Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия
Предыдущая версия
лекции_1_курс_1_поток_осень_2025 [04.09.2025 15:46]
gordienko
лекции_1_курс_1_поток_осень_2025 [13.10.2025 00:45] (текущий)
gordienko
Строка 2: Строка 2:
 **Лектор [[:staff:gordienko|Гордиенко Алексей Сергеевич]]** **Лектор [[:staff:gordienko|Гордиенко Алексей Сергеевич]]**
  
-1) **04.09.2023.** Организационные вопросы. Матрицы, сложение матриц и умножение на число. Декартово произведение множеств. Векторные пространства. Примеры: функции, направленные отрезки, матрицы фиксированного размера. Упражнение. Вывести аксиомы 4-8 векторного пространства для матриц из свойств вещественных чисел. Умножение матриц. Символ Кронекера. Единичная матрица.+**[[https://disk.yandex.ru/i/wy2qk_98eamZPA|Программа коллоквиума]]**
  
- __Упражнение.__ Пусть A - матрица размера m n. Обозначим через E_n единичную матрицу размера n n. Доказать, что A E_n = A. +1) **04.09.2025.** Организационные вопросы. Матрицы, сложение матриц и умножение на число. Декартово произведение множеств. Векторные пространства. Примеры: функции, направленные отрезки, матрицы фиксированного размера. 
 + 
 +__Упражнение.__ Вывести аксиомы 4-8 векторного пространства для матриц из свойств вещественных чисел. 
 + 
 +Умножение матриц. Символ Кронекера. Единичная матрица. 
 + 
 + __Упражнение.__ Пусть $A- матрица размера $\times n$. Обозначим через $E_nединичную матрицу размера $\times n$. Доказать, что $A E_n = A$
  
