Кафедра высшей алгебры

Единственность подгруппы каждого порядка в циклической группе. Теорема Декарта о положительных корнях многочлена.

Порядок элемента равен порядку подгруппы, порождённой им. g^|G|=…. Малая теорема Ферма. Теорема Вильсона. Изоморфные группы. Классификация циклических групп. Примеры абелевых нециклических групп. Подгруппы циклических групп (единственность не успели доказать).

Лемма Даламбера. Группы: примеры, степени элементов, подгруппы (два эквивалентных определения), циклические подгруппы (и группы), теорема Лагранжа (и левые смежные классы, и индекс).

Дискриминант (комплексного многочлена со старшим коэффициентом 1). Выражение дискриминанта кубического многочлена через коэффициенты (при отсутствии квадратного члена). Связь дискриминанта кубического вещественного многочлена с числом вещественных корней. Лемма о возрастании модуля. Доказали основную теорему алгебры по модулю леммы Даламбера (которую начали доказывать).

Выражение симметрических многочленов через элементарные. Метод неопределённых коэффициентов. Выразили явно (x-y)²(x-z)²(z-y)² (при x+y+z=0). Теорема Виета.

Разложение в сумму простейших (с единственностью). Многочлены от нескольких переменных: отсутствие делителей нуля, подкольцо симметрических многочленов. Элементарные симметрические многочлены.

Правило Лейбница. Поведение кратности корня при дифференцировании. Как найти число различных корней комплексного многочлена? Поле рациональных дробей: корректность операций, бесконечность, характеристика. Правильные дроби и их суммы. Простейшие дроби — основную теорему сформулировал и ключевую лемму.

Неприводимые вещественные многочлены. Разложили по просьбе учащихся над полем вещественных чисел x⁴+1. Признак Эйзенштейна неприводимости рационального многочлена. Бесконечность числа неприводимых многочленов над любым полем. Существование неприводимого любой степени над полем вычетов оставил в качестве трудного упражнения. Схема Горнера. Дифференцирование и кратность корня (только определения пока).

НОД: определение, существование, выражение как uf+vg, делимость на любой общий делитель, единственность. Неприводимые многочлены. Основная теорема арифметики для многочленов. Неприводимые над комплексными числами, основная теорема алгебры без доказательства пока. Теорема Безу. Число корней многочлена не превосходит… Неприводимые над вещественными числами только сформулировал пока.

Корни из единицы образуют циклическую группу. Первообразные корни. Кольцо многочленов от одной переменной над полем: степень произведения, отсутствие делителей нуля, деление с остатком (с единственностью).

Две тонкости с переносом ранне доказанных фактов с вещественных чисел на произвольное поле (тонкость с определителем с одинаковыми строчками оставил в качестве упражнения). Характеристика поля — это либо ноль, либо простое число. Поле комплексных чисел: сопряжение, тригонометрическая форма, формула Муавра, извлечение корней. Корни из единицы начали обсуждать.

Вопросы к коллоквиуму (который будет на неделе, начинающейся 28 октября)

Теорема о ранге матрицы (окаймляющие только как упражнение; ещё упражнение: на пересечении k л.н. строк и k л.н. столбцов стоит ненулевой минор, если k — это ранг. Задача интерполяции, определитель Вандермонда, интерполяционная формула Лагранжа. Поля (и кольца). Когда кольцо вычетов является полем?

Критерий равенства определителя нулю. Определитель произведения матриц. Теорема Крамера и формулы Крамера. Теорема о ранге матрицы: про миноры — сформулировал и доказал в одну сторону пока.

Определитель транспонированной матрицы. Определитель с углом нулей. Разложение по строке/столбцу. Фальшивое разложение. Явная формула для обратной матрицы. Когда обратная к целочисленной матрице целочисленна? (Определитель произведения и критерий равенства определителя нулю обещал доказать и начал, но не успел из-за дурацкой тревоги.)

Разложение перестановки в произведение независимых циклов. Чётность цикла. Определитель: явная формула (обсудили примеры, в том числе с побочной диагональю), полилинейность и кососимметричность по строкам, определитель единичной матрицы (то, что эти свойства полностью определяют определитель, оставил в качестве упражнения). Поведение определителя при элементарных преобразованиях строк. Определитель треугольной матрицы. Способ вычисления определителя. Определитель транспонированной матрицы (доказать не успел).

Перестановки (=подстановки). Чётность, знак, умножение, симметрическая группа. Изменение чётности при умножении на транспозицию. Разложение в произведение транспозиций (с оценкой количества, а неулучшаемость этой оценки оставил в качестве упражнения). Чётность произведения. Разложение в произведение независимых циклов (не успели додоказать немного).

Алгоритм нахождения ФСР, и пример разобрали. Связь между решениями СЛУ и ОСЛУ. Умножение матриц. Ассоциативность (и другие свойства). Некоммутативность и делители нуля. СЛУ на матричном языке. Линейные отображения векторных пространств и их матрицы. Матрица композиции. Единичная матрица Ранг произведения (оценка сверху и случай невырожденного сомножителя). Ранг суммы оставил в качестве важного упражнения. Связь между умножением матриц и элементарными преобразованиями. Какие матрицы раскладываются в произведение нескольких элементарных?

16 сентября вместо лекции по алгебре будет лекция по аналитической геометрии, а 30 сентября — наоборот (то есть две лекции по алгебре будет 30 сентября).

Основная лемма о линейной зависимости на языке рангов. Поведение ранга при ЭП строк и столбцов. К какому виду можно привести матрицу ЭП строк и столбцов? (И единственность.) Алгоритм нахождения ранга. Теорема о ранге матрицы (без миноров пока). Теорема Кронекера–Капелли и критерий определённости СЛУ. Множество решений однородной СЛУ — подпространство. (Обратные утверждения оставил в качестве упражнения). Алгоритм нахождения ФСР (не успел доказать).

Основная лемма о линейной зависимости. Базис, ранг, размерность. Все базисы равномощны. Подпространства (эквивалентность трёх условий и короткого определения оставил в качестве важного упражнения). Ранг множества векторов равен размерности его линейной оболочки.

Критерий совместности и определённости на языке ступенчатого вида. Векторные пространства (вещественные): аксиомы, следствия из аксиом (часть оставил в качестве важного упражнения), примеры. Упражнение с большим количеством звёздочек: какие из аксиом вытекают из остальных? Линейная зависимость и независимость: всякие простейшие свойства и примеры. Линейная оболочка, линейные комбинации. Векторы л.з. тогда и только тогда, когда один из них выражается через остальные. Подсистемы л.н. систем.. Основной леммы о л.з. не было пока.

Содержание курса. Учебники (Винберг, Кострикин, Курош). Системы линейных уравнений (всё над полем вещественных чисел пока и вообше понятия поля пока не было). Что значит Решить СЛУ? Эквивалентность СЛУ. Матрица коэффициентов и расширенная матрица. Элементарные преобразования. Эквивалентность СЛУ, расширенные матрицы которых получаются друг из друга ЭП строк. Верно ли обратное утверждение? (Поняли, что вообще говоря нет, но, если система совместна… оставил в качестве упражнения это но.) Ступенчатый вид и улучшенный ступенчатый вид. Упражнение со звёздочкой: улучшенный ступенчатый вид единственный. Метод Гаусса. Обсудили, что всё то же самое верно над полем рациональных чисел. А на целыми… Упражнение: верно ли, что к ступенчатому виду над целыми проиводится любая матрица.

На семинарах рекомендую по традиции (по просьбам геометров) начать с определителей порядка два и три (и один), хотя на лекциях определители нескоро появятся.