Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- лекции_1_курс_1_поток_осень_2024 [25.10.2024 14:04]
klyachko
+++ лекции_1_курс_1_поток_осень_2024 [08.04.2025 16:43] (текущий)
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 **Осень 2024 года, мехмат, первый курс, первый поток, лекции по алгебре,
 [[http://halgebra.math.msu.su/staff/klyachko/|Клячко]]**
+**[[http://halgebra.math.msu.su/staff/klyachko/teaching/EKZ-O24.PDF|Вопросы к экзамену]]**
+**[[http://halgebra.math.msu.su/staff/klyachko/teaching/algebra-1/AZ-TG.PDF|Всё, что нужно знать про группы]]**
+== 13 декабря ==
+Единственность подгруппы каждого порядка в циклической группе.
+Теорема Декарта о положительных корнях многочлена.
+== 9 декабря ==
+Порядок элемента равен порядку подгруппы, порождённой им.
+g<sup>|G|</sup>=....
+Малая теорема Ферма.
+Теорема Вильсона.
+Изоморфные группы.
+Классификация циклических групп.
+Примеры абелевых нециклических групп.
+Подгруппы циклических групп
+(единственность не успели доказать).
+== 6 декабря ==
+Лемма Даламбера.
+Группы:
+примеры,
+степени элементов,
+подгруппы (два эквивалентных определения),
+циклические подгруппы (и группы),
+теорема Лагранжа (и левые смежные классы, и индекс).
+== 29 ноября ==
+Дискриминант (комплексного многочлена со старшим коэффициентом 1).
+Выражение дискриминанта кубического многочлена через коэффициенты
+(при отсутствии квадратного члена).
+Связь дискриминанта кубического вещественного многочлена с числом вещественных корней.
+Лемма о возрастании модуля.
+Доказали основную теорему алгебры по модулю леммы Даламбера
+(которую начали доказывать).
+== 25 ноября ==
+Выражение симметрических многочленов через элементарные.
+Метод неопределённых коэффициентов.
+Выразили явно (x-y)<sup>2</sup>(x-z)<sup>2</sup>(z-y)<sup>2</sup>
+(при x+y+z=0).
+Теорема Виета.
+== 22 ноября ==
+Разложение в сумму простейших (с единственностью).
+Многочлены от нескольких переменных:
+отсутствие делителей нуля,
+подкольцо симметрических многочленов.
+Элементарные симметрические многочлены.
+== 15 ноября ==
+Правило Лейбница.
+Поведение кратности корня при дифференцировании.
+Как найти число **различных** корней комплексного многочлена?
+Поле рациональных дробей:
+корректность операций,
+бесконечность,
+характеристика.
+Правильные дроби и их суммы.
+Простейшие дроби --- основную теорему
+сформулировал и ключевую лемму.
+== 11 ноября ==
+Неприводимые вещественные многочлены.
+Разложили по просьбе учащихся над полем вещественных чисел x<sup>4</sup>+1.
+Признак Эйзенштейна неприводимости рационального многочлена.
+Бесконечность числа неприводимых многочленов над любым полем.
+Существование неприводимого любой степени над полем вычетов оставил в качестве трудного упражнения.
+Схема Горнера.
+Дифференцирование и кратность корня (только определения пока).
+== 8 ноября ==
+НОД: определение, существование, выражение как uf+vg, делимость на любой общий делитель, единственность.
+Неприводимые многочлены. Основная теорема арифметики для многочленов.
+Неприводимые над комплексными числами, основная теорема алгебры без доказательства пока.
+Теорема Безу. Число корней многочлена не превосходит...
+Неприводимые над вещественными числами только сформулировал пока.
+== 1 ноября ==
+Корни из единицы образуют циклическую группу.
+Первообразные корни.
+Кольцо многочленов от одной переменной над полем:
+степень произведения,
+отсутствие делителей нуля,
+деление с остатком (с единственностью).
+== 28 октября ==
+Две тонкости с переносом ранне доказанных фактов с вещественных чисел на произвольное поле
+(тонкость с определителем с одинаковыми строчками оставил в качестве упражнения).
+Характеристика поля --- это либо ноль, либо простое число.
+Поле комплексных чисел:
+сопряжение,
+тригонометрическая форма,
+формула Муавра,
+извлечение корней.
+Корни из единицы начали обсуждать.
 **[[http://halgebra.math.msu.su/staff/klyachko/teaching/KOL-O24.PDF|Вопросы к коллоквиуму]]**
 (который будет на неделе, начинающейся 28 октября)
 == 25 октября ==
@@ Строка 76: / Строка 193: @@
 **16 сентября вместо лекции по алгебре будет лекция по аналитической геометрии,
 а 30 сентября --- наоборот (то есть две лекции по алгебре будет 30 сентября).**
 == 27 сентября ==
@@ Строка 82: / Строка 198: @@
 Основная лемма о линейной зависимости на языке рангов.
 Поведение ранга при ЭП строк и столбцов.
-К какому виду можно привести матр�
+К какому виду можно привести матрицу ЭП строк и столбцов? (И единственность.)
+Алгоритм нахождения ранга.
+Теорема о ранге матрицы (без миноров пока).
+Теорема Кронекера--Капелли и критерий определённости СЛУ.
+Множество решений однородной СЛУ --- подпространство.
+(Обратные утверждения оставил в качестве упражнения).
+Алгоритм нахождения ФСР (не успел доказать).
+== 20 сентября ==
+Основная лемма о линейной зависимости. Базис, ранг, размерность.
+Все базисы равномощны.
+Подпространства
+(эквивалентность трёх условий и короткого определения оставил в качестве важного упражнения).
+Ранг множества векторов равен размерности его линейной оболочки.
+== 13 сентября ==
+Критерий совместности и определённости на языке ступенчатого вида.
+Векторные пространства (вещественные):
+аксиомы,
+следствия из аксиом (часть оставил в качестве **важного упражнения**),
+примеры.
+Упражнение с большим количеством звёздочек:
+какие из аксиом вытекают из остальных?
+Линейная зависимость и независимость: всякие простейшие свойства и примеры.
+Линейная оболочка, линейные комбинации.
+Векторы л.з. тогда и только тогда, когда один из них выражается через остальные.
+Подсистемы л.н. систем..
+Основной леммы о л.з. не было пока.
+== 6 сентября ==
+Содержание курса. Учебники (Винберг, Кострикин, Курош).
+Системы линейных уравнений
+(всё над полем вещественных чисел пока и вообше понятия поля пока не было).
+Что значит //Решить СЛУ//?
+Эквивалентность СЛУ.
+Матрица коэффициентов и расширенная матрица.
+Элементарные преобразования.
+Эквивалентность СЛУ, расширенные матрицы которых получаются друг из друга ЭП строк.
+Верно ли обратное утверждение? (Поняли, что вообще говоря нет,
+но, если система совместна... оставил в качестве упражнения
+это **но**.)
+Ступенчатый вид и улучшенный ступенчатый вид.
+Упражнение со звёздочкой: улучшенный ступенчатый вид единственный.
+Метод Гаусса.
+Обсудили, что всё то же самое верно над полем рациональных чисел.
+А на целыми... Упражнение: верно ли, что к ступенчатому виду над целыми проиводится любая матрица.
+На семинарах рекомендую по традиции (по просьбам геометров)
+начать с определителей порядка два и три (и один),
+хотя на лекциях определители нескоро появятся.