца, примеры: простые числа и __неприводимые многочлены__. Разложение элемента евклидова кольца на простые множители, его единственность с точностью до перестановки множителей и ассоциированности. __Факториальные кольца__, факториальность евклидовых колец. Выяснение делимости элементов факториального кольца друг на друга, нахождение их НОД и НОК в терминах разложения на простые множители. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2020-11-17-Timashev-1|Видеозапись лекции]] |
| |
| ---- | ---- |
| |
| Комплексные корни многочлена с действительными коэффициентами, их разбиение на пары сопряжённых друг другу корней одинаковой кратности. Разложение многочлена над неприводимые множители (линейные и квадратичные с отрицательным дискриминантом) над полем **R**. | Комплексные корни многочлена с действительными коэффициентами, их разбиение на пары сопряжённых друг другу корней одинаковой кратности. Разложение многочлена над неприводимые множители (линейные и квадратичные с отрицательным дискриминантом) над полем **R**. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2020-11-20-Timashev-1|Видеозапись лекции]] |
| |
| ---- | ---- |
| |
| Дроби над целостным кольцом как классы эквивалентности пар элементов кольца, определение алгебраических операций над дробями. | Дроби над целостным кольцом как классы эквивалентности пар элементов кольца, определение алгебраических операций над дробями. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2020-11-27-Timashev-1|Видеозапись лекции]] |
| |
| ---- | ---- |
| |
| Кольцо K[x_1,...,x_n] __многочленов от нескольких переменных__ над ассоциативным коммутативным кольцом K с единицей: аксиоматическое определение, существование и единственность с точностью до изоморфизма (без доказательства). | Кольцо K[x_1,...,x_n] __многочленов от нескольких переменных__ над ассоциативным коммутативным кольцом K с единицей: аксиоматическое определение, существование и единственность с точностью до изоморфизма (без доказательства). |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2020-12-01-Timashev-1|Видеозапись лекции]] |
| |
| ---- | ---- |
| |
| Многочлены от одной переменной над факториальным кольцом A, __примитивные многочлены__, лемма Гаусса. Факториальность кольца многочленов A[x], факториальность колец **Z**[x] и K[x_1,...,x_n], где K — поле. | Многочлены от одной переменной над факториальным кольцом A, __примитивные многочлены__, лемма Гаусса. Факториальность кольца многочленов A[x], факториальность колец **Z**[x] и K[x_1,...,x_n], где K — поле. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2020-12-04-Timashev-1|Видеозапись лекции]] |
| |
| ---- | ---- |
| |
| __Дискриминант__ многочлена от одной переменной, его основное свойство: дискриминант равен 0 тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратные корни. Вычисление дискриминанта через определитель из степенных сумм корней многочлена. | __Дискриминант__ многочлена от одной переменной, его основное свойство: дискриминант равен 0 тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратные корни. Вычисление дискриминанта через определитель из степенных сумм корней многочлена. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2020-12-11-Timashev-1|Видеозапись лекции]] |
| |
| ---- | ---- |
| |
| __Результант__ двух многочленов от одной переменной, его свойства, вычисление результанта через определитель из коэффициентов многочленов. Связь дискриминанта многочлена c результантом многочлена и его производной. | __Результант__ двух многочленов от одной переменной, его свойства, вычисление результанта через определитель из коэффициентов многочленов. Связь дискриминанта многочлена c результантом многочлена и его производной. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2020-12-15-Timashev-1|Видеозапись лекции]] |
| |
| ---- | ---- |
| |
| __Теорема Лагранжа__ о подгруппах в конечных группах и её следствия: порядок подгруппы и порядок элемента делят порядок группы, тождество g^n=e в группе порядка n. Теорема Эйлера о вычетах. | __Теорема Лагранжа__ о подгруппах в конечных группах и её следствия: порядок подгруппы и порядок элемента делят порядок группы, тождество g^n=e в группе порядка n. Теорема Эйлера о вычетах. |
| | |
| | [[https://teach-in.ru/lecture/2020-12-18-Timashev|Видеозапись лекции]] |