 Некоммутативность умножения матриц. Некоммутативность умножения матриц.
 +
 +2) **08.09.2025.** Арифметическое векторное пространство $\mathbb R^n$.
 +
 +__Упражнение.__ Из свойств вещественных чисел вывести, что
 +
 +$A(C+D)=AC+AD$,
 +
 +$(A+B)C=AC+BC$,
 +
 +$(\lambda A) C=A(\lambda C)=\lambda(AC)$,
 +
 +где $A,B,C,D$ - матрицы соответствующих размеров, а $\lambda$ - вещественное число.
 +
 +Перестановочность символов конечного суммирования. Ассоциативность умножения матриц. Метод математической индукции (напоминание). Вывод обобщённой ассоциативности из обычной. Транспонирование матриц.
 +
 +__Упражнение:__ $(A+B)^T = A^T+B^T$,
 +
 +$(\alpha A)^T = \alpha A^T$,
 +
 +$(AB)^T = B^T A^T$.
 +
 +Метод Гаусса решения систем линейных уравнений (с.л.у.). Элементарные преобразования. Ступенчатый и улучшенный ступенчатый вид. Лидеры. Главные и свободные неизвестные. Экзотические уравнения. Наличие нетривиального решения у однородной с.л.у., у которой число уравнений больше числа неизвестных.
 +
 +3) **15.09.2025.** Равенство $0v=0$.
 +Линейная зависимость и её свойства. Основная лемма о линейной зависимости. Базис множества векторов. Существование базиса у множества, которое выражается через конечное число векторов. Подпространство. Линейная оболочка. Базис и размерность подпространства. Корректность определения. Стандартный базис в $\mathbb R^n$. Матричные единицы - базис в пространстве матриц. Умножение матричных единиц.
 +
 +4) **18.09.2025.** Биекция. Обратное отображение. Композиция (=произведение, суперпозиция) отображений.
 +
 +__Упражнение.__ Докажите, что отображение является биекцией, если и только если к нему существует обратное.
 +
 +Линейные отображения.
 +
 +__Упражнение.__ Отображение, обратное к линейному биективному отображению также является линейным, т.е. является изоморфизмом векторных пространств.
 +
 +__Упражнение.__ Композиция линейных отображений линейна.
 +
 +Изоморфизм любого $n$-мерного векторного пространства пространству $\mathbb R^n$. Строчный и столбцовый ранги матрицы. Их совпадение (1-я часть теоремы о ранге). Ранг матрицы. Вычисление ранга через приведение матрицы к ступенчатому виду. Метод Жордана-Гаусса. Фундаментальная система решений однородной с.л.у. Размерность пространства решений однородной с.л.у. Структура множества решений с.л.у.
 +
 +5) **22.09.2025.** Ранг транспонированной матрицы. Теорема Кронекера - Капелли. Оценка сверху на ранг произведения матриц. Умножение блочных матриц. Подстановки и перестановки. Группа. Примеры групп. Единственность нейтрального и обратных элементов. Циклы и транспозиции. 
 +
 +6) **29.09.2025.** Разложение подстановки в произведение независимых циклов. Инверсии. Знак и чётность подстановки. Гомоморфизм групп. __Упражнение:__ показать, что гомоморфизм групп переводит нейтральный элемент в нейтральный, а обратные - в обратные. Знак произведения подстановок. Знак цикла. Знак подстановки, разложенной в произведение независимых циклов. Разложение подстановки в произведение транспозиций. Подгруппа. Ядро и образ гомоморфизма. __Упражнение:__ ядро и образ гомоморфизма - подгруппы. Знакопеременная группа $A_n$. Разложение чётной подстановки в произведение тройных циклов. Определитель матрицы. Определители матриц $1\times 1$, $2\times 2$, $3\times 3$.
 +
 +7) **02.10.2025.** Знак обратной подстановки. Дизъюнктное объединение множеств. Разложение $S_n$ в дизъюнктное объединение $A_n$ и $\sigma A_n$, где $\sigma$ - произвольная нечётная подстановка. Определитель верхнетреугольной матрицы. Полилинейные и кососимметричные отображения (эквивалентные определения кососимметричности). Свойства определителя матрицы: линейность, кососимметричность по строкам и столбцам, определитель транспонированной матрицы, определитель единичной матрицы.  Поведение определителя при элементарных преобразованиях. Элементарные матрицы и их определители. Определитель и линейная зависимость. Невырожденные матрицы. Аксиоматическое определение определителя.
 +
 +8) ** 06.10.2025.** Определитель произведения матриц.
 +Определитель с углом нулей.
 +
 +__Упражнение.__ Показать, что формула вычисления определителя $\det A \det D-\det B \det C$ в общем случае неверна для определителей блочных матриц
 + $$\begin{pmatrix} A B  \\
 + C D \end{pmatrix}$$
 +даже в случае квадратных блоков $A$, $B$, $C$, $D$ одинакового размера.
 +
 +Подматрицы. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке и по столбцу. Определитель Вандермонда. Минорный ранг. Теорема о ранге матрицы (2-я часть). Окаймление миноров.
 +
 +__Упражнение.__ $(ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1}$ для всех $a,b \in G$, где $G$ --- произвольная группа.
 +
 +Обратная матрица.
 +
 +**[[https://disk.yandex.ru/i/VIbaB9l8laLgxA|Лекции по алгебре, 1 семестр (в процессе написания)]]**
  
 __Литература.__ __Литература.__
Строка 12: Строка 77:
   - Кострикин А.И. Введение в алгебру.   - Кострикин А.И. Введение в алгебру.
   - Курош А.Г. Курс высшей алгебры.   - Курош А.Г. Курс высшей алгебры.
-  - Винберг Э.Б. Курс алгебры.+  - Винберг Э.Б. Курс алгебры. (Книга может оказаться сложной для изучения в первой половине семестра, поскольку изложение линейной алгебры ведётся сразу над произвольным полем, а в нашем курсе поля появятся только в середине семестра.)
   - Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. (Очень хорошая и интересная книга, можно просто взять и читать, не отрываясь, но терминология достаточно архаичная: например, факторкольцо называется кольцом классов вычетов.)   - Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. (Очень хорошая и интересная книга, можно просто взять и читать, не отрываясь, но терминология достаточно архаичная: например, факторкольцо называется кольцом классов вычетов.)